1.3. Задачи оптимального проектирования

Пусть требуется спроектировать бак горючего в виде пря­ мого кругового цилиндра заданного объема У, на изготовле­ ние которого будет затрачено наименьшее количество листовой стали. В качестве параметров оптимизации выберем радиус Д и высоту Н цилиндра. Тогда затраты материала на изготовле­ ние бака будет определять суммарная площадь S его боковой поверхности и двух плоских днищ. Таким образом, необходимо минимизировать целевую функцию S = 2irR(H + R) при ограни­ чении типа равенства nR2H = У, т.е. решить задачу нелиней­ ного программирования.

Если из целевой функции при помощи ограничения ис­ ключить Н и записать ее в виде

то произведение слагаемых не будет зависеть от Д, и для нахождения ее минимального значения удобно использовать то же неравенство между геометрическим и арифметическим средними, что и в примере 1.3:

S{R) = ^ + ^ + 2тгЯ2 ^ 3 \ J W 2тгД2 = 3^2тгУ2 = 5*.

Равенство имеет место только при равенстве слагаемых, т.е.

т.е. высота оптимального бака равна его диаметру.

При изготовлении одного бака нужно учитывать, что для заготовки круглого днища площадью 7гД2 придется взять ква­ дратный лист площадью 4Д2, причем после раскроя оставшу­ юся часть листа использовать будет практически невозможно. Поэтому более обоснованно в качестве целевой минимизировать функцию S = 2nRH + 8Д2 при прежнем ограничении тгД2Н = V

Тогда в результате процедуры, аналогичной рассмотренной,

получим — \ = 6 #* = Если предстоит из­ готовить крупную партию баков, то раскрой листовой стали при заготовке днищ можно провести более рационально, распо­ лагал соседние центры днищ в вершинах правильных треуголь­ ников со стороной 2R. Тогда расход листа на каждое днище будет соответствовать площади 2\/ЗД2 правильного шести­ угольника, описанного около окружности радиуса R. При этом следует минимизировать целевую функцию S = 2тRH + 4\/3 R2 при том же ограничении. В итоге получим

Отметим, что при постановке задач оптимального проекти­ рования важно, чтобы математическая модель объекта опти­ мизации достаточно полно отражала именно те свойства объ­ екта, улучшение которых является целью оптимизации. Раз­ работка такой модели обычно требует использования сведений из соответствующих инженерных дисциплин или областей тех­ ники.

Пример 1.7. Из курса сопротивления материалов извест­ но*, что допустимая нагрузка, воспринимаемая прямолиней­ ным стержнем, работающим на растяжение или сжатие (без потери устойчивости прямолинейной формы равновесия), про­ порциональна площади F его поперечного сечения. При сжатии стержень может потерять устойчивость, изгибаясь в некоторой плоскости. Сжимающая сила, вызывающая потерю устойчи­ вости стержня, пропорциональна геометрическому моменту инерции I его сечения относительно центральной оси тела)

перпендикулярной плоскости изгиба. От значения I также за­ висит прогиб стержня, изгибаемого в этой плоскости, но зави­ симость эта обратно пропорциональная. Допустимая нагрузка

Но стороны прямоугольника должны удовлетворять огра­ ничению 62 + h2 < 4R2. Таким образом, приходим к задаче не­ линейного программирования

<12

b2 + h2 ^4R 2, Ь> О, 0.

\

Несложно установить, что максимальное значение J* = ^л/З R4

будет достигнуто при оптимальных высоте /г» = Л\/3 и ширине 6* = Я сечения балки.

