2495

Пусть х1(t), x2(t) – объёмы производства каждого из этих предприятий в t–м году. Первое предприятие решает достигнуть поставленной цели путём дополнительной закупки оборудования, так что х1(t + l)=ax1(t), где а>I –постоянная, которую назовём производительностью; второе предприятие решает идти по пути коренной реконструкции производства, что приводит к временному снижению прироста, но зато к

зации которой вкладываются в реконструкцию, 0 ≤ с ≤I, b – коэффициент эффективности вложений.

Таким образом, второе предприятие выбрало более сложную политику и нужно помочь ему решить - оправдана ли эта политика. Попытаемся сделать это, решив две задачи.

6.2. Дифференциальное исчисление

6.15. Зависимость объёма производства υ некоторого продукта и численности населения N описываются, соответственно, функциями υ = 250 + 3 t + t2 иN = 2000 + 25t + 2t2, где t – время в годах от начала рассматриваемого периода.

111

Найти функцию, характеризующую зависимость объёма производства на душу населения от времени, и закон изменения скорости этой функции. При каких значениях t скорость изменения полученной функции положительна? Како-

ва экономическая интерпретация полученных результатов? 6.16. Задача1 об оптимальном размере партии.

Пустьс2 - затраты на хранение одного изделия в единицу времени, - общие затраты на производство одной партии из n изделий. Требуется определить размер партии, при котором обработка N изделий (N>n) за время потребует минимальных затрат.

6.17. Определить оптимальный размер партии и длительности производственного цикла, минимизирующие суммарные затраты из следующих условий:

а) необходимо обеспечить суммарную годовую потребность в I000 изделий;.

б) удельные затраты на хранение единицы изделия в течение месяцев равны 50 руб.;

в) производственные затраты на изготовление одной

партии равны I000 руб.

6.18. Задача об оптимальном времени замены оборудования.Пусть представляет собой начальную стоимость обокоторое в процессе эксплу тации изнашивается и

вания новым образцом из условия минимизации средних за-

где а0 - начальная стоимость1 , а1 затраты2 на ремонт и уход опи-

сываются функцией b = t3 ( , >0 , const, t - время).

6.20. Исследовать функцию y = 0,5 + 4/х + 0,2х и построить её график. Одна из возможных экономических интерпретаций приведённой зависимости: y - себестоимость единиц продукции, х - объём продукции, 0,5 отражает постоянную часть себестоимости, 4/x отвечает постоянным издержкам, приведённым на единицу продукции, 0,2х учитывает часть издержек, размер которых на единицу продукции тем больше, чем больше выпуск продукции.

6.21. В прогнозировании различных экономических процессов часто используется логистическая функция

y = k (I + be-ct)-1. Исследовать эту функцию и построить её график, предполагая, что k, b, c>0; const.

6.22. Стоимость плавания судна в течение часа выражается в тыс. руб. эмпирической формулой T= a + bυ3, где a и b– постоянные, которые должны быть установлены отдельно для каждого судна в км/ч. В этой формуле постоянная часть расхода а учитывает амортизационные отчисления и расходы на содержания команды, а второй член bυ3 - стоимость топлива. При какой скорости судно покроет любое требуемое расстояние наименьшими затратами?

6.23. Расходы на топливо для топки пароходов пропорциональны кубу его скорости. Известно, что при скорости в 10 км/ч расходы на топливо составляют 30 тыс. руб. в час, а остальные расходы, не зависящие от скорости, составляют 480 тыс. руб. в час. При какой скорости парохода сумма расходов на 1км будет наименьшей? Какова будет при этом общая сумма расходов в час?

6.24. По прямой АB (рис. 6.I) проходит железнодорожный путь. В стороне на расстоянии l от пути находится пункт С, из которого следует перевезти груз в пункт А. Предположим, что из пункта С можно добраться по прямой до произвольной точки на железной дороге. По какой трассе следует

113

перевезти груз из пункта С до железной дороги,а затем по железной дороге до пункта А, чтобы транспортные расходы были минимальными, если известно, что издержки при перевозке 1 тонны груза автотранспортом в 3 раза выше, чем издержки при перевозке по железной дороге на такое ее расстояние,а также если транспортные расходы пропорциональны расстоянию? Вычислить минимальные транспортные издержки по полученной трассе.

Рис. 6.1

6.25.Предположим, что груз необходимо перевезти от

Адо С ( рис 6.2), причём перевозки осуществляют от А до берега моря по суше, а от побережья – морем до B. Расстояние от А до морского побережья составляет а км, а от B до побе-

режья – b км. Расстояние А1B1– c км. Пусть издержки по сухопутным перевозкам составляют руб. на 1 км, а морским – n руб. на 1 км. Рассчитать, какой дорогой следует везти груз, чтобы стоимость смешанных сухопутно-морских перевозок была минимальной.

