так как разность в скобках неотрицательна в силу выбора номера &, а > 0.

Таким образом, в линейной комбинации (3.5) все коэффи­ циенты неотрицательные, их сумма равна единице. Значит, эта линейная комбинация является выпуклой. Отметим, что в соответствии с выбором параметра а имеем А* — арь = 0. Сле­ довательно, выпуклая комбинация (3.5) имеет не т слагаемых, а не более т —1 .

Итак, представив элемент ж выпуклой комбинацией из т слагаемых, мы при т > п + 1 построили для х новую выпуклую комбинацию, в которой не более т —1 слагаемых. Однако число

тесть наименьшее число слагаемых в выпуклой комбинации. Полученное противоречие указывает на то, что предположение

т> п + 1 неверно. ►

3.2. Выпуклые функции

Определение 3.2. Функцию /: П —>R, определенную на

выпуклом множестве Л С К71, называют выпуклой функцией

на этом множестве, если для любых точек ж1, х 2 Е О. и любого А Е [0,1] выполнено неравенство

Функцию / называют строго выпуклой, если для любых ж1, х 2 Е fi при А Е (0,1) и ж1 ф ж2 выполнено строгое неравен­ ство

Понятия выпуклой (строго выпуклой) функции многих пе­ ременных на выпуклом множестве аналогично понятию выпук­ лой вниз (строго выпуклой вниз) в интервале функции одного переменного [II].

б.Рассмотрим в W1 какую-либо норму ||х ||. Функция/(ж) =

=||ж|| является выпуклой на множестве Rn, поскольку для любых точек ж1,ж2 Е Г и любого числа А Е [0,1], согласно определению нормы, верно неравенство

ЦАж1 + (1 - А)ж2|< АЦж1!) + (1 - А)||ж2||.

В частности, выпуклыми являются функции

Пусть функция /: Cl —> М. определена на множестве £2 С Rn. Множество G (/) = {(ж, у) Е Rn+1: /(ж ) ^ у} называют надграфиком функции / (ж). Неравенство (3.6) равносильно утвержде­ нию, что надграфик функции является выпуклым множеством. Действительно, если точки (ж1, у1) и (ж2, у2) принадлежат

п

а.{ = 1, выполнялось строгое неравенство

г=1

ггп

i= 1 г=1

Пусть П — выпуклое множество. Выберем в С1 две точ­ ки ж1 и ж2 и рассмотрим числовое множество S = 5(П,ж1,ж2) тех значений i, для которых точка tx 1 + (1 — t)x2 принадлежит Cl. Нетрудно показать, что множество .^(П,®1,®2) является выпуклым подмножеством числовой прямой, т.е. промежут­ ком. Пусть /(ж ) — произвольная функция, определенная на выпуклом множестве Cl. Функцию <p(t) = /(tx1 + (1 — t)x2) од­ ного действительного переменного, заданную на промежутке S(Cl.ж1,®2), будем называть сечением функции /(ж).

Теорема 3.7. Для того чтобы функция /(ж), определенная на выпуклом множестве П сМ ", была выпуклой (строго вы­ пуклой), необходимо и достаточно, чтобы любое сечение этой функции было выпуклой вниз (строго выпуклой вниз) функ­ цией.

◄ Для произвольных точек ж1 и ж2 в С1 рассмотрим сечение <p(t) = /(tx1 + (1 — t)x2) функции /(ж ), представив его в виде <p(t) = /(ж 2 + tp), где р = ж1 — ж2. Предположим, что функция <p(t) определена для значений t\ и t2, т.е. точки у 1 = ж2 + t\p и у2 = ж2 + t2p принадлежат С1. Тогда для произвольного А € [0,1]

ир = 1 —А имеем

Ау 1 + ру2 = \(х2 + t\p) + р(х2 + t2p) = х 2 + (Aii + pt2 )p,

откуда заключаем, что

(p(\ti + pt2) = /(A y 1 + ру2).

Если функция /(ж ) выпукла, то

ip(\ti+pt2) = /(Ху1 + р у 2) < А /(у 1) + у /(у 2) = X<p(ti) + p<p(t2 )-

Тем самым доказано, что функция f(x ) является выпуклой на множестве £2.

Если функции fi(х) являются выпуклыми на £2, причем среди них хотя бы одна функция строго выпукла на £1, то при х 1 ф х 2 и Л е (0,1) хотя бы одно из неравенств (3.10) является строгим. В этом случае в (3.11) неравенство является строгим, а функция f(x) — строго выпуклой. ►

Следствие 3.1. Сумма выпуклой (строго выпуклой) и ли­ нейной функций является выпуклой (строго выпуклой) функ­ цией.

