коэффициентами с*, но соответствующим образом измененны­ ми коэффициентами aij.

Поскольку множество W* состоит всего из одной точки w , то найденное в примере 3.19 значение двойственной функции d(w) = 10 является наибольшим ее значением в W* Следо­ вательно, наименьшее значение позинома у(х) равно у* = 10. Найдем координаты х!•, j = 1, 2, 3, точки ж*, в которой позином у(х) принимает значение у* = 10.

Используя вычисленные в примере 3.19 координаты w\ = = 2/5, W2 = = wl = 1/5 точки w и наибольшее значение d(w) = 10 двойственной функции, в соответствии с (3.55) по­ лучаем систему уравнений:

Решая эту систему линейных уравнений, находим z\ = 0, z^ = = 1п2, z\ = — 1п2, откуда х\ = 1, = 2, xjj = 1/2. Непосредствен­ ной проверкой можно убедиться, что у* = 10.

Вопросы и задачи

3.1.Установите, являются ли выпуклыми множества:

3.2. Проверьте, какие из указанных функций являются выпуклыми в Мп:

а) /(ж1 ,тг) = + 2X I X2 - IOTI + 5ж2;

б) /(Ж1,Ж2) = х* + х% + х* + х% + xfol',

в) /(ж 1,ж2) = Ж1е_(11+12); г) / ( Ж1 ,Ж2,жз) = 2ж1 +Ж1Ж2 + Ж2 + 2жз- 6ж1Жз;

д) f(x u x 2,x3) = ехр(ж? + х\ + х\).

3.3. Проверьте, является ли функция /(ж 1,Ж2) = ж)®+ ж^ + + (ж1 + ж2)- 1 выпуклой на множестве

ft = {(жь ж2) € R2: Ж1 +ж2 > О, Ж1 +ж2 < —v^2}.

3.4. Докажите, что если /Даз), г= 1, т , — выпуклые (строго выпуклые) функции на выпуклом множестве ft С Кп, то функ­ ция

g(x) = max /Да?)

г=1,т

выпукла (строго выпукла) на

3.5.Докажите, что если д(х) — выпуклая скалярная функ­ ция в Кп, то функция f(x) = — 1 /д(х) является выпуклой на множестве S7 = {х Е R71: д(х) > 0}.

3.6.Покажите, что произведение выпуклых функций не­ обязательно выпукло. Существуют ли подклассы выпуклых функций, замкнутые по отношению к умножению?

3.7.Пусть f i c R n — выпуклое множество. Докажите, что

функция f { x ) = inf ||ж—у|| выпукла на Q,. Запишите функцию

убП

/(ж) в явном виде, если fl= {(xi, Х2 ) GM2: х\ + х\ ^ l}.

3.8. Пусть f(x) — выпуклая (строго выпуклая) функция в W1 и /(ж + хр) ^ /(ж ) при х еШп и я е [(0, 5], где 6 > 0. Пока­ жите, что функция ipx{x) = /(ж + хр) является неубывающей (возрастающей) функцией переменного х.

3.9. Покажите, что если функция f(x) выпукла в Кп, то

функция д(у) = inf f(x), где А — матрица размера m xn,

А х —у

выпукла в Шт.

3.10. С помощью необходимых и достаточных условий экс­ тремума выделите среди стационарных точек заданных функ­ цией те, которые являются точками локального максимума или локального минимума: a) f(x 1,^2) = (х\ — Х2 ) 2 + (х\ —I)2] б) f{x 1 ,х2) = (Я1 - х\)2 + (Ж1 - I)2.

3.11. Найдите и классифицируйте стационарные точки сле­ дующих функций:

а) f(x 1 ,12 ) =х\ —х\Х2 + Х2 ~ 2T I + 3 X2 — 4;

б) f(x 1,12 ) = 2т2+ 4 X IX2 — IOX1T2 + т2; в) /(х 1,2:2) = 2 x f+ 4T IT2 — ЮХ1Т2 + Х2; г) f(x\,X2 ) = 2х\ + 4T IX2 — IOX1X2 +® 2! д) f(x\,X2 ) = 2х\ + 4x1^2 — 10xiX2 + а^-

Графически проиллюстрируйте полученный результат. Уста­ новите, какие из указанных функций являются унимодальными выпуклыми (сильно выпуклыми) функциями.

3.12.Запишите функции, двойственные позиномам 2х^хг +

+Х2/Ж1 + 3 /(x ix 2) и ж,1Хз/(2х2) +2х2/х\ + х\1(Ах$) + 2хзУка­ жите дополнительные условия, которым должны удовлетворять аргументы этих функций.

3.13.Решая двойственную задачу, найдите точки локаль­ ного минимума и наименьшее значение следующих позицомов (коэффициенты а, 6 и с положительны):

а) ах2 /х\+Ьх\ + с/{х1X2);

б) ах\/х\ + 6х2хг 4- с/(х2х|);

в) ах2/х\ + Ьх\/4х}/4+ с/(х 1X2).