1383

Граничные условия теплообмена рассмотрены для случая фиксированной температуры T1 в основании и боковых границ цилиндра и линейного распределения тепла на верхней границе с максимумом T2 в центре:

T w = T1; T up = Nri− 1 (T2 − T1 ) + T2 .

При этом число Грасгофа рассчитывается по формуле

Gr = gβ(T2 − T1 )r3 .

ν2

Уравнения (1) дискретизировались при помощи метода конечных разностей, где пространственная производная заменялась центральными разностями, а производная по времени аппроксимировалась разностями вперёд. Для более устойчивого численного расчёта была применена схема с разностями против потока:

Уравнение Пуассона для функций тока решалось методом последовательной верхней релаксации:

131

g – модуль ускорения свободного падения, χ – коэффициент температуропроводности, {Nr , Nz } – количество узлов сетки, β –

температурный коэффициент объемного расширения, ν – кинематическая вязкость, r – радиус цилиндра.

Расчеты проведены при числе Gr = 2,3×106. На рисунке, а построено поле функции тока, на котором наблюдается круговой вихрь в верхней части цилиндра. На рисунке, б представлено поле температуры.

132

Исследование выполнено при финансовой поддержке правительства Пермского края в рамках научного проекта № С-26/060.

Список литературы

1. Теймуразов А.С., Фрик П.Г. Численное исследование конвекции расплавленного магния в аппарате восстановления титана // Вычислительная механика сплошных сред. – 2015. –

Т. 8, № 4. – С. 433–444.

2. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. – М.: Наука, 1989.

КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ОБ ИЗГИБЕ И ОПТИМИЗАЦИИ ДВУХЛИСТОВОГО УПРУГОГО ЭЛЕМЕНТА С ШАРНИРОМ

А.А. Касаткин, М.А. Осипенко, Ю.И. Няшин

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, 79519531265@yandex.ru

Рассмотрено несколько задач оптимизации двухлистового упругого элемента. Нижний лист имеет постоянный профиль, а верхний – переменный. В одном случае оба листа считались консольно закрепленными балками Бернули – Эйлера, в другом – нижний лист оснащён шарниром вместо жёсткой заделки. Оптимизация состояла в отыскании толщины нижнего листа, длины и параметров профиля верхнего листа по двум критериям: минимизация максимального напряжения в упругом элементе при заданных жесткости и общем размере и максимизация коэффициента использования материала.

Ключевые слова: упругий элемент, двухлистовая рессора, контактная задача, равнонапряженный упругий элемент, оптимизация.

Листовые рессоры широко используются в качестве упругих элементов подвесок автомобилей и других транспортных средств [1]. Известно также их использование в качестве упругого элемента протеза стопы [2]. Поэтому контактные задачи

133

расчета статического изгиба и оптимизации таких рессор являются актуальными. Несмотря на то, что эти задачи в настоящее время активно изучаются, имеется лишь весьма небольшой набор решений для отдельных задач [2, 3]. Причина этого состоит в том, что даже при использовании простейшей теории изгиба одного листа, задача о совместном изгибе листов является контактной. Численные методы решения контактных задач [4] в данном случае требуют значительной адаптации.

В данной работе модель рессоры и постановка контактной задачи соответствуют схеме, принятой в [2, 3, 5, 6]. Каждый лист представляет собой консольно закрепленную прямолинейную балку (кроме случая, когда балка вместо жёсткой заделки оснащена шарниром), испытывающую слабый изгиб в одной плоскости. Нагрузка – сила, сосредоточенная на свободном конце длинного листа. Листы имеют различные толщины, возможно даже переменные. В отсутствие нагрузки листы плотно прилегают друг к другу. Трением пренебрегаем. Изгиб каждого листа описывается моделью Бернулли – Эйлера. Задача заключается в отыскании линий изгиба листов и сводится к отысканию плотности сил взаимодействия листов, т.е. к решению контактной задачи (рисунок).

Рис. Модели двухлистовой рессоры с листом линейного профиля: а – оба листа консольно закреплены; б – верхний лист консольно закреплен, нижний – оснащен шарниром

В общем случае построен численный метод решения контактной задачи, основанный на итерационном уточнении области контакта. Построенный численный метод позволяет решать задачи оптимизации двухлистового упругого элемента.

