При этом отношение оптимальных значений высоты ребра к толщине примет вид

а максимальное значение теплового потока —

1.4. Задачи оптимального планирования

Задачи математического программирования часто возни­ кают в экономике, при планировании производственных про­ цессов и количественной оценке альтернативу связанных с при­ нятием управленческих решений. Постановка этих задач обыч­ но основана на анализе и сопоставлении расходуемых ресурсов и полученного результата. Такой подход принято называть ме­ тодом „затраты — эффективность“. Применение этого под­ хода приводит, как правило, к двум связанным между собой типам задач: либо максимизировать эффективность при огра­ ниченных затратах, либо обеспечивать эффективность не ниже заданной при минимальных затратах. Таким образом, крите­ рием оптимальности может быть количественное выражение затрат или эффективности. Рассмотрим несколько примеров такого подхода.

Пример 1.11. Предположим, что предприятие может вы­ пускать продукцию п наименований, для производства которой требуется т видов ресурсов (сырья, энергии, оборудования и т.п.). Обозначим через aij затраты г-го вида ресурсов, г = = 1, га, на производство единицы продукции j-ro наименования, j = 1, гг, а через Ь{ и Xj полные объемы располагаемых ресур­ сов и планируемые объемы выпуска продукции соответственно. Если к тому же по каждому наименованию продукции заданы

нижняя a,j и верхняя Aj границы объема выпуска продукции, то можно записать ограничения типа неравенства

Если эффективность производства продукции характеризо­ вать суммарной выручкой от продажи продукции, то опти­ мальный план х = (ях, £2, •••> £п) выпуска продукции должен удовлетворять этим ограничениям и обеспечивать максимум

целевой функции

п

S = У ^djXj,

3 = 1

где dj — цена единицы продукции j - го наименования. В данном случае и целевая функция, и ограничения линейны относитель­ но параметров оптимизации xj, j = 1, п. Поэтому рассмотрен­ ная задача оптимального планирования выпуска продукции является задачей линейного программирования.

Пример 1.12 (транспортная задача). Пусть необхо­ димо составить план перевозок некоторого товара с т складов в п магазинов так, чтобы затраты на эти перевозки были мини­ мальными. Предположим, что на г-м складе, г = 1, т , имеется а* единиц товара, a j -й магазин, j = 1, п, сделал заказ на bj единиц этого товара, причем стоимость его перевозки с г-го склада в j -й магазин равна сц. Обозначим через х^ планируемое коли­ чество товара, перевозимое с i-го склада в j -й магазин, тогда стоимость его перевозки составит CijXij. Общие затраты на пе­ ревозки — это сумма затрат на перевозки со всех складов во все магазины. Поэтому оптимальный план перевозок соответ­ ствует минимуму целевой функции

i—1 j=l

что должно быть достигнуто выбором ran значений X{j ^ О, которые в данном случае являются параметрами оптимизации. Но при этом необходимо обеспечить потребности магазинов, т.е. должны быть выполнены ограничения типа равенства

771

^ ^ ij ~ bji J = 1?

г—1

Однако с любого склада нельзя вывезти товара больше, чем там его находится. Следовательно, должны быть выполнены ограничения типа неравенства

п

г — 1,тп.

j = 1

Отметим, что сформулированная задача оптимизации, отно­ сящаяся к классу задач линейного программирования, имеет решение, если сумма заказов магазинов не превышает суммар­ ного запаса товара на всех складах, т.е.

П771

Пример 1.13 (задача о диете). Рассмотрим задачу по­ строения оптимального рациона питания. Обозначим: п — число видов пищевых продуктов; т — число видов питатель­ ных веществ; — число единиц i-го питательного вещества в единице j-ro продукта; 6; — ежегодная потребность в г-м питательном веществе; cj — стоимость единицы j -го продук­ та. Выясним, сколько единиц каждого пищевого продукта нужно употребить за рассматриваемый период (в данном слу­ чае за год) таким образом, чтобы, обеспечив потребности в каждом питательном веществе, затратить минимальное коли­ чество денег.

характеризующую суммарные затраты на производство изде­ лий. Следовательно, сформулированная задача является зада­ чей нелинейного программирования.

Пример 1.15. Пусть сеть газопроводов связывает между собой га месторождений А*, г = 1, га, газа и п пунктов J3j, j = = 1, п, его потребления с известными значениями pj ^ 0 расхода

причем стоимость подачи газа по fc-му участку, к = 1, К, явля­ ется функцией fk(qk) расхода qк через этот участок. В пунктах потребления газа имеем ограничения типа равенства

где В* и В~ — множества участков сети с входящими в j-й пункт и выходящими из него потоками газа соответственно. Аналогично для месторождений газа получаем ограничения типа равенства

9 i = X 9fc> i =

к€А~

Оптимальным планом добычи газа на месторождениях и рас­ пределения потоков газа по участкам сети газопроводов будет план, который удовлетворяет указанным ограничениям и обес­ печивает минимум общих затрат

m К

S = ^ 2 tPi(9i) + '^2fk (Як)

г=1 к=1

на добычу и подачу газа. Все ограничения в сформулированной задаче линейные. Поэтому в частном случае линейных функций (pi(gi) и fk{qk) она будет задачей линейного программирования, но в общем случае — задачей нелинейного программирования.