7. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Общая задача нелинейного программирования может вклю­ чать ограничения типа равенства или ограничения типа нера­ венства, а также оба вида ограничений одновременно. В этой главе сначала кратко обсудим задачу нелинейного программи­ рования, в которую входят только ограничения типа равенства, а затем перейдем к общему случаю.

7.1. М иним изация целевой ф ункции на заданном м н ож естве

Рассмотрим общую задачу математического программиро­ вания

где ft — допустимое множество, входящее в область определе­ ния D(fo) С К" целевой функции /о (аз). Пока не будем уточнять, каким способом задано множество ft, но будем считать, что оно не пусто.

Если множество ft компактное, то существует хотя бы одна точка х* G fi, в которой непрерывная на этом множестве функ­ ция fo(x) достигает своего наименьшего значения [V]. СледоНательно, задача (7.1) в случае непрерывной целевой функции и компактного допустимого множества имеет решение.

Теорема 7.1. Если функция fo(x) непрерывна на замкну­ том множестве Г2 С Еп и для некоторого а € К множество X = == {sc 6 ft: /о(аз) ^ а } не пустое и ограниченное в Rn, то задача (7.1) имеет решение.

Теорема 7.2. Пусть функция /о(®) дифференцируема* в точке х* е Rn. Если х* является точкой наименьшего значения функции /о(®) на множестве П, то

◄Выберем вектор е е С(х*) и соответствующее этому вектору

< fo(x) = tp(t), где х = х* + te е U, t e (0, 8). Отсюда вытекает, что

0..W -< М 0) > 0 . (€ ((М ) t

Так как функция fo(x) дифференцируема в точке ж*, то слож­

Производная функции <ре (t) в точке t = 0 представляет собой производную функции fo(x) в точке х* по направлению вектора е, которую с помощью градиента функции можно записать в виде (grad/o(aj*), е) [V]. Таким образом, неравенство ^ (0 ) ^ 0 равносильно неравенству (7.2). ►

Утверждение теоремы 7.2 можно рассматривать как обоб­ щение необходимого условия локального экстремума. Чтобы придать такой трактовке более точный смысл, введем следую­ щее понятие. Будем говорить, что функция /о (ж), определенная на множестве имеет в точке х* Е локальный мини- мум на множестве Г2, если существует такая окрестность

"Дифференцируемость функции в точке предполагает, что функция определена в некоторой окрестности этой точки, т.е. все точки диф­ ференцируемости функции являются внутренними точками ее области определения.

U точки ж*, что /о(ж) ^ /о(ж*) при х Е U ПИ. Если последнее неравенство в случае хф х* является строгим, то будем гово­ рить о строгом локальном минимуме на множестве ft. Введенные понятия расширяют понятия локального минимума и строгого локального минимума: согласно определению, точ­ ка локального (строгого локального) минимума должна быть внутренней точкой множества ft.

Повторяя почти дословно доказательство теоремы 7.2, мож­ но показать, что если ж* Е ft — точка локального минимума функции /о(ж) на множестве ft, а функция /о(ж) дифференци­ руема в точке ж*, то имеет место условие (7.2).

Если точка х* является внутренней точкой множества ft, то конус допустимых направлений С(х*) содержит все п-мерные единичные векторы, а условие (7.2) легко преобразовать в обычное условие локального экстремума функции, записанное в виде (grad/o^*), е) = 0, е Е W1. Действительно, в этом случае условие (7.2) выполняется для любой пары единичных векторов е и —е, а потому в этом условии знак нестрогого неравенства можно заменить знаком равенства. Кроме того, условие |е| = 1 не является существенным, так как множитель, равный длине вектора е, можно вынести за знак скалярного произведения.

Отметим, что условие (grad/о(ж*), е) = 0, е Е К71, эквива­ лентно условию grad/о (ж*) = 0. В самом деле первое условие непосредственно вытекает из второго. Наоборот, если верно

ству grad/о(ж*) = 0 — обычной формулировке необходимого условия локального минимума [V].

Теорема 7.3. Пусть функция /о(ж) определена на выпук­ лом множестве ft и дифференцируема в точке ж* Е ft. Если для некоторого числа а > 0 выполнено условие

то х* — точка строгого локального минимума этой функции на множестве ft.

4 Условие дифференцируемости функции /о(аз) в точке ж* озна­ чает, что функция /о (ж) определена в некоторой окрестности U(ж*,6) точки ж* и в этой окрестности имеет место предста­ вление

/о(®) - /о(®*) = (grad/о(аз*), Даз) + о(Даз),

где Даз = аз — аз*, а — бесконечно малая при Да: —¥ 0.

Уменьшим, если необходимо, радиус окрестности S настолько, чтобы в этой окрестности выполнялось неравенство |о(Дж)| <

Но это и означает, что в точке х* функция /о(ж) имеет локаль­ ный минимум на множестве Г2. ►

Отметим, что условие (7.3) теоремы 7.3 может выполнять­ ся лишь в граничной точке множества fi. Действительно, если бы это условие выполнялось во внутренней точке ж* множества то точка ж* была бы точкой локального минимума функ­ ции /о (ж) и, значит, в этой точке выполнялось бы равенство (grad/о(ж*), е) = 0, е Е Шп. Но это противоречит условию (7.3). Доказанные необходимое и достаточное условия локального минимума функции на множестве можно использовать при решении задач минимизации функции на заданном множестве П. Если целевая функция достигает наименьшего значения на fi, то для определения точки минимума можно придерживаться

следующего порядка действий.

1. Находим все стационарные точки функции, являющиеся внутренними точками множества $7.