2495

4.46.

q

Указание.

Воспользуйтесь результатами задачи

4.47.

(A, , , , ) =

[(1− ) ]

;

1

1−

4.44 и 4.45.

(1 − )

= [

1]1;

1−

1

П(

) = [( )

(

1 −

)

− [

(1 − )

− ].

]

Указание. Задача максимизации прибыли может быть

решена двумя способами:

представлением прибыли в виде

функции трудозатрат L и в виде функции объема выпуска q,

определяя при этом величину L по заданной производствен-

q

=

3d

.

ной функции.

c + c +3(p−b)d

4.48.

2

= d − ld , П(q ) = (d − lq )q −

4.50.

а) q = 2b+d(l+c) , q

4.49. Указание. См. задачу 4.44.

(a −bq + cq

2

).

Указание.

При выполнении пунктов б), в) воспользо-

ваться указаниями к задаче 4.44.

4.51. I-й способ. Оптимальное значение объема вы-

Соответствующие(

) q

− 2bq + a = 0.

пуска q* удовлетворнет уравнению:

ω

AKO

1

a

1 − a

1

1−a

1−a

L = (

)

p

значения трудозатрат L*, цены спро-

= a − bq

са p* и максимальной прибыли П* определяются соотноше-

ниями:

AKOa

1−a

,

,

q

1

(AKqOa )1−1a]

П

= (a − bq )q − [pkKO

+

ω

.

как функции объема выпуска q.

2-й

способ. Оптимальное значение трудозатрат L*

2AbKO(1

− a)L

+

L

= aAKO(1

− a).

a

1−a

ω a

a

удовлетворяет уравнению:

Соответствующие

p

значение

объема

q*,

p* и

q

= AKO(La

)1−a

= a − bq

,

a

1−a,

П*определяются соотношениями:

− (pkKo +

L )

П

= aAKOL

−AbK

ω

.

Указание. Данное

решение2−2a

отвечает задаче

максимиза-

TR = (a −

2 q)q

D = AR = a −

2 q

ции прибыли как функции трудозатрат.

+ −

+

TC = J + cq −

d

q +2

l

q

=

4.52.

а)

2

2

b

3

;

2

b

;

2

=.

3

3

2

;

;

( − )2 −

.

( − )+ ( − ) −4 ( − )

.

4 ( − ) > 0 = −

2

2

б)

= ( − 2

)

− − + 2

при условии

П

2

− 3

3

4.53.Указание.

Постройте прямуюMR,

воспользовав-

шись видом прямой AR.

Затем обратитесь к рис.

и задаче

т.е. фирма

= 4

= 11

= 4,

= 5,4, П ~ − 9,

4.44.

4.55.терпита)

убытки, .

;

б)

в)

4.56. а)

= 4,

= 10; б) = 7;

= √40 ~а)

6,16.

б)

=

2

;

в)

= 8;

г)

= 12.

4.58.

а)

= 6;

15

2

=

2

; П

= П(q ) = (p − mpm −

ωb)q

4.57.

− ωa.

− −

б) Для функции

имеем

′

( ) =

2

(

2

−

)

> ,

( , / )

;

< 0, > /

(см.

= /

следовательно, k(q) возрастает, пока выпуск не достигнет ве-

личины

. Т.к. L(q) монотонно возрастает при q> 0

пункт а) ), то отсюда вытекает возрастание удельной тру-

= ( ) = 2 +

/

доемкости (как функции затрат труда) пока последние не дос-

тигнут

порогового уровня

.

в) да.

=

4.60. qа)

∑i=1 qi = A ω − B ω −;

б)

n

= 2 ( + )

=

2

,

4.59.

p

pm

.

Продажная цена в этом варианте составляет вели-

=

2 ( +

+ )

2

чину

1

, что как раз на

руб. больше, чем в

варианте а).

Указание.

Вариант б) более общий,

т.к. при t = 0 он

4.61.

а) Если n(t) – число действующих предприятий

Различные

= ( ) = ( )

при налоговой ставке t %, то общие налоговые поступления в

бюджет составят величину

.

зависимости бюджетных поступлений от

ставки налога называют кривыми Лаффера).

Оптимальная налоговая ставка должна выбираться из

( ) =

(1) = 0,

[0,1].

условия максимума функции T(t) при условии t

б)

,

n(t) – убывающая

функция (при

(0,5) = 0,25 ( );

=

0,5

;

50%) и

=

в)

линейный вариант:

(или

′

( ) =

2

(

2

−

)

> ,

( ,

/ )

< 0, > /

(см.

= /

следовательно, k(q) возрастает, пока выпуск не достигнет ве-

личины

. Т.к. L(q) монотонно возрастает при q>0

пункт а) ), то отсюда вытекает возрастание удельной тру-

= ( ) = 2 +

/

p

p

доемкости (как функции затрат труда) пока последние не дос-

4.60. qа)

=

∑i=1 qi

= A ω − B ω −;

n

в) да.

