Преобразование функции проведено за два шага: сначала переход к переменным yi, у2, а, затем — к переменным z1, Z2 . Формулы связи исходных переменных х\, х2 с конечными переменными z\ и Z2 имеют вид

XI = z\ - 2 Z 2 7 f ~

Линиями уровня функции f{x\,x2) являются подобные ЭЛЛИ­ ПСЫ (см. рис. 3.3). Найдем, например, уравнение линии уровня, проходящей через точку х° = (—2, 1). Подстановка координат этой точки в (3.40) дает значение функции f(x°) = 57. Следова­ тельно, эта точка расположена на линии уровня f ( x и х2) = 57. Переходя к конечной системе координат 0\ъ\ъ2 , получаем урав­

Таким образом, искомая линия уровня — эллипс с полуосями а = ч/85/2 « 6,52 и b = ^/85/7 « 3,48. Найденная линия уровня показана на рис. 3.3 жирной линией.

3.7.Минимизация позиномов

Вприкладных задачах минимизации целевая функция часто

имеет вид

С{ > 0, i = 1 , г а , а функции

j=1

dij Е R, г = 1, га, j = 1, n, определены на множестве

R+ = {(а?1 , ... X n) e Rn: Xi > 0, г = I7n}

точек с положительными координатами. Функцию вида (3.42) называют позиномом.

Позином при определенных значениях показателей степени dij может не быть выпуклой функцией. Однако с помощью замены переменных

он преобразуется в выпуклую функцию в К". Это показано в примере 3.9. Там же показано, что эта функция является стро­ го выпуклой функцией в том случае, когда матрица А = ( )

имеет ранг, равный п.

Поскольку функция y(£i,...,£n) выпукла в Кп, любая точка ее локального минимума является точкой наименьшего зна­ чения функции (см. теорему 3.14). Более того, так как эта функция дифференцируема в Кп, множество ее точек наимень­ шего значения совпадает с множеством стационарных точек (см. замечание 3.3). В случае строгой выпуклости функция имеет не более одной точки локального минимума. Поскольку якобиан замены переменных (3.44) при любых значениях £i, ..., £п отличен от нуля, любой стационарной точке (£*, ..., £*) функции у(£1,...,£п) соответствует стационарная точка х* = = (я*, х*), Xj=e^i, i = 1, п, и наоборот. Таким образом, минимизация позинома сводится к поиску его стационарных точек, причем для определения наименьшего значения поэинома достаточно найти хотя бы одну стационарную точку.

Для строго выпуклой функции ехр(£) = егверно неравенство

Выполнив замену переменных е1' = щ, г = 1, га, получим нера­ венство взвешенных средних

г=1

циенты в этом неравенстве, в сумме составляющие единицу, называют нормированными весами.

Выполнив в неравенстве (3.45) замену у* = W{Ui, г = l,m , получим

Пусть yi —СгрДж), г = 1, т , т.е. сумма в левой части послед­ него неравенства есть позином у(х) вида (3.42). Тогда

Здесь

m

bj = Y l a 4 W i' J = t=l

Подберем нормированные веса W{ таким образом, чтобы функция v(x,w) не зависела от х. Для этого необходимо и до­ статочно, чтобы выполнялись равенства bj = 0. Другими сло­ вами, нормированные веса должны удовлетворять системе ли­ нейных уравнений

существования нормированных весов, удовлетворяющих систе­ ме линейных уравнений (3.47), необходимо, чтобы эта система имела ненулевые решения. Однако даже если система (3.47) и имеет ненулевые решения, то среди них может не оказаться решений с положительными (или хотя бы неотрицательными) значениями неизвестных wf. так будет, например, в случае, ко­

и неравенство (3.46) преобразуется к виду

771 71 771

(вектор с координатами ш*, г = 1, т , ортогонален каждому из п столбцов матрицы (aij) размера ш х п ).

В Rm рассмотрим множество

Нетрудно показать, что это множество представляет собой выпуклую оболочку элементов wiei G R771, г = 1, га, где ei, ет — стандартный базис в Шт. Другими словами, W —

m-мерный выпуклый многогранник. Для двойственной функции d(w) верна следующая теорема.

Теорема 3.20. Двойственная функция d(w) на множе­ стве W достигает наибольшего значения d* = ci + С2 + •••+ Cm в точке w* = (ci/d*, C2/d*, ..., cm/d*) G V7, и эта точка един­ ственная.

◄ Несложно, вычислив вторую производную, убедиться в том, что каждая из функций (pi(w{) = —Wiln(ci/wi) является строго выпуклой при > 0. Значит, и функция

как сумма строго выпуклых функций, является строго выпук­ лой (см. теорему 3.8). Если эта функция достигает на W наи­ меньшего значения, то точка, в которой достигается наимень­ шее значение, согласно теореме 3.14, единственная. Значит, функция d(w) может достигать наибольшего значения только в одной точке.

Согласно неравенству взвешенных средних,

771 771 771

»=1 1 i=i 1 i=1

причем это неравенство превращается в равенство в точке w* с координатами wf = Ci/d*, i = 1, т. Следовательно, d(w) < < d(w*), w e W , и в точке w* функция d(w) достигает наи­ большего значения. ►

Пусть W* — множество точек w = (wi, ..., wm) в вы­ пуклом многограннике W , которые удовлетворяют условию (3.47). Множество W* может быть и пустым, т.е. W* = 0. Но если W* Ф 0, то позином у(х) имеет двойственную функ­ цию d(w), причем для любых w Е W* и х Е К+ выполняется неравенство d(w) < у(х). Следовательно, позином у(х) ограни­ чен снизу положительным числом, в качестве которого можно взять значение d(w) в любой точке w £ W* Можно показать, что в этом случае позином достигает наименьшего значения. При этом число d(w) можно рассматривать как оценку сни­ зу наименьшего значения позинома. Отметим, что в некото­ рых случаях множество W* может состоять из единственной точки.

Позином может не достигать наименьшего значения, хотя он и ограничен снизу нулем (например, функция 1/х\). Как показывает предыдущее рассуждение, это возможно лишь в случае, когда множество W* пусто.

Пример 3.19. Выясним, достигает ли наименьшего значе­ ния позином

4

у(х) = ---------- \-Х\Х2 + 2X2^3 +4ziX3, X = (х\, Х2, Тз).

Х\Х2ХЗ

Если позином достигает наименьшего значения, то оценим его. Запишем для этого позинома систему, включающую условие

771

нормировки ^2 Wi = 1 и условия ортогональности (3.47): i=i

'w\ +г«2 + ггз + Ш4 = 1 ,

— uii + гтг + 104 = О,

<

- uii + гог + гтз = О,

k— w\ + и>з + Ш4 = 0.

Решая эту систему линейных алгебраических уравнений, на­ ходим ее единственное решение w\ = 2/5, W2 = W3 — = 1/5.