2495

Функция с постоянной эластичностью замещения (OBS).

Можно построить производственную функцию с постоянной эластичностью замещения более общего вида, из

Большую часть свойств данной функции читатель узнает, решив соответствующие задачи.

Задачи

4.24. Для функции, заданной уравнением (4а.1,5):… , а а) указать ограничения на параметры , при

которых данная функция удовлетворяет гипотезам 1) и 2) или их ослабленным аналогам. Проверить выполнение закона

61

убывающей производительности; оценить границы возможного использования данной функции в качестве производственной;

б) записать уравнения изоквант в случае n=2 и n=3, построить соответствующие карты изоквант;

в) найти предельную производительность, предельную норму замещения, эластичность выпуска; убедиться в

4.25. Для функции Кобба-Дугласа от n аргументов:

а) проверить выполнениеа1, а2, … , агипотез; 1), 2), указать границу изменения параметров

б) найти величины предельных производительностей по ресурсам, предельной нормы замещения, эластичностей выпуска по ресурсам;

в) показать, что эластичность замещения постоянна и равна1;

г) определить темп роста производства, описываемого функцией Кобба-Дугласа; установить его зависимость от темпов

62

получить соответствующую одноаргументную функцию, ведя необходимые относительные переменные; исследовать свойства этой функции и построить (схематично) ее график.

4.27. Для производственной функции с постоянными

одноаргументной функции, исследовать ее свойства и построить график. Дать экономическую интерпретацию.

4.28. Для функций CES (4.22):

а) найдите предельную производительность, эластичность выпуска по каждому ресурсу, предельную норму технологического замещения;

б) докажите сформулированные в теоретической части утверждения относительно значений эластичности производства

а) проверить выполнение гипотез 1), 2) и условие (4.10) постоянства отдачи на масштаб производства;

63

б) записать уравнение изокванты, установить наличие у нее горизонтальной и вертикальной асимптот; построить карту

64

Характеризует все возможные сочетания затрат, имеющих одну и ту же суммарную стоимость. В случае двух видов затрат данное множество называется изокостой.

В классическом экономическом анализе основу теории фирмы составляла не производственная функция, а функция издержек, которая отлична от (4.25) и определялась следующим образом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Зависимость между объемом выпуска продукции q и минимально необходимыми для этого денежными затратами С называется функцией издержек.

Таким образом, в отличие от (4.25'), функция издержек должна задаваться= равенством( ) или вида= ( ) .

(4.26)

Замечание. Мы использовали здесь обозначение С, чтобы отличить функцию издержек, которая вводится данным определением, от функции общих издержек вида (4.25) или (4.25'), которая определяется прямым путем – непосредственно через количества используемых факторов. Но по содержательному смыслу функция издержек C (q) также соответствует общим издержкам, если в определении речь идет о полных денежных затратах. В этом случае мы будем также обозначать функцию издержек через ТС.

В предположении, что функция издержек фирмы определена, классическая теория производства строилась на гипотезе о стремлении фирм к минимизации издержек, т.е. определе-

1) неявным образом функция издержек зависит от цены продукции и цен ресурсов , так что при изменении по-

функция издержек должна быть вновь определена;

65

2) поведение фирмы в соответствии с оптимизационной задачей (4.27) не учитывает возможности взаимозаменяемости ресурсов;

3) в терминах функции издержек оказалось невозможным построить общую теорию микроэкономического равновесия и, следовательно, основные закономерности функционирования рыночной экономики.Производственные функции оказались более гибким инструментом экономического анализа. С их помощью удалось преодолеть указанные недостатки, причиной которых являлось, в сущности, отсутствие конструктивного способа построения функции издержек. Если же ввести= ( в)рассмотрение производственную функцию фирмы , то функция издержек может быть построена, исходя прямо из ее определения – из решения задачи минимизации общих издержек при произвольно заданном объеме выпуска. Таким образом, мы должны найти такую комбинацию затрат ресурсов

мы получим выражение для максимальных издержек, зависящее от выпуска q, т.е. функцию издержек:

ляющие: постоянные издержки FC, которые не зависят от объема выпуска продукции, и переменные издержки VC, зависящие от объема производства. Такое деление обычно принято в краткосрочном анализе. Таким( ) образом= ( ) +функцию. издержек можно представить в виде:

66

При анализе производственной деятельности важное

значение имеют средние (AC) и предельные (MC) издержки, которые определяются( ) = ( ) = соот( ) +ветственно, ( равенствами) = ( ) = : [ ( )].

Средние и предельные издержки являются взаимозависимыми величинами, причем характер этой взаимосвязи тот же, что и у пары AP-MP (задача 4.34).

67

4.33. Докажите справедливость формул, связывающих величины средних переменных и предельных издержек производства, соответственно, с величинами среднего и=предельного,

продуктов= , переменного фактораx, а именно:

где - стоимость единицы фактораx. Проиллюст-

рируйте эту связь графически на примере производственных функций а)-ж) и соответствующих им функций издержек из задачи 4.31. Сформулируйте закон убывающей предельной производительности с точки зрения поведения предельных издержек.

4.34.Докажите справедливость следующих утверждений

овзаимосвязи кривых средних и предельных издержек:

а) если величина АС убывает, то кривая МС ниже кривой АС;

б) если величина АС возрастает, то кривая МС выше кривой АС;

в) при минимуме средних издержек (в низшей точке кривой АС) МС=АС, т.е. кривые средних и предельных издержек пересекаются. На основе этих утверждений изобразите схематично общий вид средних переменных и предельных издержек.

4.35. Для заданных функций совокупных издержек про-

68

Охарактеризуйте с экономической точки зрения поведение полученных кривых, а также их взаимосвязь.

вать действие закона убывающей предельной производительности для каждой из функций.

4.37. При каких объемах выпуска продукции средние и

средние переменные издержки( ) минимальны, если совокупные

издержки производства( ) = 3 − 6 2 +имеют15 + вид4; :

аб)) ( ) = 2 − + 5.

Построить графики кривыхAC и AVC. Какие экономи-

69

лить средние переменные и средние издержки для данного объ-

Неоклассическая теория фирмы построена на предположении, цель фирмы заключается в максимизации прибыли

пуска. Следовательно, производства равны общим выплатам за все

виды затрат и выражаются формулой (4.25). Решая долгосрочную задачу, фирма может выбрать любой вектор затрат, поэто-

70