порогового уровня

.

тигнут4.59.

=

2

,

m

б)

= 2 ( + )

= 2

−

1

2

( + + )

ну

1

Продажная цена в этом варианте составляет величи-

, что как раз на

руб. больше, чем в ва-

рианте а).

Указание.

Вариант б) более общий,

т.к.

при t = 0 он

логовая ставка должна выбираться из условия максимума

отсутсвтвии( ) =

(1) = 0,

функции T t) при условии t

[0,1].

б)

,

n(t) – убывающая функция (при

"

= (0,5) = 0,25 (

)

;

(0,1), "

= (

;

= 1+1

) = (1+ )

-

(> 50%

, т.к.

оптимистический"

1+

= ( ) = (1+ )1+

= (1+ )

пессимистический" -

1

=,1+1

(> 50% , т.к. α > 1);

"смешанный" -

.

Р = + +

ГЛАВА 5

=

−1, | =0 = 0. 1) = − ,

5.1.Рекуррентное соотношение, задающее модель:

−

−

=

−

. 3) =

= [ 0 −

]

,

= =

+ [ 0 − ]

. 4) При

→ ∞ имеем: если

;

то

> −1, то →

, →

, →

если < −1, то → ∞, → ∞, → ∞; если

= −1,

последовательность ограничена, но предела не имеет, чле-

ны последовательности принимают два значения, колеблю-

0, 2

= 0, = 0,1 … ,

точки

равновесия:

щиеся

относительно

цены

{ }, {

}: 2+1

= 2+1

= + 0; 2

= 2 = +

аналагично

ведут

себя

последователь-

0, = 0,1, …

→ ∞

< 1, то .

→ ,

→

ности

; если

> 1, то → ∞,

→ ∞, → ∞

, 5→

5).

При

:

если

+2 − (1 − ) +1

− = − , = 0,1, … 1)

.4. Уравнение динамики цены в модели Гудвина:

=

−

;

=

=

−

.

−

−

4.

+2

−

+1

−

= 0, = 0,1, …

3.

(1− )

(1 − )

Характеристическое уравнение: 2 −

2(1

− )2

−

= 0, его дискриминант ∆=

2

+ 4

.

∆< 0, то

=

( 1 + 2

), где

a) Если

(1 − )

= −

, =однозначноarg

.

определяется+ |∆| . условиями:

(−, ), =

(1− )

, =

|∆|

(1− )

Указание.Угол

Если

2

= ( 1

2

)

2

.

Если ∆ <0,

∆ = 0, то

+ 2

тогда решение характеристического уравнения

1,2

= 2

±

2 , = 1 1

+ 2 2.

∆ < 0,1

, 2

(1− )

√∆

Через

обо-

Р0

, С2

1

−

− ( 0

) ].

С1

=

− Р

= [ 1

−

то

значены произвольные постоянные. б) Если

Если

∆=0,

то

чим решения задач Коши. а) Во всех трех случаях цену спрос

=

+

=

= +

р (0,

3), >

подставить

1

и предложение,

можно вычислить.,

4)а)

Если

−(1− )

−3 , 1

−3 , 1

> −

4

2

1

1

1

∆

или

0, 3

(−3,0)

= −

(1−)

или

,

(при этих усло-

∆

б)

Если

1

4

2

∆>

0,,

3 −1−2

<(в− < −(1−случае)

виях

>0); если

,

,

(в этом слу-

0

1

1

1

4

2

4

2

∆< 0

(3 , 1) −(1− )

чае

=0) или если

1

,

4

(тогда

2

∆= 0

если 3 , 1 , (−∞, −3],

=

−(1− )

этом

),

).

3 , −∞, −1−2

(−∞, −(1−)

(при 0,

3 , 1 ,

)

если

1

1

1

(тогда

4 2

,

или

,

1

этих условиях

). в) последовательность { } ограни-

(в

этом

случае

31, 1 ,

2 (−3, −)

1), =

имеет,

её члены принимают значения ко-

чена, но предела не∆> 0

∆< 0, |

|

≤(|в | + |

Р

если

| +

леблющиеся относительно Р*,

если

1

0, 31 , (−3, −1), = −1−12

∆>

0, | | ≤ | 1| +

).

или

этом

случае

Поведение последовательностей

и

во всех случа-

поведение цены имеет колебательный

а < 0, > 0, (0,1)

ях аналогично поведению

последовательности

}

.

{ }

{

При

всех

значениях

параметров

при

{ }

иначе

5)

Если

(0,1), (0,1),

то

→ ∞ → ,

→ ∞.

характер.