2.6.Методы полиномиальной аппроксимации

Если известен отрезок, на котором минимизируемая функ­ ция унимодальна, то нет необходимости вычислять значение коэффициента а. Достаточно этот отрезок принять в качестве отрезка [xi, хз], а точку хг € (xi, Х3) выбрать произвольно в ин­ тервале (xi, хз). В этом случае имеем /1 ^ /2 и /3 ^ / 2, откуда X* 6 [xi, х3].

На первом шаге метода квадратичной аппроксимации при

= 1 , 2, 3, выбирают новую тройку точек х] ’ по следующему правилу:

б) если xi1^€ [х2, хз] и > / 2, то х ^ = xi, х ^ = xi1^, х ^ =

2•

Далее из (2.18) находят xi2\ а затем описанную процедуру Повторяют на третьем шаге и так далее до тех пор, пока длина

интервала неопределенности, в котором гарантированно леЯсит искомая точка х* минимума функции /(х ), не станет мень­ ше заданного наибольшего допустимого значения е*. Отметим, Что подтверждением приближения к точке х* и правильности вычислений может служить уменьшение значения функции у(х)

в найденной точке х{к^по сравнению со значением у(х[к~^) на предыдущем шаге.

Пример 2.4. Найдем методом квадратичной аппрокси­ мации минимум функции /(х ) — х2 + 16/х, унимодальной на отрезке [1, 4]. График этой функции приведен на рис. 2.11.

Выберем три точки х\ = 1 , хг = 3, хз = 4 и вычислим в них

тичной аппроксимации найдем xi1^~ 2,286 и затем вычислим

Из проведенных расчетов вытекает, что искомая точка

х* минимума функции /(х ) лежит в интервале (xi1^, xi3^) = = (1, 2,054). Дальнейшие вычисления приводят к незначитель­ ному уменьшению интервала неопределенности, так как ка­ ждая очередная точка будет правее точки 2.

Используя необходимое условие экстремума функции f'(x) =

Степень приближения текущей точки к точке минимума можно оценить следующим образом. Согласно формуле Тейло­ ра, в окрестности точки минимума х* целевой функции имеем

/( x i ) ~ /(х * ) -Ь х*)^, /(х 2) « / ( х »)4 (**\х2 - х , ) 2

Вычисляя разность двух приближенных равенств, находим:

« /"(х ,)(х 1 - x2)(xi - х*).

В результате получаем приближенную формулу

Метод квадратичной аппроксимации удобно применять по­ сле локализации точки минимума методом золотого сечения или методом Фибоначчи. Это объясняется тем, что для два­ жды дифференцируемой функции многочлен второго порядка

достаточно хорошо аппроксимирует функцию в окрестности точки минимума.

В одной из модификаций метода квадратичной аппроксима­ ции на к-м шаге, к > 1, в тройку точек х^к\ i = 1, 2, 3, включают

ную включенной точке х\к~^ относительно х{к ^ Последняя

точка новая, и в ней перед вычислением х£^ необходимо опре­ делять значение минимизируемой функции.

Процесс последовательных приближений к искомой точке т* минимума унимодальной функции f(x) прекращают, если по­ лученные на двух последовательных шагах значения f(x[k~

и f(x ^ ) близки или если проведенные расчеты позволяют ука­ зать интервал неопределенности, длина которого меньше за­ данного наибольшего допустимого значения £*.

Отметим, что в данном случае точка х{к\ найденная на к-м

шаге, может оказаться за пределами отрезка г W M iJ, в то

[х\ \х\*

время как в методе квадратичной аппроксимации принадлежность точки х\ ' указанному отрезку гарантирована.

Пример 2.5. Применим описанную модификацию метода квадратичной аппроксимации для нахождения минимума функ­ ции

/(х ) = (х —1 )2(х — З)2

на отрезке [2, 8]. График этой функции приведен на рис. 2.12. Процесс итераций закончим, если длина интервала неопреде­ ленности не будет превышать 0,15. На первом шаге выберем

х[1^= 2, х ^ = 5 и х ^ = 8. Результаты вычислений с учетом (2.19) сведены в табл. 2.6.

После выполнения пятого шага приходим к заключению, что точка х* минимума функции f(x) расположена в интервале (2,949, 3,076) длины 0,127. Точное значение х+ = 3 соответству­ ет минимальному значению f(x t) = 0.

Таблица 2.6