134

Оптимизация состоит в отыскании параметров конструкции (толщина нижнего листа, длина и параметры профиля верхнего листа) по двум критериям: минимизация максимального напряжения в упругом элементе при заданных размере (длина нижнего листа) и прогибе и максимизация коэффициента использования материала. Найдены оптимальные параметры двухлистового упругого элемента с длинным листом постоянного профиля и коротким листом линейного профиля. Теория модифицирована для решения контактных задач с шарниром и найдены оптимальные параметры такого упругого элемента.

Список литературы

1.Пархиловский И.Г. Автомобильные листовые рессоры. – М.: Машиностроение, 1978. – 232 с.

2.Mathematical modelling of the foot prosthesis elastic element under bending / M.A. Osipenko, Y.I. Nyashin, R.N. Rudakov, A.V. Ostanin, E.N. Kuleshova, T.N. Zhuravleva // Russian Journal of Biomechanics. – 2001. – Vol. 5, no. 2. – P. 18–29.

3.Осипенко М.А., Няшин Ю.И. Об одном подходе к решению некоторых одномерных контактных задач // Известия Саратов. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. – 2011. –

Т. 11. – Вып. 1. – С. 77–84.

4.Li H., Dempsey J.P. Unbonded Contact of Finite Timoshenko Beam on Elastic Layer // Journal of Engineering Mechanics. – 1988. – July. – Vol. 114, № 7. – P. 1265–1284.

5.Осипенко М.А., Няшин Ю.И., Касаткин А.А. Особенности контактных задач для систем струн и балок со слабо закрепленными элементами // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 1. – С. 121–129. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.1.08

6.Осипенко М.А. Контактная задача об изгибе двухлистовой рессоры с листами, искривленными по дуге окружности // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 1. – С. 142–152.

135

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ КАПЛИ В ПЕРЕМЕННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

М.А. Кашина

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, alabuzhev@mail.ru

Исследуется влияние переменного электрического поля на устойчивость вынужденных колебаний капли жидкости. Внешнее электрическое поле играет роль внешней силы, которая заставляет двигаться контактную линию. Для описания движения контактной линии используется модифицированное условие Хокинга: скорость движения контактной линии пропорциональна сумме отклонения краевого угла и скорости быстрых релаксационных процессов, частоты которых пропорциональны удвоенной частоте электрического поля.

Ключевые слова: электросмачивание, капля жидкости, вынужденныеколебания, электрическое поле, параметрическая неустойчивость.

В данной работе продолжается изучение поведения цилиндрической капли в переменном электрическом поле, которое играет роль внешней силы, заставляя двигаться линию контакта

[1–5] (рис. 1).

Рис. 1. Геометрия задачи

Капля несжимаемой жидкости с плотностью ρ*i окружена другой жидкостью плотностью ρ*e . Вся система ограничена

136

двумя параллельными твердыми поверхностями (см. рис. 1), расстояние между которыми равно h* . Сосуд замкнут на беско-

нечности. Капля имеет форму круглого цилиндра радиусом R* в отсутствие внешних сил. Краевой угол между верхней пластиной и боковой поверхностью отсчитывается от плоскости с внешней стороны капли. Равновесный краевой угол между боковой поверхностью капли и твердыми плоскостями прямой. На систему действует переменное неоднородное электрическое

поле с амплитудой A* и частотой ω* . Для описания движения контактной линии используется модифицированное условие Хокинга [6–11]: скорость движения контактной линии пропорциональна сумме отклонения краевого угла и скорости быстрых релаксационных процессов, частоты которых пропорциональны частоте электрического поля:

При вибрационном периодическом воздействии возможно развитие параметрической неустойчивости. Впервые параметрический резонанс, обнаруженный в [12], наступает при

равенстве частоты вибраций ω удвоенной частоте собственных колебаний: ω = 2Ω , Ω – частота собственных колебаний. Для пузырей сферической формы рассматривалось условие резонанса 2:1, для имеющих несферическую форму – 1:1 и 2:1,

Параметрическая неустойчивость вынужденных колебаний формы сферической и цилиндрической капли появляется при

137

вибраций, Ωm , Ωm+1 – частоты двух соседних мод собственных

колебаний [13, 14]. В работе [15] для сжатой капли (см. рис. 1) экспериментально было обнаружено явление параметрическо-

го резонанса при условии ω = Ω .

