2495

б) если а>0, b>0, то при изменении х от - a/b до +∞ эластичность убывает от +∞ до +1;

затрат (в ден. единицах) в зависимости от количества выпущенной продукции (х). Для заданных ниже вариантов функций издержек найти параллельные издержки (МС) и их значения, соответствующие следующим объемам производства: а) 10 ед.;

2.= ( ) = 2 − 3 ;

3.= ( ) = 0,25 2−0,51 + 1;

4.= ( ) = 3 − 3 2 + 6 + 3.

1.8.Цена предложение не совершенно конкурентной фир-1б). 15С =ед.;(в))20=ед.2 − 2 + 2;

мы задана функцией p=aq+b, где а< 0, b> 0. Найти предельную выручку фирму (MR).

1.9. Функция потребления С = f (I) описывает зависимость расходов индивидуального или совокупного потребления в за-

11

висимости от величины дохода (I). (Заметим, что речь идет о непроизводственных или текущих бытовых расходах за определенный период времени, которые не связаны со сбережением, инвестированием√I и производством.) Для функции потребления

С= 12 + 6I + 4 требуется:

1.Найти предельную склонность к потреблению (MPC = f' (I)) и её значение, соответствующее доходу в 16 ден.ед.

2.Определить равновесный уровень дохода I, который обеспечивает совпадение расходов и доходов.

3.Сделать набросок графика функции потребления и предельной склонности к потреблению.

4.Проиллюстрировать графиками нахождение точки равновесия (I*, C*) в координатной плоскости переменных C, I.

5.Найти предельную склонность к сбережению (MPS=1 -

МPC).

6.Найти мультипликатор инвестиций (k).

1.10.Для указанных функций потребления выполните за-

1) C = 5 + 0.5I +задачи0,5√:I; 2) C = 12 + 6I + a√I

ятия C=f(q), где q - объем выпуска продукции, то её средняя величина C=f(q)/q будет, очевидно, показывать издержки, приходящиеся на выпуск единицы продукции (в среднем), или, иначе говоря, удельные издержки. Этот пример указывает на тесную связь понятий средней и удельной величин.

13

Задачи 1.18-1.23 служат для определения и закрепления важных понятий темпов роста переменных, зависящих от дискретно меняющегося аргумента или, иначе говоря, последовательностей.

1.18. Докажите, что если зависящая от временипеременная у имеет в последовательные равные промежутки времени постоянный темп прироста b %, то ее изменение происходит по геометрической прогрессии. При каких значениях b эта прогрессия и расходится?

1.19. Определить годовой темп прироста переменой у, если: а) она имеет постоянный ежемесячный темп прироста b %; б) ее ежеквартальный темп прироста составляет b %.

1.20. Годовой темп прироста переменной у составляет r %. Найти:

а) средний ежемесячный темп прироста; б) средний ежеквартальный темп прироста.

1.21. Темп роста переменной у, зависящей от дискретного времени (т.е. времени, разбитого на последовательные промежутки( +1) с номерами t=0,1,2,…), определяется отношением

( ) (-темп роста в промежутке времени с номером t+1) (1.14)

1.Доказать, что постоянный темп роста а % в дискретном времени имеют только переменные y(t), изменяющиеся в геометрической прогрессии;

2.При каком значении а эта последовательность сходится и расходится?

14

3. Как связаны темпы роста и темпы прироста переменной у в один и тот же период?

Указание. В дискретном времени темп прироста пере-

менной у при переходе от промежутка с номером t к промежутку с номером t+1 равен отношению

1.22. Определить годовой темп роста переменной у, если: а) она имеет постоянный ежемесячный темп роста а %; б) ее ежеквартальный темп роста оставляет а %.

1.23. Годовой темп роста переменной у составляет R %. Найти: а) средний ежемесячный темп ростау; б) средний ежеквартальный темп роста у.

Задачи 1.24-1.31 посвящены понятиям темпа роста и прироста переменных (функций), зависящих от непрерывно меняющегося аргумента.

1.24. Темп роста функции y = f(x), соответствующий из-

прерывно дифференцируемых функций) нельзя ввести понятие мгновенного (точечного) темпа роста переменной у (функций f(х)), если действовать по аналогии с определением точечного прироста переменной у. В качестве примера рассмотрите простейшие функции - постоянную и линейную.

1.25. Определение мгновенного годового темпа роста. Для большинства задач экономического анализа достаточно таких показателей изменения динамических переменных, как годовые темпы роста и прироста. Однако при более углубленном исследовании некоторых процессов и тенденций необходимо учиты-

15

вать нюансы, скрытые в методах расчета этих переменных. Например, если цена на некоторый товар изменялась в течении года, то какой ее уровень следует считать годовым? Или: чему равно значение годового темпа роста цены в некоторый фиксированный момент t (мгновенный темп роста)? Предыдущая задача показывает, что ответ на этот вопрос не очевиден, а задачи 1.22-1.23 подсказывают следующее определение: годовым темпом роста переменнойy = f(t) в фиксированный момент времени

вольно фиксированному моменту времени (а не к какому-либо промежутку) и именно потому мы говорим о мгновенном темпе роста.

