- •А.В. Аттетков, С.В. Галкин, В.С. Зарубин
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •Задания для самопроверки
- •ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
- •Буквы латинского алфавита
- •Буквы греческого алфавита
- •1. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Некоторые простые примеры
- •1.3. Задачи оптимального проектирования
- •1.4. Задачи оптимального планирования
- •1.5. Классы задач оптимизации
- •Вопросы и задачи
- •2. МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ
- •2.1. Предварительные замечания
- •2.3. Оптимальный пассивный поиск
- •2.4. Методы последовательного поиска
- •2.5. Сравнение методов последовательного поиска
- •2.6. Методы полиномиальной аппроксимации
- •2.7. Методы с использованием производных
- •Вопросы и задачи
- •3. МИНИМИЗАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
- •3.2. Выпуклые функции
- •3.4. Условия минимума выпуклых функций
- •3.5. Сильно выпуклые функции
- •ф{t) = (grad/(а; + th), h)
- •3.6. Примеры минимизации квадратичных функций
- •3.7. Минимизация позиномов
- •Qj = '%2aijci = Q> J = !.*»•
- •Вопросы и задачи
- •4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ БЕЗУСЛОВНОЙ МИНИМИЗАЦИИ
- •4.1. Релаксационная последовательность
- •4.2. Методы спуска
- •4.4. Минимизация квадратичной функции
- •4.5. Сопряженные направления спуска
- •5. АЛГОРИТМЫ МЕТОДОВ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ
- •|iufc|
- •5.3. Метод Ньютона
- •5.4. Модификации метода Ньютона
- •5.5. Квазиньютоновские методы
- •Вопросы и задачи
- •6. АЛГОРИТМЫ ПРЯМОГО ПОИСКА
- •6.1. Особенности прямого поиска минимума
- •6.2. Использование регулярного симплекса
- •6.4. Циклический покоординатный спуск
- •6.5. Метод Хука — Дживса
- •Щ + bjej,
- •6.6. Методы Розенброка и Пауэлла
- •Вопросы и задачи
- •7. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- •7.2. Минимизация при ограничениях типа равенства
- •7.4. Седловая точка функции Лагранжа
- •7.5. Двойственная функция
- •7.6. Геометрическое программирование
- •Вопросы и задачи
- •8. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- •8.1. Метод условного градиента
- •8.2. Использование приведенного градиента
- •8.5. Метод проекции антиградиента
- •СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Математика в техническом университете Выпуск XIV
- •Аттетков Александр Владимирович Галкин Сергей Владимирович Зарубин Владимир Степанович
- •МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
где 7 = 7i + 72 + •••+ 7п) в единственной точке х* с координатами х\ = - .
◄ Согласно неравенству взвешенных средних в форме (7.25), примененному при А* = 7j, имеем
Неравенство взвешенных средних (7.25) превращается в равен ство тогда и только тогда, когда попарно равны основания степеней под знаком произведения, т.е. когда равны величи ны •При этом обе части равенства равны общему значению
величин Щ-. В рассматриваемом случав неравенство превра- А»
щается в равенство, когда
|
я»7 |
|
• |
i— |
|
|
----- = ц, |
* = |
1 |
,п, |
|
|
7» |
|
|
|
|
откуда получаем |
|
|
|
|
|
xi = |
7г м |
• |
i— |
|
► |
|
г = 1,п. |
||||
Pi I
Вопросы и задачи
7.1. Минимизируйте функцию /(х ^ х г) = х\ —хг при огра ничении xf + х\ = 1. Найдите стационарные точки и точки минимума. Проанализируйте поведение функции Лагранжа в окрестностях найденных точек. Классифицируйте найденные точки (точки минимума, максимума, седловые точки для функ ции Лагранжа по переменным х, А).
7.2.Решите задачу
Г (Х\ + I)2 + (Х2 - З)2 -A min;
[ х \ л -х \ = 1
ипроверьте решение графически.
7.3.Решите задачу
( {х\ + I)2 + (х2 —З)2 —>min;
\xi + 2x2 = 2
ипроверьте решение графически.
7.4.Решите задачу
f (х\ + I)2 + (Х2 —З)2 —> min; [z i + ах2 +/? < О
и проверьте решение графически при значениях: а) а = 1 , /3 = 0; б) а = —1 , (3= 1 ; в) а = 0, /3 = 0.
7.5. Путем перехода к задаче геометрического программи
рования минимизируйте функцию f(x 1,2:2) = — — Ь Ъу/х+ у.
Х\Х2