2495

потребление зависит от ожидаемого дохода. Эта зависимость

возрастает с увеличением дохода, но не быстрее, чем доход. Если потребление составляет долю ожидаемого дохода, то функция потребления линейна, т.е.

101

Элементарные динамические варианты модели макроэкономики в дискретном времени можно получить, если ввести

запаздывания потребленилия от дохода от времени, т.е. если вме-

сто функции (5.19)= рассмотреть−1 же, например= 1 1,+ 2 2, а инвестиции считать экзогенно с заданными, например, посто-

янными или растущими с заданным темпом.

Рассмотрим теперь переход от статической модели динамической модели в непрерывном времени.

Одна из возможных стратегий капиталовложения заключается в так называемом принципе акселерации: прирост национального дохода вызывает рост инвестиций и наоборот. Такие инвестиции, вызванные изменением дохода, называют производственными или индуцированными (в отличие от независимых или автономных инвестиций, которые в данной модели рассматриваются. Принцип акселерации можно описать, на-

именно уравнение относительно Y, так как произвольная функция Y(t) не может обеспечить условия равновесия (5.18) при выполнении неравенств (5.19), (5.22), позволяющих ожидаемые потребление национальному доходу.

102

ставляет собой долю дохода, идущую на сбережения. Её назы-

эффективность капиталовложения. Он показывает изменение дохода, приходящееся на единицу инвестиций.

103

5.=150,1.Допустим, что в непрерывной= 0,5 модели норма сбережения , а коэффициент , тогда (обратите внимание на размерность в равенстве (5.23).

1. Чему в этом случае будет равен темп прироста дохо-

да?

2. За сколько лет доход возрастёт на 50 % по сравнению

(5.22) в дискретном времени? Опишите и исследуйте соответствующий разностный аналог модели.

5.18.Простой вариант модели Харрода-Домара с производственной функцией. Одним из факторов, ограничивающих рост национального дохода является фонд К. Его можно ввести в рассмотрение, связав с доходом при помощи макроэкономической линейной производственной функции

дискретном вариантах модели роста, соответствующих гипотезам (5.25), (5.26). В случае затруднения используйте численные

данные задачи б).

2. Рассмотрите модели= 1 = 3при следующиха = 0,12 (конкретных0 = (0) зна- чениях параметров: года,

104

или К0 = К(0) считать произвольно фиксированными.

3. Рассмотрите, как изменится гипотеза (5.26), если учесть амортизацию капитала, предположив, что она происхо-

дит с постоянным темпом выбытия (см. ниже пояснение 1)). Пояснение.

1. Предположение (5.26) означает, что, во-первых, отдача от инвестиций не запаздывает во времени (они осваиваются мгновенно, или в том же периоде, в каком инвестированы), и,

Он показывает, как следует из (5.25), объём капитальных затрат, приходящийся на единицу дохода (выпуска продукции).

зируемая норма сбережений s(t), то модель (5.23) позволяет определись соответствующий прогноз изменения национального дохода. Другой важный случай - когда s рассматривается как инструмент экономического регулирования. Тогда она (как функция времени) может служить для достижения желаемых целей. Например, s(t) можно выбирать из условия максимизации суммарно непроизводственного потребления за отрезок

времени [0, Т], т.е.из условия максимума интеграла

0х ( ) = 0х(1 − ( )) .

105

Во всех этих вариантах для ра боты с моделью (5.23) сначала следует задать стратегию сбережения a(t) (или норму потребления, а(t)) и лишь затем определять соответствующую динамику дохода.

5.6. Модель роста Харрода-Домара

Основное отличие этой модели от предыдущей обуслов-

лено темчто теперь будут учтены как индуцированные капиталовложения (I) так независимые или автономные (J). Последние могут быть определены как планируемые инвестиции, величина которых не зависит от изменения национального дохода (т.е. от Y), а также его уровня. Балансовое равенство или, точнее, условие макроэкономического равновесия (5.18), приобретает в этом случае вид

уравнение 1-го порядка (5.29) составляет основу модели Харрода-Домара (в неё включаются также равенства (5.28)). Модель описывает динамику национального дохода в зависимости от нормы накопления (s) и планируемых независимых инвестиций (J).

В общем случае, как s, так и J могут меняться во времени и их можно рассматривать в качестве переменных экономического регулирования. При такой трактовке интегрирование уравнения (5.29) осуществляется после принятия решения( ) ио выборе( ) стратегий накопления и инвестиций (т.е. функций ).

106

Задачи

5.19. Найдите решение уравнения (5.29) при начальном

5.20. Опишите и исследуйте дискретный вариант модели при постоянных инвестициях J и норме накопления S.

5.21. Постройте и исследуйте непрерывный и дискретный варианты модели с введенными в неё фактором капитала и индуцированными инвестициями, зависящими от уровня дохода. Ограничьтесь, как и в задаче 5.18, линейными функциями производства и сбережения.

