ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая читателю книга является одним из учебников серии „Математика в техническом университете“ и учитыва­ ет специфику математической подготовки студентов высших технических учебных заведений.

В основу учебника положен курс лекций по методам опти­ мизации, который читается на протяжении ряда лет студентам различных специальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана, а также опыт проведения семинарских и лабораторных занятий по это­ му курсу.

Этот выпуск серии целиком посвящен конечномерным за­ дачам оптимизации. Основное внимание уделено прикладным и вычислительным аспектам оптимизации, связанным с раз­ работкой численных методов решения задач оптимизации и построением алгоритмов их реализации. В книге отсутствуют доказательства сходимости методов (исключение сделано лишь для некоторых методов). Существует обширная литература по этим вопросам, и „математические тонкости“ доказательств сходимости можно изучить самостоятельно с использованием рекомендуемой литературы. В инженерной практике важнее понимание сути методов и алгоритмов их реализации, зна­ ние условий их применения, примеры и иллюстрации решения типовых инженерных задач оптимизации. Наличие большо­ го количества примеров и задач, поясняемых графическими иллюстрациями и интерпретацией полученных результатов, по­ зволяет использовать данную книгу не только как учебник, но и как задачник при проведении семинарских и лабораторных занятий.

Содержание учебника относится к специальным разделам высшей математики и для работы с ним требуется хорошее зна­ ние базового курса. В частности, предполагается, что читатель

2.Что такое центр и радиус окрестн ости точки? Что называют отрезком, вложенным в данный отрезок? [I]

3.Из каких этапов состоят доказательства от против­

ного и по м етоду математической индукции? [I]

4.Что называют монотонной, стр ого монотонной, воз­ растающ ей, убывающ ей, неубывающ ей и невозраста­ ющей последовательностями? Что такое подпоследова­ тельность и предельная точка последовательности? [I]

5.Что называют функцией, убывающей, возрастаю ­ щей, неубывающей и невозрастающ ей в промеж утке чи­ словой прямой? Приведите примеры функций, непрерыв­ ных в интервале (а,Ь) или в полуинтервале [а, 6), но не являющихся непрерывными на отрезке [а, 6]. Перечислите свойства функции, непрерывной на отрезке. В чем различие

между точками разрыва первого и втор ого рода? [I]

6.Дайте определение точной верхней (нижней) грани функции многих переменных (одного переменного) на откры ­ том , замкнутом множестве. В чем различие между min/(ж)

Иinf/Ос)? [I], [V]

7.Каков смысл символов „о малое“ и пО большое“? [I]

8.Сформулируйте теорем ы Ф ерма и Лагранжа, напи­ шите формулу конечных приращений. Что называют точ ­ кой стр огого локального экстремума функции одного пе­ ременного? Сформулируйте необходимые и достаточны е условия экстрем ум а такой функции. В чем различие между локальным экстремумом и наибольшим (наименьшим) значением этой функции на отрезке? [II]

9.Как проверить, является ли функция одного действи­ тельного переменного выпуклой (строго выпуклой) вниз (вверх) функцией? Сколько экстремумов может иметь вы­ пуклая (строго выпуклая) функция одного переменного на от­ резке? [II]

10.В каких точках отрезка линейная функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений? Как найти точку экстремума квадратного трехчлена в интервале? [II]

11.Что называют сходим остью метода вычислений и по­ рядком его сходимости? Запишите условия, при выполнении которых скорость сходимости метода является линейной, сверхлинейной, квадратичной, кубической. .[И]

12.Какую матрицу называют диагональной, единич­ ной, симметрической, нулевой, блочной, транспониро­ ванной по отношению к данной? Что называют определи­ телем квадратной матрицы, ее угловыми минорами, не­ вырожденной (вырожденной) матрицей? Каковы правила разложения определителя по строке (по столбцу)? Сфор­ мулируйте необходимое и достаточное условия существования

уквадратной матрицы обратной матрицы. Как связаны между собой определители этих матриц? Что называют ран­ гом матрицы, базисным минором матрицы? Что такое нетривиальная линейная комбинация стр ок (столбцов) матрицы? [Ill], [IV]

13.В чем различие между координатной, векторной и матричной записью системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)? Какую СЛАУ называют совместной, неопределенной, квадратной? Чем отличаются прямые

методы решения СЛАУ от итерационных? [III]

14.Что такое линейное, линейное арифметическое, ев­ клидово, метрическое и нормированное пространства? Перечислите аксиомы скалярного умножения. Как связа­ ны между собой скалярное произведение, норма и метри­ ка? Запишите неравенство Кош и — Буняковского. [IV]

15.Что такое линейный оператор, матрица линейно­ го оператора? Как записать матрицу линейного оператора в различных базисах? Что такое ортонормированный базис, ортогональный и самосопряженный операторы? Какие матрицы соответствуют этим операторам? Каковы свойства собственны х векторов и собственны х значений этих опе­ раторов в конечномерном линейном пространстве? Что такое характеристическое уравнение матрицы и ее соб ­ ственные значения? [IV]

16. Что такое линейная и квадратичная формы, ма­ трица квадратичной формы? Обоснуйте процесс приве­ дения квадратичной формы к каноническому виду ссылкой на соответствующие теоремы линейной алгебры. Какую ква­ дратичную форму и какую матрицу называют положительно (отрицательно) определенной? Сформулируйте критерий Сильвестра. Какую квадратичную форму называют неполо­ жительно (неотрицательно) определенной, знакопере­ менной? [IV]

17. Напишите формулу Тейлора с остаточны м чле­ ном в ф орме Лагранжа и Пеано для функции одного действительного переменного и для функции многих пе­ ременных. [II], [V]

18. Какую функцию многих переменных называют непре­ рывной по совокупности переменных и непрерывной по части переменных? Что такое линия (или поверхность) уровня такой функции? Что называют координатными функциями векторной функции многих переменных и ее матрицей Я коби по всем или по части переменных? [V]

19. Что такое градиент функции многих переменных, матрица Гессе? Запишите приращения дифференцируемой и дважды дифференцируемой функции, используя эти понятия.

20.Что такое производная функции многих перемен­ ных по направлению вектора и как она связана с градиен­ том функции? Имеет ли дифференцируемая функция многих переменных производные по всем направлениям? Верно ли обратное? [V]

21.Какие условия надо наложить на производную функ­ ции многих переменных по направлению, чтобы можно было утверждать, что: а) функция непрерывна; б) функция дифференцируема? Приведите примеры. [V]

22.В чем различие между точкой экстрем ум а и кри­ тической или стационарной точками скалярной функции

многих переменных? Что называют строгим (нестрогим) локальным экстремумом такой функции? [V]

23.Сформулируйте необходимые условия экстрем ум а скалярной функции многих переменных: а) с использованием частных производных функции; б) с использованием градиента функции. [V]

24.Сформулируйте достаточны е условия экстрем ум а функции многих переменных с использованием: а) понятия зна­ коопределенности второго дифференциала функции; б) глав­ ных миноров матрицы Гессе; в) собственных чисел матрицы Гессе. Приведите примеры. [V]

25.Может ли линейная функция многих переменных достигать экстремума внутри замкнутой области? Может ли квадратичная функция многих переменных достигать экстремума внутри замкнутой области, как найти точку экс­ тремума? Приведите пример. [V]

26.Что называют условным экстрем ум ом функции мно­ гих переменных и уравнениями связи? Как найти точки условного экстремума? Что такое множители Лагранжа

ифункция Лагранжа? [V]

27.Напишите формулу Н ью тона — Лейбница. [VI]