1383

2.Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. – М.: ЛИБРОКОМ, 2010. – 254 с.

3.Чекалкин А.А., Паньков А.А. Лекции по механике конструкций из композиционных материалов. – Пермь: Изд-во Перм.

гос. техн. ун-та, 1999. – 254 с.

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ ВЫПУЧИВАНИЯ ПОЛУСФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ КОНТАКТНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С НЕДЕФОРМИРУЕМОЙ ПЛАСТИНОЙ

А.В. Демарева1, Д.В. Шошин2, Ю.А. Шушкина1

1Научно-исследовательский институт механики Национального исследовательского Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, Нижний Новгород, Россия, ivdemarev@mail.ru, 2Российский федеральный ядерный центр,

Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики, Саров, Россия, shoshin86@mail.ru

Рассматривается задача упругопластического выпучивания тонкостенной полусферической оболочки при контактном взаимодействии с недеформируемой круглой пластиной. Снизу полусферическая оболочка опирается на неподвижное недеформируемое основание. Пластина, приводимая в движение нагружающим устройством, смещается с постоянной скоростью. Для решения задачи используются метод конечных элементов и явная конечно-разностная схема интегрирования по времени типа «крест». Исследуется влияние отверстия в пластине на деформирование оболочки и величину критической нагрузки. Результаты численного исследования хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Ключевые слова: оболочка, квазистатическое нагружение, пластические деформации, выпучивание, метод конечных элементов.

Для численного анализа выпучивания оболочки применяется динамическая постановка задачи при малых скоростях нагружения [1]. Движение оболочки описывается с позиций механики сплошных сред с применением лагранжевой формулировки

92

[2, 3]. Уравнение движения выводится из баланса виртуальных мощностей. В качестве уравнений состояния используются соотношения теории течения с изотропным упрочнением [4]. Контакт оболочки и пластины описывается условиями непроникания. Определяющая система уравнений дополняется начальными условиями и кинематическими граничными условиями.

Решение определяющей системы уравнений основано на методе конечных элементов и явной конечно-разностной схеме интегрирования по времени типа «крест» [5–8]. Для дискретизации определяющей системы уравнений по пространственным переменным применяется 8-узловой изопараметрический конечный элемент с полилинейными функциями формы. Скорости деформаций определяются в локальном базисе, отслеживающем вращение конечного элемента как жесткого целого [8, 9] и аппроксимируются линейными функциями в виде суммы безмоментных и моментных составляющих [5, 8]. Компоненты напряжений, пластических и упругих деформаций определяются из уравнений состояния в выбранных фиксированных точках конечного элемента. В каждом конечном элементе мощность виртуальной работы выражается через матрицу масс, узловые ускорения, силы и виртуальные скорости перемещения. Для определения узловых сил, статически эквивалентных напряжениям, применяются квадратурные формулы [3]. Для численного решения задачи контакта оболочки и пластины на несогласованных конечно-элементных сетках используется алгоритм [10].

Программная реализация конечно-элементной методики осуществлена в рамках вычислительного комплекса (ВК) «Ди- намика-3» [11]. На его основе выполнен расчет упругопластического деформирования и выпучивания полусферической стальной оболочки (внешний радиус R = 2,85 см, R/h = 35,625), расположенной на неподвижной плите. Сверху оболочка нагружается круглой недеформируемой пластиной, которая смещается с постоянной скоростью 1 м/с.

Для численного решения задачи полусферическая оболочка разбивалась на 1208 конечных элементов. На основе резуль-

93

татов расчета построена зависимость контактной силы от смещения пластины и получена остаточная форма оболочки. Достоверность этих результатов подтверждается экспериментальными данными [12]. Так, расхождение графиков зависимости контактной силы от смещения нагружающего устройства, полученных расчетным путем и экспериментально, не превышает 7 %.

Проведено численное исследование влияния геометрических параметров оболочки (радиуса оболочки R и его отношение к толщине R/h) на величину критической нагрузки. Показано, что увеличение толщины оболочки приводит к возрастанию контактной силы и значения критической нагрузки. При увеличении соотношения R/h критическая нагрузка уменьшается, что соответствует данным [13]. При пропорциональном увеличении радиуса и толщины оболочки критическая нагрузка возрастает. Зависимость контактной силы от смещения пластины носит монотонный характер. Потеря устойчивости отмечается лишь уменьшением угла наклона графика к оси абсцисс.

В последующих исследованиях усилие от нагружающего устройства передавалось на полусферическую оболочку через недеформируемую круглую пластину с отверстием в центре. Радиус отверстия r менялся в интервале от 0,25 до 0,96R (R – внешний радиус оболочки).

