ф{t) = (grad/(а; + th), h)

точек ж1, ж2 Е верно неравенство (3.28). Согласно теореме 3.16, это и будет означать, что функция /(ж ) сильно выпукла.

Выберем произвольные точки аз1, х 2 Е fi. Тогда, преобразуя равенство (3.31), которое выполняется для любой функции /(ж ), дважды дифференцируемой на отрезке [ж, х + т/г], можем записать

где в данном случае h = ж1 — ж2. Используя неравенство (3.30) при ж = ж2 + tf/i и h = ж1 —ж2, заключаем, что

(grad/(ж 1) - grad/(ж 2), ж1 - ж2) > /г|жх - ж|2,

т.е. выполняется неравенство (3.28). ►

Пример 3.14. Убедимся в том, что функция /(ж ) = |ж —у|2 является сильно выпуклой на множестве Мп (здесь у Е Кп — произвольная фиксированная точка).

Вычислим градиент функции /(ж) = (ж — у, ж —у):

grad/(ж ) = 2(ж — у).

Используя это выражение, можем записать

(g r a d /^ 1) — g r a d /^ 2), ж1 - ж2) =

= (2(жх — у) - 2(ж2 - у), ж1 — ж2) = 2 \х1 —ж2|.

Отсюда видно, что неравенство (3.28) будет выполнено, если выбрать параметр /г из интервала (0, 2).

К тому же выводу можно прийти, если вычислить матрицу Гессе функции и применить теорему 3.17.

Теорема 3.18. Пусть функция /(ж) сильно выпукла на выпуклом множестве Q С Ш71 Если ж* Е Г2 — точка локального минимума функции /(ж ), то для любого ж Е справедливо неравенство

7

Это приводит ко второму неравенству в (3.34). Наконец, используя неравенства (3.20) и (3.35), заключаем, что

f(x ) - /(а?*) < (grad/(®), х - х*) ^

< |grad/(®)| |® — ®*| < —|grad/ (®)|2 7

Записанные неравенства в сочетании с неравенством о < / ( * ) - —f(x*) дают третье неравенство в (3.34). ►

Теорема 3.19. Функция /(ж ), сильно выпуклая и непре­ рывная на замкнутом выпуклом множестве fi С К П, -достигает своего наименьшего значения на fi.

◄ Выберем произвольную точку х° Е fi и рассмотрим множе­ ство Хо = {жЕ fi: f{x) < /(ж 0)}. Если функция /(ж ) достигает на X Q наименьшего значения в некоторой точке ж*, то эта точка будет и точкой наименьшего значения функции на мно­ жестве О, так как для любой точки ж Е fi \ Хо в ы п о л н я ю т с я неравенства /(ж*) ^ /(ж 0) < /(ж). Чтобы доказать, что на X Q функция /(ж ) достигает наименьшего значения, достаточно (с учетом непрерывности функции) доказать, что множество X Q замкнуто и ограничено, т.е. компактно [V].

Множество X Q замкнуто в силу непрерывности функции /(ж ) на множестве fi. Действительно, пусть ж — предельная точка множества X Q. Поскольку Хо С fi, а О, — замкнутое множество, то ж Е fi и функция /(ж ) непрерывна в точке ж. Выберем последовательность {ж71} точек множества Хо, схо­ дящуюся к точке ж. В силу определения множества Хо верно неравенство / ( жп) ^ / (ж0). Переходя в этом неравенстве к пре­ делу при п -> оо, получаем

/(®) = iim / ( * п) < /(*°),

71—>00

что равносильно соотношению ж Е X Q.

Множество Хо является выпуклым. В самом деле, выберем произвольные точки х 1, х 2 € Хо. Тогда для любого а € [0,1] точка ах 1 + (1 —а)х2 принадлежит ft и

= / ( х ° ) - / ( а х 1 + (1 -а )х ° ). (3.36)

Так как функция /(х ) непрерывна, то можно указать такую окрестность точки х°, что в пересечении этой окрестности с ft функция будет ограниченной. Следовательно, для некоторого числа S > 0 и некоторого М б К выполняется неравенство /(х ) ^ М при |х— х°| < 6, х € ft. Предполагая, что 6 < lx1 —х°|,

выберем а = . ^— ^т. Тогда для точки х = а х 1 + (1 — а)х°

ZI2/1 X I

имеем |х — х°| = а|х: —х°| < 6 и /(х ) ^ М. Из неравенств (3.36) получаем

а(1 —а)7 |хг — х°|2 < /(х °) — М.

Так как при <5< |х1 —х° |выполняются соотношения

а(1 - а)7 |хг - х°|2 ^ 2^ д0|•^ •7 |х - х°|2 = у |х - х°|,

заключаем, что