Такое же поперечное сечение балки следует выбрать, ес­ ли она нагружена в рассматриваемой плоскости изгибающей нагрузкой. При таком выборе жесткость балки будет макси­ мальной, а ее прогиб — минимальным. Поскольку для рас­ сматриваемого прямоугольного сечения балки ym = h/2, то для момента сопротивления получим W = 1/ут = bh2/6. В данном случае задача нелинейного программирования принимает вид

Пример 1 .8. Из курса физики и термодинамики известно, что работа, затрачиваемая в компрессоре на сжатие 1 кг воздуха от начального давления ро до давления р > ро, равна

Х=1

где 7 — коэффициент, характеризующий процесс сжатия (при адиабатическом процессе для воздуха 7 « 1,4); R — газовая по­ стоянная воздуха; То — его температура до сжатия. Чтобы

уменьшить затрачиваемую работу в случае высокой степени сжатия х = р/ро, проектируют многоступенчатые компрес­ сорные установки, состоящие из нескольких последовательно соединенных компрессоров (ступеней) с промежуточными хо­ лодильными устройствами между ступенями, в которых охла­ ждают воздух, нагревшийся при сжатии.

Пусть требуется спроектировать компрессорную установку из т ступеней в предположении, что воздух, поступающий в г-ю ступень, г = 1,т, охлажден до одинаковой температуры То и имеет давление р;_i, равное давлению на выходе из предыдущей ступени. Необходимо при заданной общей степени сжатия х так выбрать степени сжатия отдельных ступеней щ = Рг/Рг—1 ^ г = 1, т , рт = р, чтобы работа, затрачиваемая на весь процесс сжатия воздуха, была минимальной.

В соответствии с (1.5) работа, затрачиваемая на сжатие в г-й ступени, равна

а работа, затрачиваемая на весь процесс сжатия, —

Так как число т ступеней задано, то минимизируемую целевую функцию можно представить в виде

2-1

( 1.6)

где AQ= 7 i?To/(7 —1). Правая часть этого равенства является

средним арифметическим неизвестных чисел а* = x i 7 г = = 1,771. Геометрическое среднее этих чисел равно

Используя неравенство между геометрическим и арифметиче­ ским средними (см. пример 1.3), получаем

Отсюда следует, что наименьшее значение работы при за­ данной степени х сжатия 1 кг воздуха в m-ступенчатой ком­ прессорной установке равно

и может быть достигнуто лишь при равенстве всех слагаемых в правой части (1.6), т.е. при а* = const, г = 1, m. Это возмож­ но только при выборе одинаковой для всех ступеней степени

ваемая работа минимальна, если значения давлений на выходе из ступеней образуют геометрическую прогрессию со знамена­ телем х: pi = хро, Р2 = яр\ и т.д. #

Некоторые параметры оптимизации могут принимать лишь дискретные значения (например, целочисленные). В этом слу­ чае дифференцирование по таким параметрам при поиске экс­ тремума целевой функции носит условный характер. После формального нахождения точки экстремума в предположении непрерывного изменения этих параметров для них следует при­ нять ближайшие к найденным дискретные значения. Ясно, что это повлияет на экстремальное значение целевой функции.

Пример 1.9. Пусть требуется соединить N одинаковых источников постоянного электрического тока в батарею та­ ким образом, чтобы батарея имела наибольшую электрическую мощность, выделяемую на внешней нагрузке с сопротивлением R. Предполагается, что каждый источник имеет электродви­ жущую силу Е и внутреннее сопротивление г.

Если эти источники соединить последовательно, то полу­ чим батарею с электродвижущей силой NE и внутренним со­ противлением Nr. Тогда при подключении внешней нагрузки

сила тока J\ = .TNE а передаваемая мощность W\ = J?R =

N 2E 2R

= 777-----77v7- При параллельном соединении получим батарею с

(Nr + R)*

электродвижущей силой Е и внутренним сопротивлением r/N В этом случае при подключении внешней нагрузки имеем J2 =

так, чтобы для некоторого натурального числа п число N/n также было натуральным и больше единицы. Тогда можно параллельно соединить N/n ветвей, каждая из которых будет состоять из п последовательно соединенных источников’тока и иметь электродвижущую силу пЕ и внутреннее сопротивление

пг. Внутреннее сопротивление такой батареи равно -щ- = а электродвижущая сила равна п. При подключении внешней

нагрузки сила тока составит J = п2г/^+Д’ а пеРеДаваемая мощность будет равна

(nNE)2R

W = J 2R = (n2r + NR)2'