◄ Согласно примеру 3.7, линейная функция является выпук­ лой в ! п, а значит, и на любом выпуклом множестве. В силу теоремы 3.8 сумма линейной и выпуклой функций, как сум­ ма двух выпуклых функций, является выпуклой. Аналогично сумма строго выпуклой и линейной функций является строго выпуклой. ►

Теорема 3.9. Если (р(х) — выпуклая функция на вы­ пуклом множестве f l c K n, a h(t) — выпуклая неубывающая функция одного действительного переменного, определенная, по крайней мере, на множестве <р(£2), то сложная функция ^(ж) = h(ip(x)) является выпуклой на множестве £2. Если к тому же <р(х) — строго выпуклая функция, а функция h(t) воз­ растающая на множестве К, то функция ф(х) строго выпукла на множестве £2.

◄Для произвольных точек х 1 и х 2 из £2 и любого числа А Е [0,1] имеем

ф{Ххг + (1 - А)ж2) = h((p(Xxl + (1 - А)ж2)) ^

^ h(X(p(xl) + (1 - X)ip(x2)) ^ Xh(<p(x1)) +

+ (1 - A)h(<p(x2)) = Хф{х1) + (1 - Х)ф{х2). (3.12)

В этой цепочке соотношений первое неравенство справедливо, поскольку функция h(t) неубывающая, а функция (р(х) вы­ пуклая. Второе неравенство справедливо в силу выпуклости

функции h(t). Эти неравенства показывают, что функция ф(ж) является выпуклой на множестве Q.

Если дополнительно функция h(t) возрастает, а функция (р(х) строго выпукла, то при х 1 Ф х 2 и a Е (0,1) в соотношениях (3.12) первое неравенство является строгим, а это означает, что функция ф(х) в этом случае будет строго выпуклой на множестве Г2. ►

Пример 3.8. Функция е1 является возрастающей и строго выпуклой на множестве М. Поэтому если функция /(ж ), опре­

Из примера 3.8 вытекает следующее достаточное условие выпуклости (строгой выпуклости) функции многих перемен­ ных: если функция д(х) на выпуклом множестве £} принимает только положительные значения, то для ее выпуклости (стро­ гой выпуклости) достаточно, чтобы выпуклой (строго выпук­ лой) была функция Inд(х).

Согласно примеру 3.7, выпуклой является линейная функ­ ция, определяемая равенством (3.8). Поэтому функция

где х = (a?i, ..., хп), a exp(t) = ег — экспоненциальная функция, также является выпуклой.

Обратим внимание на то, что функция ф(х) не являет­ ся строго выпуклой, так как она на любой гиперплоскости а\Х\ + ... + апхп = с принимает постоянные значения. Это го­ ворит о том, что во втором утверждении теоремы 3.9 условие строгой выпуклости /(ж) нельзя заменить условием строгой выпуклости h{t).

Теорема 3.9 допускает обобщение. Введем для векторов ж = = (ж1, ..., хп) и у = (yi, ..., уп) обозначение ж ^ у (векторное

—ц

неравенство), если выполняются неравенства Х{ ^ у,-, i = 1, п. Как обычно, строгое неравенство х < у означает, что ® ^ у и х ф у, т.е. хотя бы одно из неравенств ж, < у*, i = 1, п, является строгим.

Теорема 3.10. Если <^i(®), г = 1,т, — выпуклые функции на выпуклом множестве П С Kn, a h(y) — скалярная функ­ ция многих переменных, выпуклая на множестве Rm и неубы­ вающая по каждому своему аргументу, то сложная функция ф(х) = h(ipi(x))... ,ipm(x)) является выпуклой на множестве Cl. Если к тому же хотя бы одна из функций <Pi{x), i = 1, m, строго выпукла на множестве fiC 1 П, а функция h(y) возрастает по каждому своему аргументу, то функция ф(х) является строго выпуклой на С1.

