- •А.В. Аттетков, С.В. Галкин, В.С. Зарубин
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •Задания для самопроверки
- •ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
- •Буквы латинского алфавита
- •Буквы греческого алфавита
- •1. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Некоторые простые примеры
- •1.3. Задачи оптимального проектирования
- •1.4. Задачи оптимального планирования
- •1.5. Классы задач оптимизации
- •Вопросы и задачи
- •2. МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ
- •2.1. Предварительные замечания
- •2.3. Оптимальный пассивный поиск
- •2.4. Методы последовательного поиска
- •2.5. Сравнение методов последовательного поиска
- •2.6. Методы полиномиальной аппроксимации
- •2.7. Методы с использованием производных
- •Вопросы и задачи
- •3. МИНИМИЗАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
- •3.2. Выпуклые функции
- •3.4. Условия минимума выпуклых функций
- •3.5. Сильно выпуклые функции
- •ф{t) = (grad/(а; + th), h)
- •3.6. Примеры минимизации квадратичных функций
- •3.7. Минимизация позиномов
- •Qj = '%2aijci = Q> J = !.*»•
- •Вопросы и задачи
- •4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ БЕЗУСЛОВНОЙ МИНИМИЗАЦИИ
- •4.1. Релаксационная последовательность
- •4.2. Методы спуска
- •4.4. Минимизация квадратичной функции
- •4.5. Сопряженные направления спуска
- •5. АЛГОРИТМЫ МЕТОДОВ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ
- •|iufc|
- •5.3. Метод Ньютона
- •5.4. Модификации метода Ньютона
- •5.5. Квазиньютоновские методы
- •Вопросы и задачи
- •6. АЛГОРИТМЫ ПРЯМОГО ПОИСКА
- •6.1. Особенности прямого поиска минимума
- •6.2. Использование регулярного симплекса
- •6.4. Циклический покоординатный спуск
- •6.5. Метод Хука — Дживса
- •Щ + bjej,
- •6.6. Методы Розенброка и Пауэлла
- •Вопросы и задачи
- •7. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- •7.2. Минимизация при ограничениях типа равенства
- •7.4. Седловая точка функции Лагранжа
- •7.5. Двойственная функция
- •7.6. Геометрическое программирование
- •Вопросы и задачи
- •8. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- •8.1. Метод условного градиента
- •8.2. Использование приведенного градиента
- •8.5. Метод проекции антиградиента
- •СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Математика в техническом университете Выпуск XIV
- •Аттетков Александр Владимирович Галкин Сергей Владимирович Зарубин Владимир Степанович
- •МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Вопросы и задачи
2.1. Имеет ли функция /(х ) = хе-х экстремум в интервале (О, 3)? Если имеет, то в какой точке? Имеет ли она минимум в том же интервале, минимум на отрезке [0, 3], и если да, то в какой точке?
2.2. Проверьте, являются ли унимодальными следующие
функции: |
|
|
|
|
|
а) |
/(х ) |
= х2 - 2х - |
1 на отрезках [0, 2], [1,5, 2]; |
|
|
б) fix ) = \\х- 1| - |
1| на отрезках [-3, 3], [-3,1], [1, 3], [0, 2]. |
||||
2.3. Имеются утверждения относительно функции /(х ), |
|||||
определенной на отрезке [а, Ь]: |
|
||||
а) /(х ) |
возрастает; |
|
|||
б) /(х ) |
не убывает; |
|
|||
в) /(х ) |
имеет локальный минимум на интервале |
(а, 6) в |
|||
некоторой точке х»; |
|
|
|||
г) |
З хе |
(а, Ь): /'(х ) =0; |
|
||
д) Эх е (а, 6): f'(x ) не существует; |
|
||||
е) f'(x) |
> 0 на отрезке [а, Ь]\ |
|
|||
ж) Зе > 0: |
f'(x) < 0 при xi —е < х < х\ и f'(x) |
> 0 при |
|||
x i < х |
< x i |
+ е ; |
|
|
|
з) |
Эх 6 (а, b): f"(x) = 0; |
|
|||
и) f"(x) = 0, |
х е (а, Ь). |
|
|||
Какие из указанных утверждений вытекают из перечисленных?
2.4. Имеет ли функция
/w = J*4Sta; ’
[ 0, х = 0,
минимум в точке х = 0, выполняется ли в этой точке необходи мое, достаточное условия экстремума?
2.5. Для каких унимодальных функций метод золотого сечения приводит к цели за меньшее количество итераций, чем метод Ньютона?
2.6.Какой из методов: золотого сечения, Ньютона, куби ческой интерполяции — окажется более эффективным, если производные вычисляются приближенно через разность значе ний функции в близких точках?
2.7.Минимизируйте функции
f(x) = ( х - I)4, |
у(х) - { х - l)2sinrc |
на отрезке [—2, 3] с помощью метода золотого сечения.
2.8. Минимизируйте функцию
f(x) = xarctgx ——In(1 + х2)
на отрезке [—6,6] методом Ньютона. Выбирая различные начальные приближения, найдите какое-либо значение ж о , П Р И котором метод начнет расходиться.
2.9. Минимизируйте функцию f(x) = (х —I)4 на отрезке [0,5, 2] и функцию д(х) = xsin(l/#) на отрезке [0,2, 1] методами дихотомии и золотого сечения, а также с помощью оптималь ного последовательного поиска, градиентного метода и метода Ньютона. Сравните эти методы.