После потери устойчивости в оболочке образуются две кольцевые складки, отличающиеся кривизной. На начальной стадии контакт оболочки и пластины происходит по границе отверстияв пластине. После потериустойчивостив этойзонеобразуется первая складка (внутренняя), направленная выпуклостью вниз. Ее радиус определяется радиусом отверстия r в пластине. При последующем смещении нагружающего устройства с увеличением глубины первой складки зона контакта смещается на нижнюю поверхность пластины. В результате контактного взаимодействия образуется вторая складка (внешняя), направленная выпуклостью вверх. В дальнейшем область контакта располагается на верхней складке оболочки. Ее радиус превышает радиус отверстия в пла-

94

стине и увеличивается по мере смещения нагружающего устройства. Пластические деформации в зоне первой складки достигают 19 %, а в зоне второй складки 12 %. Образование складок сопровождается большими локальными смещениями и углами поворота конечныхэлементовкакжесткогоцелого.

Уменьшение радиуса отверстия в пластине приводит к снижению критической нагрузки. При r/R < 0,7 отверстие в пластине не влияет на характер изменения контактной силы: как и в первом варианте задачи (при отсутствии отверстия) после потери устойчивости контактная сила монотонно увеличивается, хотя скорость ее роста уменьшается по сравнению с докритической стадией. При r/R > 0,8 на закритической стадии контактная сила между оболочкой и пластиной претерпевает резкий спад. При последующем смещении пластины спад контактной силы сменяется ее ростом. Поскольку на закритической стадии контактная зона располагается вне области отверстия в пластине, его влияние на последующее деформирование оболочки ослабевает, и графики зависимости контактной силы от смещения нагружающего устройства, полученныедля различных соотношений r/R, сближаются.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 14-08- 00656-а).

Список литературы

1.Особенности численного моделирования упругопластического выпучивания полусферических оболочек при нагружении жестким индентором / В.Г. Баженов и [др.] // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 4. – С. 22–33.

2.Поздеев А.А., Трусов П.В. , Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложе-

ния. – М.: Наука, 1986. – 232 с.

3.Bathe K.-Y. Finite element procedures. – New Jersey: Upper Saddle River «Prentice Hall», 1996. – 1037 p.

95

4.Волков И.А., Коротких Ю.Г. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с повреждениями. – М.:

ФИЗМАТЛИТ, 2008. – 424 с.

5.Метод конечных элементов в механике твердых тел / под ред. А.С. Сахарова и И. Альтенбаха. – Киев: Вища школа; Лейпциг: ФЕБ Фахбухферлаг, 1982. – 480 с.

6.Голованов А.И., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 391 с.

7.Конечно-элементное моделирование упругопластического выпучивания незамкнутых сферических оболочек при сжатии / А.А. Артемьева и [др.] // Проблемы прочности и пла-

стичности. – 2012. – № 74. – С. 84–91.

8.Устойчивость и предельные состояния упругопластических сферических оболочек при статических и динамических на-

гружениях / В.Г. Баженов и [др.] // ПМТФ. – 2014. – Т. 55, №1. –

С. 13–22.

9. Коробейников С.Н., Шутов А.В. Выбор отсчетной поверхности в уравнениях пластин и оболочек // Вычислительные технологии. – 2003. – Т. 8, № 6. – С. 38–59.

10.Баженов В.Г., Кибец А.И., Цветкова И.Н. Численное моделирование нестационарных процессов ударного взаимодействия деформируемых элементов конструкций // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 1995. – № 2. – С. 20–26.

11.Вычислительный комплекс «Динамика-3»: аттестационный паспорт программного средства / Научно-технический центр по ядерной и радиационной безопасности. Регистр. паспорт аттестации ПС № 325 от 18.04.2013.

12.Shariati M., Allahbakhsh H.R. Numerical and experimental investigations on the buckling of steel semi-spherical shells under various loadings // Thin-Walled Structures. – 2010. – Vol. 48, № 8. – Р. 620–628.

13.Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. –

М.: Наука, 1967. – 984 с.

96

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЕСУРСА КОМПОЗИТНОЙ КОНСТРУКЦИИ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

Д.А. Ермаков, П.В. Писарев

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, den032895@yandex.ru

Врамках данной работы разрабатывается модель прогнозирования ресурса композитной конструкции при циклическом нагружении. Построены многослойные геометрические модели с учетом схемы армирования. Проводится валидация разработанной модели.

Ключевые слова: циклическое нагружение, композитный образец, ресурс при циклическом нагружении, многослойная конструкция.

Внастоящее время производство современных авиадвигателей невозможно без применения полимерных композиционных материалов, перспективы развития авиационной ракетной техники напрямую связаны с разработкой и внедрением деталей

иузлов из композиционных материалов. Поскольку использование композитов уже является повсеместным, выявлено, что большинство отказов в узлах случалось в связи с усталостью композиционных материалов при циклическом нагружении. Необходимо разрабатывать модели прогнозирования ресурса композитных конструкций при циклическом нагружении.