◄Рассмотрим векторную функцию многих переменных <р(х) =

каждая составляющая которого означает выпуклость соответ­ ствующей координатной функции <Pi(x) векторной функции <р{х). Условие неубывания функции h(y) по каждому аргумен­ ту означает, что h(yl) ^ h{y2) при у 1 ^ у 2. С учетом этих соображений цепочка соотношений (3.12) из доказательства предыдущей теоремы воспроизводится практически без изме­ нений. Действительно, для любых х 1, х 2 6 С1 и А € [0,1] имеем

^(А®1 + (1 - А)®2) = h(ip(А®1 + (1 - А)®2)) <

< h(\(p(x1) + (1 - А)<р(®2)) ^ А/г(<р(®1)) +

+ (1 - A)h((p(x2)) = AV’(®1) + (1 - А)ф(х2). (3.15)

Дополнительное условие строгой выпуклости одной из функ­ ций <Pi(x) означает, что при х 1 Ф ®2 и А € (0,1) векторное неравенство (3.14) становится строгим. А дополнительное уело-

вие возрастания h(y) по каждому аргументу означает, что h(yl) < h(y2) при у 1 < у2. Поэтому, как и в теореме 3.9, эти два дополнительных условия гарантируют, что в соотношени­ ях (3.15) первое неравенство будет строгим, а сложная функция ф(х) — строго выпуклой. ►

Пример 3.9. Рассмотрим функцию

771 П

*(х) = £ * П

2=1 j=l

где х = (xi, ..., хп) € Мп; а^- 6 К, г = 1 , т, j = 1 , п; с* > 0, г — = 1 , т. Эта функция определена на всем линейном простран­ стве Rn. Представим ее в виде

Каждая из функций </^(ж) является выпуклой на множестве Шп (см. пример 3.8). Поэтому, согласно теореме 3.8, функция ф(х) также выпукла на Шп.

Если т < п, то функция ф(х) не является строго выпуклой, так как она постоянна на каждом аффинном многообразии, определяемом системой уравнений

{ацХ\ + а\2Х2 + ... + CLinxn = 61, ^21^1 + ^22^2 + •••+ CL2n^n = ^2 ,

CLmlXl + dm2^2 + •••+ Q>mn%n —

где bi, ..., bm — некоторые числа, которые всегда можно подо­ брать так, что эта система будет совместной. Рассмотрим слу­ чай ш = п и предположим, что матрица А записанной системы

уравнений является невырожденной. Тогда систему равенств

можно трактовать как замену старых координат х\, ..., хп новыми координатами у\Л..., уп. В новом базисе функция ф(х) имеет вид

ф(у) = c\eVl + C2ey2 + ... + спеУп.

Выберем в Шп произвольным образом несовпадаюпще точки

уг = (у[г\ ..., уп ), г = 1,2, заданные своими координатами в новом базисе. Тогда для произвольного А Е (О,1) и /х = 1 — А с учетом выпуклости экспоненциальной функции ехр(х) = ех имеем

= Aj^Cjexp(yJ1}) +^^Сгехр(?/|2)) = Хф(у1) + fiip(y2). (3.18) 2=1 2=1

Так как у 1 ф у 1, то для некоторого номера г выполняется неравенство у\ фу\ В силу строгой выпуклости экспоненци­ альной функции для указанного номера г выполняется строгое неравенство

exp(AyjI) +/J.y\2)) < Aexp(yJ1}) + цехр{у\2)).

Поэтому в соотношениях (3.18) неравенство является строгим, а функция ф(у) — строго выпуклой.

Если m ^ п и ранг матрицы А равен п, то в представле­ нии функции ф{х) можно выделить п слагаемых, отвечающих

базисным строкам матрицы А и в сумме дающих строго вы­ пуклую функцию. Следовательно, в этом случае 'ф(х), как сумма строго выпуклой функции и нескольких выпуклых функ­ ций, является строго выпуклой.

3.3. Дифференцируемые выпуклые функции

Дифференцируемость функции позволяет сформулировать простые признаки, с помощью которых можно выяснить, явля­ ется ли она выпуклой функцией.

Напомним [И], что дифференцируемая на промежутке (а, Ь) действительная функция h(t) одного действительного перемен­ ного является выпуклой (строго выпуклой) на (а, Ь) тогда и только тогда, когда ее производная /i'(f) на этом промежутке не убывает (возрастает). Отсюда с помощью формулы конеч­ ных приращений легко заключить, что для выпуклой функции h(t) при любых t\ и £2) а < h < ^2 < Ь, выполняется двойное не­

Действительно, в силу формулы конечных приращений h(t2) — —h(ti) = h'(£)(t2 —<i), где £ G {h ,t2), а в силу выпуклости функции h'(ti) < /i'(£) < h'(t2).