Приведите рассуждение, которое обосновывает данное определение годового роста.

1.26. Докажите, что только постоянная функция имеет единичный темп роста в любой момент времени.

1.27. Вычислите мгновенный годовой темп роста для указанных функций времени и укажите его значение на конец 1-го

1.28.Предложите определение полугодового, квартального, и пятилетнего темпов роста для любого текущего момента времени.

1.29.Покажите, что между нами было верным темпом

ростом (R(t)) мгновенным темпом прироста (r(t)) дифференцируемой функции y = f(t) имеется следующая зависимость:

16

1.30.a) Выпуск продукции предприятия ежегодно увеличивается на 9 %. Каков будет объем продукции через 5 лет, если начальный объем продукции равен Q?

б) Объем продукции предприятия увеличивается ежегодно на 8 %. Через сколько лет объем продукции завода удвоится?

в) Выпуск продукции предприятия за 5 лет увеличился на 50 %. Определить среднегодовой темп прироста продукции.

1.31.Темпом инфляции называется темп прироста среднего уровня цен (P), или индекс цен. Поэтому в расхожей фразе «инфляция составляет r % в год» речь идет именно о годовом приросте Р в r %. Отметим также, что темпы прироста и темпы роста любого показателя связаны между собой (задачи 1.21 в)

и1.29).

Допустим, что инфляция составляет 10 % в месяц. Через какой промежуток времени средний уровень цен удваивается?

ГЛАВА 2

Р Ы Н О К: С П Р О С И П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е

На рынке одного товара действующими лицами являются две группы экономических агентов:продавцы или фирмы, которые решают сколько товара выгодно продать и тем самым определяют объем предложения;покупатели (потребители), которые желают приобрести данный товар в определенном количестве и тем самым задают объём спроса.

В простейшей модели рынка основными исходными понятиями являются функции спроса и предложения в зависимости от цены.

Всюду ниже через P или p будем обозначать цену товара (от англ. prince-цена), а через Q или q - количество товара

(quantity).

17

Функция спроса от цены описывает зависимость количества единиц товара, которые покупатели согласны приобрести в единицу времени, от возможного уровня рыночной= цены( ) (Р). Функция спроса от цены обозначается через , где нижний индекс d указывает, что речь идет именно о функции спроса (от англ. demand - спрос). Согласно закону спроса она обычно является убывающей: с возрастанием цены объем спроса падает (рис. 2.1 а).

a) б)

Рис. 2.1. График функции спроса (a); график кривой спроса, т.е. функции цены спроса (б)

Функция, обратная к функции спроса, называется= −функ1( )-. цией цены спроса. Она может быть записана в виде P

График функции цены спроса называется кривой спроса. Поэтому при графическом изображении по вертикальной оси откладывается возможные уровни цены, а по горизонтальной - объем (рис. 2.1 б).

Функция предложения от цены описывает зависимость

количества единиц товара, которое продавцы готовы продать за единицу времени, =от возможного(Р), уровня цены. Обозначение этой функции - где нижний индекс s обязан своим происхождением англ. supply – предложение. Согласно закону предложения, функция предложения обычно является возрас-

18

Рис. 2.2. График функции предложения (a); график кривой предложения,т.е. функции цены предложения (б)

Функция, обратная к функции предложения, называется

может использовано обозначение Р = −1( ).

функцией цены предложения. Согласно определению, для неё

График функции цены предложения называется кривой предложения (рис. 2.2).

Для рынка совершенной конкуренции характерно тенден-

ция к установлению равновесия между спросом и предложением. В состоянии равновесия рыночная цена устанавливается на таком уровне Р*, что соответствующие объемы спроса и предложения совпадают. Таким образом для нахождения равновес-

равновесия = , т.е. решить уравнение моделей равновесная цена-решение дан-

ного уравнения-существует и единственна. Однако можно найти примеры таких экономических ситуаций, в которых равновесного состояния рынка ожидать нельзя (по крайней мере в

19

краткосрочном периоде), или же, напротив, существует несколько равновесных состояний.

По каждой равновесной цене Р* определяются совпадаю-щие=между= собой= (равновесный) = ( ). объём спроса и предложения:

Пара чисел (Q*,P*) называется точкой рыночного равновесия. Геометрический каждая точка рыночного равновесия (Q*,P*) представляет собой координаты точки пересечения кривых спроса и предложения (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Точка рыночного равновесия(Q*, P*) лежит на пересечении кривых спроса и предложения

В заключение отметим, что часто функция спроса обозначается через D=f(P) или D=D(P), а функция предложения – через S= (Р) или S = S(P).

Описанная простейшая модель рыночного равновесия является статистической. Она не описывает, как во времени изменяется цена, прежде чем она достигнет равновесного уровня Р, и достигнет ли она его вообще: ведь установление равновесия является только тенденцией. Отсутствует в модели и описание механизма, обеспечивающего рыночное равновесие.

Для того чтобы избавиться от указанных недостатков и сделать модель более реалистичной, необходимы динамические модели рынка, в которые введён в фактор времени. Несколько

20