где е\, еп — стандартный базис в Rn, находим точку

полагаем /*+1 = f ( x k+1) и переходим к п. 2.

2.Если j < п, то принимаем j := j +1 и переходим к п. 1. В противном случае переходим к п. 3.

3.Если ж£+1 ^ х к, то переходим к п. 4. В противном случае уменьшаем длину вектора Ь, полагая Ь:= Ь/у, где 7 > 1 — коэффициент дробления шага исследующего поиска, и, полагая

j = 1 , x k = x k, fj = f ( x k), возвращаемся к п. 1 .

4. Если |®£+ 1 — х к\< е, то дальнейший поиск точки мини­ мума прекращаем, полагая х* « х к~1 и f(x*) « /(® fc_1). В противном случае полагаем х к+г = ®£+1 и переходим на к-м шаге поиска к этапу спуска в направлении вектора x k+l —х к, имея при этом f ( x k+1) < f { x k) ^ /(а:*-1).

подбирая так называемый ускоряющий множитель ак > О, находим такую точку х к, чтобы f ( x k) < f ( x k+1). С увели­ чением ак увеличивается длина ak\xk+l —х к\ шага спуска в направлении вектора x k + 1 — x k. Значение ak можно подобрать из условия минимума функции /(аз) при смещении точки х к в направлении этого вектора. Может оказаться, что ак £ (0,1]. После нахождения точки х к переходим к следующему шагу поиска (к п. 1 этапа исследующего поиска), полагая j = 1, x k + 1 = = x k + 1 = х к, f k + 1 = f { x k) и затем к := к + 1 .

Впростейшем варианте метода Хука — Дживса значение ак

в(6.13) не подбирают, а задают постоянным, причем обычно полагают ак —2. На рис. 6.16 иллюстрируются этапы исследу-

ющего поиска и спуска для первых двух шагов поиска точки х* минимума целевой функции двух переменных при а\ = <22 = 2, 7 = 2 и начальной точке х°.

Известно много модификаций метода Хука — Дживса. Од­ на из модификаций связана с введением дополнительных правил выбора точки х к на каждом А;-м шаге при проведении этапа ис­ следующего поиска. Например, координаты этой точки можно выбирать, используя модифицированный метод циклического покоординатного спуска*. На рис. 6.17 иллюстрируется первый шаг поиска точки х* минимума целевой функции двух перемен­ ных с применением на этапе исследующего поиска модифици­ рованного метода циклического покоординатного спуска, а на этапе спуска — процедуры подбора ускоряющего множителя аь = а\ > 0 в формуле (6.13), исходя из условия минимума целе­ вой функции в направлении вектора х 2 —х 1.

Для определения точки х кна к-и шаге при проведении этапа исследующего поиска можно также использовать процедуры случайного поиска**.

*См.: Базара М., Ш ет т и К . **См.: Васильев Ф .П .

6 = (1 , 1 )т (вариант а) наименьшее количество шагов iV = 1 1 достигается при у = 5, в то время как при у = 4 и у = 20 имеем N = 12, а при 7 = 10 имеем N = 15.

Рассмотрим некоторые модификации метода Хука — Дживса, позволяющие повысить эффективность поиска. В табл. 6.5 приведены результаты поиска, в котором на каждом к-м шаге используется не постоянное значение ускоряющего множителя, равное двум, а переменное, выбираемое из условия минимума целевой функции в направлении вектора x k+l — х к.

Таблица 6.5

Из табл. 6.5 видно, что рассмотренный способ выбора уско­ ряющего множителя позволяет уменьшить необходимое число N шагов поиска.

На рис. 6.19 дана графическая иллюстрация первых двух шагов поиска точки минимума функции, в котором на этапе исследующего поиска использован модифицированный метод циклического покоординатного спуска, а ускоряющий множи­ тель на этапе спуска выбирался двумя способами: в варианте а он постоянный и равен двум, а в варианте б он определяется исходя из условия минимума целевой функции в направлении вектора х к+1 — х к. Соответствующие результаты приведены в табл. 6.6.

Таблица 6 .6