Двойное неравенство (3.19) является не только необходимым условием выпуклости функции h(t), но и достаточным, посколь­ ку из него вытекает неравенство h'(ti) < h'(t2), означающее, что производная функции h(t) не убывает.

Соотношения (3.19) записаны в предположении, что t\ < t2. Однако это требование не существенно. В самом деле, умно­ жим неравенства (3.19) на число —1. В результате придем к эквивалентным неравенствам

h'(t2 ) ( t i - t 2) < h{t\)-h{t2) < h '{ti){ti-t2),

которые сводятся к (3.19), если в них поменять местами t\ a t2.

Нетрудно показать, что замена неравенств (3.19) строгими неравенствами дает критерий строгой выпуклости дифферен­ цируемой функции h(t).

Критерий (3.19) выпуклости функции одного переменного не лучше традиционного критерия монотонности производной, но обладает важным преимуществом: его можно обобщить на случай функции многих переменных.

Теорема 3.11. Пусть скалярная функция f(x ) дифферен­ цируема* на выпуклом множестве fl С Мп. Тогда дЛк выпук­ лости функции f(x ) на О, необходимо и достаточно, чтобы для любых двух точек аз1, х 2 Е fi было выполнено неравенство

где h = ж1 —ж2 и gra,df(x) — градиент функции /(ж ) в точке ж.

< Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть функция /(ж ) выпукла на ft. Рассмотрим сечение (p(t) = fitx 1 + (1 —4)ж2) функции /(ж ), заданное произвольными точками ж1, ж2 6 ft. Функция (p(t) определена и дифференцируема по крайней мере на отрезке [0,1]. Согласно теореме 3.7, функция ip(t) выпукла на [0,1], а потому для нее справедливы неравенства

В силу правила дифференцирования сложной функции

Поэтому <£>'(0) = (g ra d /^ 2), h) и (р'(1) = (g ra d /^ 2), h). Под­ ставляя найденные выражения для производных в неравенства (3.21), получаем неравенства (3.20).

"Дифференцируемость функции в какой-либо граничной точке множе­ ства Q, предполагает, что функция определена в некоторой окрестности этой точки.

Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть для произвольных точек х 1 и х 2 множества О, выполняются неравенства (3.20). Возьмем произ­ вольные точки у 1, у2 Е и рассмотрим соответствующее сече­ ние ф(£) = /(fa/1+ (1 —£)у2). Выберем произвольные значения £i и £2 из области определения -0(£). Точки х г= ^ у1 + (1 — £г)у2,

= V’,(<i)(<2-<i), г = 1,2, и неравенства (3.20) равносильны следующим:

< ^ ;(ii)(£2-*i)-

Значения £i и £2 из области определения ф(Ь) выбирались про­ извольно. Следовательно, функция ф(Ь) является выпуклой.

Итак, мы показали, что при выполнении неравенств (3.20) любое сечение дифференцируемой функции f(x) является вы­ пуклой функцией. Значит, согласно теореме 3.7, f(x) — вы­ пуклая функция на П. ►

Замечание 3.1. Повторяя ход доказательства теоремы 3.11, несложно установить, что для строгой выпуклости функ­ ции /(ж), х € О, непрерывно дифференцируемой на выпуклом множестве fi С Мп, необходимо и достаточно, чтобы для любых двух различных точек ж1, х 2 Е ft было выполнено неравенство

Проверить выпуклость или строгую выпуклость функции f(x) с помощью критериев (3.20) и (3.23) можно, но практиче­ ски довольно сложно. Задача упрощается, если функция f(x)

дважды дифференцируема. В этом случае ответ можно полу­ чить, исследуя матрицу Гессе функции f(x).

Напомним, что симметрическую матрицу А называют по­ ложительно (отрицательно) определенной, если она является матрицей положительно (отрицательно) определенной квадра­ тичной формы (эту квадратичную форму можно записать в виде хТАх, где х £ Мп — вектор-столбец, или с помощью стан­ дартного скалярного произведения в виде (Ах, х)). Введем аналогичные понятия неотрицательно (неположительно)

определенной матрицы как матрицы неотрицательно (не­ положительно) определенной квадратичной формы, а также

знаконеопределенной матрицы как матрицы знаконеопре­ деленной квадратичной формы.

Сначала рассмотрим одномерный случай. Как уже было отмечено, критерием выпуклости функции tp(t) одного пере­ менного является неубывание ее производной. Если функция ip(t) дважды дифференцируема, то из условия неубывания (p'(t) вытекает, что <p"(t) неотрицательна. Верно и противополож­ ное утверждение. Если <p"(t) ^ 0, то функция <p'(t) не убывает, а функция <p(t) выпукла.

