2.5. Сравнение методов последовательного поиска

Таким образом, скорость сходимости метода Фибоначчи при больших значениях п всего примерно на 17% выше, чем ско­ рость сходимости метода золотого сечения.

Сравнивая при больших значениях п методы золотого сече­ ния и дихотомии, получаем

Таким образом, метод золотого сечения качественно „лучше" метода дихотомии. Но из (2.5) и (2.16) следует

т.е. скорость сходимости метода дихотомии при больших зна­ чениях п выше, чем скорость сходимости метода оптимального пассивного поиска.

Итак, метод золотого сечения уступает по скорости схо­ димости лучшему методу — методу Фибоначчи — примерно в 1,17 раза, но является более гибким, поскольку не требует выбора заранее определенного числа точек, в которых предсто­ ит вычислить значения минимизируемой функции. В табл. 2.2 приведены значения длины интервалов неопределенности для рассмотренных методов в зависимости от числа N вычислен­ ных значений функции.

Пример 2.3. Используя методы дихотомии, золотого сече­ ния и Фибоначчи, при заданном значении £* = 0,1 наибольшей допустимой длины интервала неопределенности найдем интер­ вал, в котором расположена точка х* минимума унимодальной на отрезке [0,1] функции /(х ) = 100(х —0,24)2. График этой функции показан на рис. 2.10.

Для данной функции f ,r{x) = 200 = const. Поэтому в соот­ ветствии с формулой (2.20) (см. 2.7) при вычислении значе­ ний функции с точностью Д / = Ю"5 имеем нижнюю оценку

Д* = 2y/Af/f"(x*) w 0,447 10"“3 для абсолютной погрешности нахождения точки х* минимума этой функции любым методом прямого поиска. Поэтому границы интервалов неопределенно­ сти достаточно вычислять с тремя знаками после запятой, а

вметоде дихотомии из условия (2.7) можно выбрать 2S= 10“ 3 Такое же значение Sпримем и на последнем шаге метода Фибо­ наччи, причем в нем для выполнения условия 1^ ^ е* достаточно

всоответствии с табл. 2.2 взять N = 6, т.е. ограничиться чи­ слами Фибоначчи до -FV+1 = F7 = 13 включительно.

Применение метода дихотомии потребовало вычисления зна­ чений минимизируемой функции в восьми точках (табл. 2.3), что согласуется с табл. 2.2, а в методе золотого сечения (табл. 2.4) оказалось достаточным вычислить шесть значений этой функции, т.е. столько же, сколько и в-методе Фибоначчи (табл. 2.5), что также согласуется с табл. 2.2. Отметим, что

Таблица 2.3