ГЛАВА 6

РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

6.I. Введение в анализ

6.1. На предприятиях действует прогрессивнопремиальная оплата труда, определяющая месячный заработок в процентах к установленной ставке ω в зависимости от процента выпол-нения плана на следующих условиях:

107

Представьте в аналитическом виде зависимость междух, y и ω. Постройте график этой зависимости при фиксированной став-

ке ω.

ции описывается функциями y1= 50е0,05 и y2= 70е0,02 соответственно, где t - время в годах. В начальный момент време-

6.2.Надвухпредприятиях объём производства продук-

ни (приt = 0) y1 = 50, y2 = 70. Через сколько лет первое предприятие по выпуску продукции превзойдёт второе?

6.3. Рост производительности труда y в течение года

гая, что отчисления производятся непрерывно, определить остаточную стоимость станка через t лет.

6.6.Определить зависимость численности рабочей силы предприятия от времени0 , если в начальный момент времени на предприятии было рабочих, а годовой показатель относительного выбытия рабочих равен υ – отношению числа вы-

бывших за год рабочих к их среднегодовому числу. Для упрощения расчётов предполагается, что новые рабочие на предприятие не прибывают. ( + )

6.7.Формула сложных процентов = описывает, в частности, характер роста производственных мощностей в развивающейся экономической системе. Здесь r - норма отчислений на наращивание средств производства. A - начальный объём производственных мощностей. Построить кривые, описывающие зависимость производственных мощностей в стоимостном выражении от времени при нормах отчислений равных соответственно 3, 5, 7, I0 %.

108

6.8.Пусть Х - количество израсходованной предприятием электроэнергии в кВт-часах, а y - её стоимость в рублях.

Сцелью стимулирования экономии электроэнергии установлено два разных тарифа - тариф равен k,если расход не превышает a; и тариф увеличивается на l, если расход превышает a (k> 0 , l> 0). Запишите вид функции, характеризующей затраты предприятия на израсходованную электроэнергию, исследуйте эту функцию на непрерывность и постройте её график.

6.9.Выпуск продукции предприятия увеличивается ежегодно на 9 %. Определите объём выпуска продукции через 5 лет, если начальный объём продукции равен А.

6.10.На некотором предприятии объём продукции ежегодно возрастает на 8 %. Через сколько лет продукция завода удвоится?

6.11.Выпуск продукции некоторого предприятия за 5 лет увеличился на 50 %. Определите среднегодовой темп прироста продукции.

6.12.Задача Феттера. Пусть даны два промышленных центра А и B, в которых производится одно и то же изделие, но с разными затратами на единицу продукции. Где будет проходить граница районов, снабжаемых из каждого центра,при условии, что транспортные издержки в расчёте на километр одинаковы?

Пояснение. Считайте, что продажная цена единицы изделия складывается из себестоимости плюс твёрдая процентная надбавка; в любую точку местности из пунктов А и B можно попасть по прямой, что соответствует развитой транспортной сети. Полезно рассмотреть случай, когда в центрах A и B удельные затраты одинаковы.

6.13.Лесоперерабатывающее предприятие, объём производства которого в момент t обозначим x(t), работает на местном сырье, запасы которого в момент t составляют y(t).

109

Средства от реализации продукции используются для расширения объёма производства так, чтобы он нарастал по геометрической прогрессии x (t+1) = ax(t), a>1 , если бы не было ограничений по запасу сырья. Однако при уменьшении запасов сырья темп производства (а) снижается из-за трудностей его добычи, доставки и снижения качества. Поэтому вместо а темп производства принимается равным (a – l – b/y(t)), где l, b >0, причём l - показатель затрат на лесоразделение. С учётом этого рекуррентное соотношение− − имеет вид

x(t + I) = ( ) x(t).

С другой стороны, изменение запасов сырья y(t) происходит за счёт добычи, которая принимается пропорциональной объёму производства, и восстановления, пропорционального наличным запасам y(t). Оба процесса можно описать ре-

куррентным уравнением y(t + I ) = cy (t) – dx (t) + klx(t) y(t),

где c, d, k –положительны, причём с – коэффициент естественного восстановления, k - показатель эффективности затрат на лесовосстановление. Таким образом, в совокупности имеем систему двух разностных равнений, описывающих работу предприятия в условиях ограниченного сырьевого ресурса.

1.Подсчитать таблицызначений и построить графики x(t) и y(t) от t=1 до t = 20 при следующих параметрах: а=I.5, b= c= l, l=0 (лесоразведение отсутствует), x(0)=1, y(0)=10

(шаг дискретизации принять равным году);

2.При каких постоянных k и l данных первого задания начальный запас сырья не снижается?

3.Каково наименьшее значение показателя эффективности k, при котором объём производства не убывает?

6.14.Два предприятия с одинаковым видом выпускаемой продукции решают вопрос о выборе хозяйственно политики, направленной на получение наибольшего объёма продукции, например, в течение 5 лет.

110