Фиксируя N и предполагая, что п изменяется непрерывно, попытаемся найти максимум передаваемой мощности. Если точка п* максимума существует, то в ней достигает максимума и сила тока, которую представим функцией

одного переменного п. Из необходимого условия J'(n) = 0 мак­ симума этой функции получаем при п > 0 ее единственную

стационарную точку n* = y/NR/r. Проверка достаточного условия показывает, что, действительно, п* — точка локаль­ ного максимума функции J(n). Этой точке соответствуют максимальные значения

NE2

Л =

4г

Сравним силу тока батарей в зависимости от способа со­ единения источников тока. Сначала рассмотрим случай г = R.

При этом п* = л/ЛГ, J* = и Ji = J2 = Д(1 = J(ЛГ) < f •

Наименьшее значение N, при котором имеет смысл комбини­ рованная схема соединения, равно 4. Тогда п* = 2 (две парал­ лельные ветви по два последовательно соединенных источника тока) и Л = E/R > . Следующее значение iV, позволяющее осуществить комбинированное соединение, равно 6 (три ветви по два источника или две ветви по три источника), но фор­ мальное вычисление дает для п* иррациональное число между натуральными числами 2 и 3. Если принять п — 2 или п = 3, то из (1.7) получим J = - д > Jw . При N = 8 формальное вычи­ сление п» также приведет к иррациональному числу, но в этом случае имеют смысл значения п = 2 или п —4, для которых из

(1.7) найдем J = i ^ > Сравнение ограничим выбором зна-

О Л

3 Е

чения N = 9, для которого п„ = 3 и J* = - —, т.е. сила тока при

2 К

комбинированной схеме более чем в 1,5 раза превышает значе­ ние j ( 9).

Так как при г < R выполняется неравенство J2 < J\, то ком­ бинированную схему соединения источников тока достаточно сравнить с их последовательным соединением. Представим от­ ношение сил токов в следующем виде:

J* __ Nr + R __ ^ Nr + R

Ti ~ yfNrR ~ 2~7N TR

эта функция цри Л = const удовлетворяет двумерному уравне­ нию Лапласа

Вследствие симметричности сечения ребра относительно оси Ох можно рассматривать лишь половину этого сечения и зада­ вать граничные условия в виде

где а и а — коэффициенты теплообмена с охлаждающей средой на боковой поверхности ребра и на поверхности его торца соот­ ветственно. Решение краевой задачи (1.8) —(1.10), записанное в виде двойного ряда по ортогональной системе функций [IX], может быть найдено одним из известных методов, например методом Фурье [XII] или с помощью интегральных преобразо­ ваний [XI]. После ее решения для теплового потока, переда­ ваемого через ребро охлаждающей среде и равного тепловому потоку, проходящему через его основание, получим

Рассмотренная математическая модель является достаточ­ но сложной и не позволяет представить зависимость Q от пара­ метров оптимизации I и h в удобном виде. Эту модель можно упростить, сохранив точность, достаточную для инженерных приложений. Дело в том, что из соображений качественного характера при ограниченной площади F = 2lh сечения ребра целесообразно увеличить его высоту /, чтобы увеличить пло­ щадь боковой поверхности. При этом ребро станет достаточно

тонким и по его толщине 2h = F/l ^ FQ/1, т.е. в направлении оси Оу, температуру можно принять практически неизменной. Интегрируя (1.8) по у в пределах от 0 до Л и учитывая (1.10), находим

{ ( д2Т(х,у) , а2Т(х,у) х ^

Отсюда, полагая температурное поле в ребре одномерным, т.е. определяемым функцией Т(х), приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ)

Но передачей теплоты с поверхности торца ребра чаще все­ го можно пренебречь по сравнению с передачей через боковую поверхность, т.е. положить в (1.13) 5 = 0. Это будет соответ­ ствовать идеально теплоизолированному торцу и приведет к несколько заниженной оценке для передаваемого через ребро теплового потока, для которого вместо (1.11) теперь получим