Если множество параметров оптимизации является подмно­ жеством конечномерного линейного пространства, то говорят о конечномерной задаче оптимизации в отличие от бес­ конечномерных задач, которые рассматривают в вариационном исчислении и оптимальном управлении [XV]. При этом крите­ рием оптимальности может быть требование достижения наи­ большего или наименьшего значения одной или несколькими действительными (скалярными) функциями параметров опти­ мизации, выражающими количественно меру достижения цели оптимизации рассматриваемого объекта. Каждую из таких функций принято называть целевой. Если целевая функция единственная, то задачу конечномерной оптимизации называ­ ют задачей математического программирования, а в противном случае — задачей многокритериальной (векторной) оптимизации [XX]. В дальнейшем ограничимся рассмотрени­ ем задач математического программирования и методов их решения.

Если целевая функция и ограничения являются линейными относительно параметров оптимизации, то говорят о задаче линейного программирования. Одну из первых таких задач сформулировал и решил Л.В. Канторович* Задача Канторо­ вича была связана с выбором оптимальной производственной программы, что и объясняет появление в названии этого класса задач словапрограммирование“. При нелинейной зависимости целевой функции или ограничений от параметров оптимизации говорят о задаче нелинейного программирования.

1.2. Некоторые простые примеры

Начнем с рассмотрения достаточно простых задач оптими­ зации из геометрии, алгебры и некоторых других разделов ма­ тематики. Эти задачи обычно можно решить геометрическим

ФЛ.В. Канторбвич (1912-1986) — отечественный математик и эконо­ мист, лауреат Нобелевской премии (1975 г.).

или алгебраическим путем, а также при помощи необходимых и достаточных условий экстремума действительной (скалярной) функции одного переменного [И]. Включение таких примеров в эту книгу важно по нескольким причинам. Во-первых, эти задачи тесно связаны с историей развития методов оптимиза­ ции и позволяют наглядно продемонстрировать многообразие объектов оптимизации. Во-вторых, на простой задаче можно более четко выявить особенности построения математических моделей таких объектов с точки зрения выбранного критерия оптимальности и проследить этапы процесса формулировки

задачи математического программирования. В-третьих, зна­ ние способов и результатов решения многих из этих задач помогает при решении более сложных задач оптимизации, на­ пример задач оптимального проектирования (см. 1.3).

Пример 1.1. Найдем стороны прямоугольника, вписанного в окружность радиуса R и имеющего наибольшую площадь S

(рис. 1.1).

Эта задача известна с глубокой древности, и ее нетрудно решить геометрическим путем. Диагональ вписанного в окружность прямо­ угольника является диаметром ок­ ружности и имеет фиксированную длину. Площадь S прямоугольника

равна половине произведения его

Рис. 1.1

диагоналей на синус угла ip между диагоналями, т.е. S = 2R2sm(p. Ясно, что эта площадь будет наибольшей при siny? = 1, или при р = 7г/2. В этом случае диаго­ нали прямоугольника перпендикулярны, а сам прямоугольник представляет собой квадрат. Таким образом, прямоугольни­ ком наибольшей площади, вписанным в окружность, является квадрат со стороной Ry/2 и площадью 2R2.

Если в качестве параметров оптимизации выбрать дли­ ны а ^ 0 и Ь^ 0 сторон прямоугольника, то получим целевую

(вершина А на рис. 1.2), а ось абсцисс — с одной из сторон треугольника. В качестве параметров оптимизации выберем основание х параллелограмма и его высоту h. Тогда площадь S параллелограмма можно записать в виде S = hx, а условие, что параллелограмм вписан в треугольник, — как ограничение типа равенства (Я —К)/Я = х/6, которое вытекает из подобия треугольников DBE и АВС. Итак, имеем задачу оптимизации

r S = hx max;

H - h

х^О .

,Я

Эту задачу также можно решить стандартными способа­ ми (см. пример 1.1). Ее решением является параллелограмм с основанием х* = 6/2 и высотой h* = (1 — х*/Ь)Я = Я /2. Отме­ тим, что выбор вершины треугольника, с которой совпадает вершина параллелограмма, не является существенным, так как в любом из трех вариантов выбора вершины треугольника пло­ щадь параллелограмма максимальной площади равна половине площади треугольника АВС.

Пример 1.3. В прямой круговой конус вписан прямой круговой цилиндр так, что основания конуса и цилиндра лежат в одной плоскости (рис. 1.3). Найдем наибольшую возможную часть объема конуса, занятую таким цилиндром.

Как и задача Евклида, эта задача известна тысячи лет. Ее можно решить, используя неравенство средних, известное еще Пифагору, согласно которому среднее геометрическое не превышает средне­

го арифметического, т.е.

Обозначим высоту и радиус основания цилиндра через h и г, а высоту и радиус основания конуса через Н и R. Запишем отношение их объемов

nr2h _ r2h

V = жВ?Н/Ъ ~ AW H '

Это равенство задает целевую функцию, в которой в качестве параметров оптимизации можно взять отношения r/R и h/H. Из условия задачи (цилиндр вписан в конус) вытекает ограни­ чение r/R= {Н —К)/Н. Подставляя его в целевую функцию, получаем

Ясно, что функция 7j(h/H) достигает максимума при том же значении отношения h/H, что и любая положительная сте­ пень правой части этого равенства, в частности степень 1/3. Используем неравенство для среднего геометрического таких трех величин, чтобы правая часть этого неравенства оказалась константой:

^ 4 ) г " ^ ( 5 - я ) (5-51)1«

Максимум левой части в этом неравенстве будет достигнут при его переходе в равенство, т.е. \ JH ~ И' Отсюда находим h/H = 1/3 и, подставляя в (1.1), вычисляем 77(1/3) = 4 /9 . При этом отношение радиусов оснований цилиндра и конуса будет г/Д = 2/3.

Несложно проверить, что к тому же результату можно прийти и стандартным путем поиска экстремума функции

ф / Н ) при h/H € [0,1].

Пример 1.4. Найдем значение параметра а, при котором

достигает максимума функция / (о) = ехр 1 (ж? + х%)) , где * i,

Х2 — корни квадратного уравнения х2 + ах + За — 1 = 0.

По теореме Виета* [1-4.4] имеем xi + *2 = —а и *i*2 = За — 1.

ехр(—0,5(а — З)2) убывает с возрастанием (а —З)2, то функция /(а ) достигает своего максимума при а» = 3 и этот максимум равен /(а») = ехр(3,5) « 33,115.

Применение теоремы Виета позволило в данном случае уп­ ростить задачу и даже избежать использования дифференци­ ального исчисления для поиска экстремума функции /(а ), за­ данной как композиция функций.

Пример 1.5. Луч света, переходя из одной однородной сре­ ды в другую, падает на границу раздела этих сред под углом c*i

Ферма** геометрической опти­ ки свет при прохождении через среду с различными свойствами выбирает такую траекторию, время прохождения которой ми­ нимально.

Пусть ty — время прохождения световым лучом отрезка AM со скоростью ci в среде 1, * — абсцисса точки М падения

*Ф. Виёт (1540-1603) — французский математик и юрист. *'П. Ферма (1601-1665) — французский математик.