Теорема 3.12. Для того чтобы дважды дифференцируемая на открытом выпуклом множестве Я С R" функция f(x) была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы ее матрица Гессе Н(х) была неотрицательно определена в любой точке х € S7.

◄ Н е о б х о д и м о с т ь . Выберем в О, две произвольные точки

окрестности точки 0 (при t = 0), так как функция f(x ) опре­ делена в окрестности точки ж2. Как сложная функция, <p(t) дважды дифференцируема при t = 0, и

¥>"(0) = {H(x2)h, h),

где h = х1 — х2. Если функция f(x) выпукла на J2, то ее се­ чение ip(t) является выпуклой функцией одного переменного.

Поэтому <р"{0) ^ 0. В силу произвольного выбора х 1 и х 2 за­ ключаем, что

(H{x2 )h, h )> 0

для любого вектора h £Шп. Но э т о и означает, что матри­ ца Гессе Н (х2) в произвольной точке х 2 £ П неотрицательно определена.

Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть матрица Гессе Н(х) неотрица­ тельно определена в каждой точке х £ £1 , т.е.

(H {x)h,h )^ 0, h £ R n.

Выберем произвольные точки аз1, х 2 £ Г2 и соответствующее им сечение </?(f) = f(tx l -f (1 — t)x2). Так как

/( i ) = (tf(x)h,b),

где х = txl + (1 —t)x2, a h = x l —x 2, для всех значений t из области определения ip(t) выполняется неравенство ip"\t) ^ 0. Следовательно, функция ip(t) выпукла, а в силу теоремы 3.7 выпукла и функция /(аз). ►

Замечание 3.2. Можно было бы предположить, что кри­ терием строгой выпуклости на множестве П дважды диффе­ ренцируемой функции является положительная определенность

вП ее матрицы Гессе. Действительно, нетрудно показать, что, как и в теореме 3.12, положительная определенность матри­ цы Гессе на всем множестве является достаточным условием строгой выпуклости. Однако это условие не является необхо­ димым. Соответствующий контрпример можно привести уже

водномерном случае. Функция у = я4 строго выпуклая, одна­ ко ее вторая производная у" = 12ж2 обращается в нуль в точке

х= 0. Аналогичный пример можно построить при любой раз­ мерности. Так, в двумерном случае функция f(x 1,0:2) = х\ + х\ является строго выпуклой в К2, но ее матрица Гессе в точке (0, 0) является нулевой. #

Проверку свойств матрицы Гессе можно строить на основе ее собственных значений. Для неотрицательно определенной матрицы все собственные значения неотрицательны, а для по­ ложительно определенной матрицы все собственные значения положительны [IV]. Для проверки положительной определен­ ности матрицы Гессе можно также использовать критерий Сильвестра. Если функция является квадратичной, то элемен­ ты матрицы Гессе этой функции постоянны. В этом случае проверка выпуклости или строгой выпуклости такой функции существенно упрощается.

Пример 3.10. Проверим, является ли выпуклой квадра­ тичная функция / ( Х\,Х2 ) = Ъх\ —кХ\Х2 + +Х\—2 X2 •

Найдем матрицу Гессе этой функции:

Угловые (или главные) миноры этой матрицы положительны-: Ai = 6 > 0 и Д2 = det Н = 6 •4 —(—4) •(—4) = 8 > 0. Поэтому, согласно критерию Сильвестра, матрица Н положительно опре­ деленная, и в соответствии с замечанием 3.2 рассматриваемая функция строго выпуклая. #

Проверка положительной определенности матрицы неболь­ шого размера (второго или третьего порядков) с помощью критерия Сильвестра, как правило, проще, чем аналогичная проверка путем анализа собственных значений. Вполне есте­ ственно в таких ситуациях исследование на неотрицательную определенность (если матрица не является положительно опре­ деленной) также проводить без вычисления собственных зна­ чений. Существует критерий неотрицательной определенности матрицы, аналогичный критерию Сильвестра.

Минор матрицы А назовем диагональным минором, если строки и столбцы, входящие в этот минор, имеют одинаковые номера.

Теорема 3.13. Необходимым и достаточным условием не­ отрицательной определенности симметрической матрицы явля­ ется неотрицательность ее диагональных миноров.