Врамках данной работы моделируется циклическое испытание на растяжение образцов из ПКМ с приложением различных нагрузок и определяется его усталостная долговечность.

Объект исследования состоит из набора анизотропных слоев эпоксидного углепластика на основе тканей Porcher 3692

схема армирования (0; 45). Технические упругие постоянные углепластика, используемые в численном моделировании, принимались как по результатам испытаний стандартных образцов (для E11, E22, G12), так и по оценочным данным из работ*.

* Технологии и задачи механики композиционных материалов для создания лопатки спрямляющего аппарата авиационного двигателя / А.Н. Аношкин, В.Ю. Зуйко, Г.С. Шипунов, А.А. Третьяков // Вестник Перм. нац. исслед. политехн. ун-та. Механика. – 2014. – № 4. – С. 5–44.

97

Для проведения серии вычислительных экспериментов по расчету НДС и оценке ресурса образца из ПКМ были построены геометрические модели. Все геометрические модели представляют собой многослойную конструкцию с учетом схемы армирования. На рис. 1 представлена схема геометрических характеристик образца, на рис. 2 – общий вид многослойной модели. Модель имеет 15 слоев со схемой армирования (0; 45).

Рис. 1. Геометрические характеристики образца

Рис. 2. Общий вид геометрической модели

Сеточная модель: структура расчетной сетки принималась следующая. Для лучшей сходимости решения и снижения погрешностей получаемых результатов применялась расчетная сетка, ячейки которой имеют призматическую форму. Максимальный размер элемента 1 мм, минимальный 0,21 мм, для каждого слоя материала общее количество расчетных элементов составило 100 тыс. элементов.

Граничные условия: с одного торца модели образца задавалась циклическая нагрузка с постоянной амплитудой. Перемещения другого торца ограничены во всех направлениях в местах крепления образца.

Для проведения численного исследования усталостной прочности образца из ПКМ был составлен план проведения вычислительных экспериментов, которые включает в себя 5 рас-

98

четных вариантов для слоистых моделей с различным приложением нагрузок.

В рамках валидации разработанной численной модели проводилось сравнение результатов численного эксперимента с результатами лабораторных испытаний. На рис. 3 представлен график сравнениярезультатовчисленногоинатурногоэкспериментов.

Рис. 3. Сравнение расчета с экспериментом

Таким образом, результаты механических испытаний совпадают с результатами численного моделирования, выполненными в трехмерной постановке с учетом полной технологической схемы укладки и анизотропии свойств армирующих слоев в конструкции. Разработанная методика может быть использована для оценки ресурса подобных конструкций.

Работа выполнена в рамках проекта Российского научного фонда по теме «Создание портативной установки для микрофокусной рентгенографии с целью оперативного контроля микроструктуры, физико-химических свойств и определения остаточного ресурса авиационных деталей и узлов из полимерных композиционных материалов». Номер проекта 15-19-00259.

99

МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРГУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СТАЛИ ПРИ НЕПРОПОРЦИОНАЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО ПЛОСКИМ ОКРУЖНЫМ ТРАЕКТОРИЯМ

В.Г. Зубчанинов, А.А. Алексеев, В.И. Гультяев, Е.Г. Алексеева

Тверской государственный технический университет,

Тверь, Россия, alexeew@bk.ru

Проведено численное моделирование процессов деформирования стали 45 при сложном нагружении по плоским криволинейным траекториям типа «центральная окружность». Расчетные результаты сопоставлены с опытными данными, полученными на испытательном комплексе СН-ЭВМ имени А.А. Ильюшина.

Ключевые слова: пластичность, сложное нагружение, векторные и скалярные свойства материалов, моделирование процессов, испытательный комплекс СН-ЭВМ.

При моделировании процессов деформирования поликристаллических металлов и сплавов использованы определяющие соотношения теории процессов, связывающие векторы напря-

жений σ и деформаций Э в пятимерном векторном пространстве А.А. Ильюшина E5 [1, 2]:

где s – длина дуги траектории деформирования; κ1 – кривизна;

ϑ10 – угол излома траектории в некоторой точке K; σ – функ-

ционал процесса скалярных свойств материала, характеризующий связь между инвариантами девиаторов напряжений и деформаций,

σ = σ(s, κ1, ϑ10 ); угол сближения ϑ1 – функционал процесса век-

торных свойств материала, характеризующий несоосность девиаторов напряжений, деформаций и их приращений,

щие от параметров внутренней геометрии траектории деформирования: s, κ1, ϑ10 .

100