Рис. 6.2

6.26. Пусть задана зависимость расхода автомобилем горючего на 100 км пути от скорости движения автомобиля:

114

f(x)=20–0,4x+0,006x2, где х - скорость в км/ч, f(x) - расход го-

рючего в литрах на км. Найти закон изменения скорости расхода горючего. Построить график полученной зависимости. Сравнить скорости расхода горючего при движении со скоростью 60 км/ч и 80 км/ч.

6.27.Закрытый резервуар для перевозки жидкостей имеет форму цилиндра объёмом V. Каковы должны быть размеры цилиндра, чтобы стоимость материала, использованного для его изготовления, была минимальной?

6.28.Определить такие размеры открытого бассейна с квадратным дном объёмом 32 куб. м, при которых на облицовку его стен и дна расходуется наименьшее количество материала.

6.29.Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу канала, а три другие огораживаются забором. Каковы должны быть размеры этого участка,чтобы его площадь равнялась 800 кв.м, а длина забора была наименьшая?

6.30.Завод производит ежемесячно 5000 единиц продукции, доставляемой двум потребителям. Цена реализации единицы продукции составляет 5000 руб. для каждого потребителя. Расходы по доставке единицы продукции с завода соответственно к первому и второму потребителям составляют

0,4+0,001х1 и 0,5+0,002 х2, где х1 и х2- количества единиц продукции, перевозимых первому и второму потребителям соответственно. Определить оптимальное распределение продукции между потребителями, при котором завод получит: а) минимальную прибыль, б) максимальную прибыть.

6.31.Для производства некоторого продукта в количестве 1000 единиц в день могут быть использованы два станка различной производительности. Суммарные затраты на вы-

пуск продукции за день составляет для первого станка 5004х1+0,01х12 и для второго 1200–6х2+0,02х22, где х1 и х2 – дневные производительности первого и второго станков соответственно. Определить производственную программу работы обо-

115

их станков, обеспечивающих дневную потребность в продукте при минимальных затратах.

6.3. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения

6.32. Непрерывная на отрезке [0,7] функции y=f(t) описывает производительность труда в любой момент времени t, отчисляемый от начала рабочего дня в часах. Функция f(t) измеряется количеством продукции за час работы. Определить выработку рабочего за третий час работы.

6.33.Пусть f(t) – нагрузка в киловаттах на трансформаторную подстанцию в любой момент времени t, отчисляемый в часах от начала суток. Найти расход электроэнергии потребителями за промежуток времени от 0 до 24 часов, если f(t) является непрерывной на этом промежутке.

6.34.Численность населения в любой момент времениt задаётся функцией y= f(t). Потребление некоторого продукта пропорционально численности населения с коэффициентом пропорциональностиk. Считая f(t) непрерывной на рассматриваемом промежутке, найти объём потребления рассматриваемого продукта за первое полугодие второго года с момента начала отсчёта.

6.35.Функция f(х) описывает плотность движения грузов в любой точке железной дороги, находящейся на расстоянии х от выбранного начала железной дороги. Указанная плотность движения грузов измеряется весом в тоннах всех грузов, проходящих за год через эту точку. Найти годовой объём перевозок по железной дороге от её начала до l-го км, предполагая f(х) непрерывной на отрезке [0, l].

6.36.Функция y=f(t) устанавливает интенсивность хлебозаготовки в любой момент времени t, отсчитываемый от начала хлебозаготовительной компании. f(t) измеряется количеством зерна, поступающего за единицу времени. Найти объём

116

хлебозаготовки за период (0, Т), считая, что f (t) непрерывна на этом отрезке.

6.37. Определить дневную разработку А рабочего за семичасовой рабочий день, если производительность труда yв течение дня описывается функцией y=y0(-0,025t2+0,2t+0,6), где t - время от начала смены, y0 - производительность на начало смены. Вычислить дневную выработку рабочего при другом режиме работы, предполагая, что работа велась ритмично с максимальной производительностью. Построить схематические графики изменения производительности труда рабочего в течение смены для рассматриваемых режимов работы. На сколько процентов дневная выработка во втором случае окажется больше, чем в первом?

6.38. Тариф перевозки 1 тонны груза составляет y руб/км и убывает с ростом пройденного расстояния х (в км) по закону y=a(x+ b)-1, где а и b– заданные положительные постоянные. Определить зависимость суммарной стоимости перевозки 1 тонны груза от пройденного пути.

6.39. Уровень q ежегодного производства некоторого вида оборудования растёт с темпом роста k>0 и составляет в начальный момент t=0 величину q0. Определить суммарное количество оборудования, произведённого к моменту времени Т. Найти числовое значение q при k= 0,1; q0=2 и t=5.

6.40. К условиям задачи 6.39 дополнительна известна доля оборудования, ежегодно выбывающего в результате морального и физического износа; пусть эта доля составляет k1 частей от первоначального количества оборудования. Определить количество единиц оборудования, находящегося в эксплуатации через Т лет. Найти числовое значение q при k1=0,02, k=0,1, t=10, q0= 2.