◄ Пусть А — симметрическая неотрицательно определенная матрица, т.е. (А х , а?) ^ 0, х € К". Рассмотрим квадратичную форму

f £(x) = {Ах, х) + е {х, х) = ({А + е1)х, х ) ,

где I — единичная матрица соответствующего порядка, а е > 0 — параметр. Ясно, что fs(x) -» {Ах, ®) при е -» +0.

Для любого числа е > 0 квадратичная форма / е и ее матрица А + el являются положительно определенными, так как при

х Ф О

ft{x) = {Ах, х) + е||®||2 ^ е||®||2 > 0.

Любой диагональный минор матрицы А + el путем изменения номеров ее пар строк и столбцов можно превратить в ее угло­ вой минор. Такое изменение соответствует изменению порядка переменных квадратичной формы и сохраняет условие положи­ тельной определенности квадратичной формы и матрицы. В силу критерия Сильвестра заключаем, что диагональные (не только угловые) миноры матрицы А + el положительны. При е —>+0 все миноры матрицы A -f el стремятся к соответству­ ющим минорам матрицы А. Значит, все диагональные миноры неотрицательно определенной матрицы А неотрицательны.

Теперь предположим, что все диагональные миноры матри­ цы А неотрицательны. Можно показать, что определитель ма­ трицы А + el есть многочлен от переменного £, причем старший коэффициент этого многочлена (при степени еп) равен единице, а коэффициент многочлена при степени ек, к = 0, n—1, — сум­ ме всех диагональных миноров матрицы А порядка п —к. Так как все диагональные миноры матрицы А неотрицательны, то и коэффициенты многочлена неотрицательны. Следовательно,

Dk + elk (h — единичная матрица порядка к) матрицы А + el порядка к есть многочлен переменного е степени fc, причем старший коэффициент многочлена равен единице, а остальные коэффициенты равны сумме диагональных миноров матрицы А соответствующего порядка, входящих в минор Dk, и, следо­ вательно, неотрицательны. Это означает, что минор Dk + el при е > 0 является положительным.

Итак, у матрицы А + el при е > 0 все диагональные (в том числе и угловые) миноры положительны. Согласно критерию Сильвестра, матрица А + el является положительно опреде­ ленной. Отсюда вытекает, что квадратичная форма f £(x) = = (Ах, х ) с матрицей А + el при е > 0 положительно определена,

а это означает, что квадратичная форма f x и ее матрица А являются неотрицательно определенными. ►

Исследование симметрической матрицы А на неотрицатель­ ную или положительную определенность рационально начинать с вычисления ее определителя detA Если detA = 0 и диа­ гональные элементы матрицы А неотрицательны, то можно рассчитывать на неотрицательную определенность матрицы А. В этом случае проверяются диагональные миноры, причем про­ верку диагональных миноров на знак можно прекратить, как только один из них окажется отрицательным. Это будет озна­ чать, что матрица знаконеопределенная.

Если det А > 0 и все диагональные элементы матрицы А по­ ложительны, то можно ожидать, что эта матрица положитель­ но определена. Поэтому следует проверить на знак все угловые миноры матрицы. Проверку можно прекратить, как только очередной угловой минор окажется отрицательным, что озна­ чает зяаконеопределенность матрицы. Если очередной угловой

минор окажется нулевым, то матрица не будет положительно определенной, и в этом случае следует перейти к проверке всех диагональных миноров, чтобы определить, является ли матри­ ца неотрицательно определенной.

Пример 3.11. Проверим, является ли выпуклой квадра­ тичная функция

f(x 1,Х2,Яз) = х \ + х 2 + х 3 - Х1Х2 ~ Х2Х3 ~ Х3Х1 + Х1 + х 2 + х 3 + 1-

Для этой функции запишем матрицу Гессе

Непосредственным вычислением убеждаемся, что d et# = 0. Это значит, что матрица Гессе не может быть положйтельно определенной. Неотрицательность диагональных элементов не позволяет сразу же сделать заключение о том, что матри­ ца Н знаконеопределенная. Поэтому необходимо проверить на знак все диагональные миноры. В данном случае речь идет о проверке трех диагональных миноров второго порядка. Не­ посредственно из вида матрицы Н заключаем, что все три диагональных минора одинаковы и равны

Следовательно, матрица Н неотрицательно определенная, а квадратичная функция выпуклая в Ж3. #

Отметим, что для квадратичной функции положительная определенность матрицы Гессе Н является не только достаточ­ ным, но и необходимым условием строгой выпуклости. Дей­ ствительно, если матрица Н неотрицательно определена, но