В работе также исследуется параметрическая неустойчивость вынужденных колебаний цилиндрической капли, аналогичная той, что было обнаружена в экспериментах [14]. Рассматривается переменное электрическое поле, малые неоднородности которого имеют различную симметрию относительно полярного угла. В главном порядке разложения получается задача о вынужденных линейных колебаниях, аналогичная [1–5]. В первом порядке разложения получаем влияние неоднородности на движение капли, которое описывается следующей краевой азадачей:

поверхности от равновесного положения.

Рис. 2. Область параметрической неустойчивости

( ρi = 0,7 , b = 1,5, m = 1, λ = 1,1)

138

Система исследовалась с помощью метода Флоке. На рис. 2 построена первая область параметрической неустойчивости для азимутального числа m = 1 (трансляционная мода). Из представленного рисунка видно, что имеется ненулевая критическая амплитуда возбуждения неустойчивости, так как при конечных значениях параметра Хокинга λ в системе имеется диссипация.

Работа выполнена при финансовой поддержке проекта РНФ № 14-21-00090.

Список литературы

1. Кашина М.А. Влияние переменного электрического поля на колебания цилиндрической капли // Математическое моделирование в естественных науках. – 2014. – Т. 1. –

С. 120–122.

2.Алабужев А.А., Кашина М.А. Колебания цилиндрической капли в переменном электрическом поле // Технические науки – от теории к практике. – 2014. – № 41. – С. 124–128.

3.Кашина М.А., Алабужев А.А. Вынужденные колебания цилиндрической капли в переменном неоднородном электрическом поле // XIХ Зимняя школа по механике сплошных сред: сб. статей / отв. ред. Н.А. Юрлова. – 2015. – С. 105–110.

4.Кашина М.А. Отклонение краевого угла цилиндрической капли в переменном электрическом поле [Электронный ресурс] // Физика для Пермского края: материалы регион. науч.-

практ. конф. студ., асп. и молодых ученых. – Пермь, 2016. –

С. 104–107.

5.Alabuzhev A.A., Kashina M.A. The oscillations of cylindrical drop under the influence of a nonuniform alternating electric field // J. Phys.: Conf. Ser. – 2016. – Vol. 681. – 012042.

6.Hocking L.M. The damping of capillary-gravity waves at a rigid boundary // J. Fluid Mech. – 1987. – Vol. 179. – P. 253–266.

139

7. Кайсина М.И. Азимутальные моды собственных колебаний цилиндрического пузырька // Вестник Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. – 2015. – № 2 (29). –

С. 37–45.

8.Алабужев А.А., Кайсина М.И. Трансляционная мода собственных колебаний цилиндрического пузырька // Вестник ПГУ. Физика. – 2015. – Вып. 1 (29). – С. 35–41.

9.Алабужев А.А., Кайсина М.И. Влияние движения линии контакта на осесимметричные колебания цилиндрического пузырька // Вестник ПГУ. Физика. – 2015. – Вып. 2 (30). –

С. 56–68.

10.Алабужев А.А., Кайсина М.И. Собственные азимутальные колебания цилиндрического пузырька в сосуде конечного объема // Вестник ПГУ. Физика. – 2015. – Вып. 3 (31). –

С. 38–47.

11.Alabuzhev A.A., Kaysina M.I. The translational oscillations of a cylindrical bubble in a bounded volume of a liquid with free deformable interface // J. Phys.: Conf. Ser. – 2016. – Vol. 681 – 012043.

12.Faraday M. On a peculiar class of acoustic figures // Phyl. Trans. Roy. Soc. – London, 1831. – Vol. 52. – P. 299–340.

13.Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов А.А. Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях. – М.: Физ-

матлит, 2003. – 216 с.

14.Алабужев А.А., Любимов Д.В. Поведение цилиндрической капли при многочастотных вибрациях // Известия РАН.

МЖГ. – 2005. – № 2. – С. 18–28.

15.Electrowetting-driven oscillating drops sandwiched between two substrates / D. Mampallil, H.B. Eral, A. Staicu, F. Mugele, D. van den Ende // Phys. Rev. E. – 2013. – Vol. 88. – 053015.

140