6.41. Зависимость нагрузки на трансформаторную подстанцию (в киловаттах) от времени суток t (в часах от на-

чала суток) выражается формулой y=a + bcos12(2 + 3). Опре-

117

делить суммарный расход электроэнергии потребителями за время от 0 до 24 часов. Провести расчёт при следующих данных: а=25 тыс. кВт, b=15 тыс. кВт.

6.42.Функция y=5t+3t2. Определяет интенсивность поступления продукции с конвейера на склад в любой момент времени t, отчитываем в часах от начала поступления продукции на склад. Найти запас продукции, поступившей на склад за первые три часа приёма, если считать продукцию непрерывно поступающей на склад.

6.43.Машиностроительная промышленность выпускает станки некоторого типа. Уровень их производства в любой момент времени t, отсчитываемый от момента начала произ-

водства, задаётся функцией y(t), где y0 = y(0) - начальный уровень выпуска, к – положительная постоянная. Первоначальная стоимость каждого станка составляет b рублей, а полный срок его эксплуатацииравена годам. Определить количество k станков, выпущенных к моменту времени Т<a, и их общую

стоимость S без учёта износа.

а) y(t)=y0 + kt; б) y(t) = y0еkt.

6.44.По условию задачи 6.43 найти суммарный объём амортизационных отчислений А к моменту времени Т, считая, что они производятся непрерывно по норме 10 % за единицу времени.

6.45.Годовая производительность предприятия по выпуску станков меняется во времени в соответствии с функцией y(t). Считая, что каждый станок служит Т лет, а з атем выбывает вследствие износа, найти численность станков в момент

времени t. Провести расчёт при следующих числовых данных: k= 0,05,y0=1000, T=10,t =15 для функций а) y(t)= y0еkt,

б) y(t) =y0 + kt.

6.46.Ширина реки 26 м, промерыглубины в поперечном сечении реки через каждые два метра дали следующие результаты:

118

Где х означает расстояние от одного берега, а у - соответствующую глубину в метрах. Зная.что средняя скорость теченияравна 1,3 м/сек, определить секундный расход Q воды в реке.

6.47. Ежедневный уровень выпускапрдукции у возрастает со средним темпом 0,33%. Определить зависимость уровня выпуска продукции от времени и суммарный выпуск продукции за 30 дней,если уровень выпуска в начале месяца составил 1000 единиц в день.

6.48. Производительность труда рабочего в течение смены является функцией времени t. Скорость изменения производительности труда описывается линейной функцией у’=2at + b,где а и b– заданные постоянные. Найти функцию, выражающую зависимость производительности труда от времени, если момент времени t=0 она была равна у0.

6.49.Полные издержки С являются функцией от объёма производства q. Допустим, что предельные издержки для всех значений q равняется удвоенным средним издержкам. Найти функцию полных издержек, если С(10) = I.

6.50.Предположим, что предельные и полные издержки для всех значений q>0 удовлетворяют уравнению С’–4C+q=0. Найти функцию полных издержек, если С(0) = 0.

6.51.Найти функцию полных издержек С (q), если известно, что предельные издержки для всех значений q>0 пропорциональны с коэффициентомkсредним издержкам и

С(I) = I.

6.52.Скорость изменения стоимости оборудования вследствии его износа пропорциональна в каждый данный момент времени его фактической стоимости (коэффициент пропорциональности – k< (0). Начальная стоимость в момент

119

t=0 равна А0. Какова будет стоимость оборудования через t лет.

6.53.Из статистических материалов известно,что число новорождённых за единицу времени (один год) пропорционально численности населения с коэффициентом пропорцио-

нальности k1, а число умерших за единицу времени также пропорционально численности населения с коэффициентом про-

порциональности k2. Найти численность населения в любой момент времениt, если в момент t=0 она задана. Предполагается, что не имеет места эмиграция и иммиграция.

6.54.Численность населения страны на 1 января 1993 года составляла 160 млн. человек. Найти численность населения на 1 января 1998 года, а также на 1 января 2003 года, счи-

тая, что коэффициент естественного прироста населения k= 0,012 и не имеет места эмиграция и иммиграция.

6.55.Предположим, что прирост населения прямо пропорционален численности населения. Найти зависимость между численностью населения N и временем t, если известно, что в некоторый момент, принимаемый за начальный, ко-

личество населения равнялось N0, а через год оно увеличилось на а %. Вычислить:

а) численность населения страны на1 января 1994 и 1 января 2000 года, если известно, что 1 января 1993 года оно составляло160 млн. человек, а годовой прирост за 1992 год составил 0,7%;

б) численность населения Москвы на 1 января 2000 года, если известно, что 1 января 1961 года оно составляло 6,324 млн. человек, а годовой прирост составлял 1.7 %.

6.56.Естественный прирост населения большого города пропорционален наличному количеству жителей и промежутку времени. Кроме того, население города увеличивается благодаря иммиграции: скорость прироста населения таким путём пропорциональна времени, отсчитываемому от момента, когда население города равнялось N0. Найти зависимость

120