1383

Поскольку в рассматриваемой геометрии задачи (см. рис. 1) присутствуют только деформации кручения, поле директора будем искать в виде

женности и угловой скорости вращения магнитного поля соответственно, а τ = ωt – безразмерное время. Волновое число q0

будем считать положительным, поэтому в невозмущенном состоянии холестерик имеет правовинтовую спираль.

Численное решение уравнения (5) дает пространственное распределение поля директора в слое холестерика с течением времени τ (рис. 2). Из рисунка видно, что вращающееся маг-

Рис. 2. Спиральная структура слоя холестерика во вращающемся магнитном поле

211

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРОУПРУГИХ СИСТЕМАХ С ВНЕШНИМИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ ЦЕПЯМИ

В.П. Матвеенко, Д.А. Ошмарин, Н.В. Севодина, Н.А. Юрлова, М.А. Юрлов

Институт механики сплошных сред УрО РАН,

Пермь, Россия, yurlovm@icmm.ru

Вработе предлагается подход к анализу динамических процессов

вsmart-системах, представляющих собой кусочно-однородные электроупругие тела с присоединенными к ним внешними электрическими цепями на основе моделирования динамического поведения таких систем эквивалентными электрическими схемами замещения. С помощью данного подхода предлагается производить поиск оптимальных параметров внешних электрических цепей, обеспечивающих наилучшее демпфирование колебаний на какой-либо конкретной частоте.

Ключевые слова: электроупругие системы с пьезоэлементами, внешние электрические цепи, собственные колебания, эквивалентные схемы замещения, демпфирование.

Вработе рассматриваются электроупругие системы, представляющие собой кусочно-однородные тела, состоящие из упругих деформируемых элементов, часть из которых обладает пьезоэлектрическими свойствами. К пьезоэлектрическим элементам через электродированную часть поверхности подключе-

ны электрические цепи, состоящие из сопротивлений, ёмкостей и индуктивностей.

Целью исследований является создание эффективных методов математического моделирования, позволяющих находить параметры элементов внешней электрической цепи, обеспечивающие на заданных резонансных частотах максимальные демпфирующие свойства рассматриваемых систем.

Для выбора эффективных схем решения поставленной проблемы предлагается задача о собственных колебаниях упру-

213

гих тел с элементами, обладающими пьезоэффектом, и внешними электрическими цепями. В качестве наиболее эффективных подходов для расчета необходимых для максимального демпфирования параметров электрической цепи предлагаются варианты эквивалентных схем замещения системы с элементами из пьезоматериалов. Обоснование наиболее достоверных эквивалентных схем замещения проводится на основе предлагаемой задачи

особственных колебаниях.

Врассматриваемых электромеханических процессах пьезоэлемент проявляет ёмкостные свойства и образует с внешней цепью последовательный RLC-колебательный контур (рис. 1), который приводит к появлению дополнительной собственной частоты колебаний. При совпадении этой частоты колебаний с одной из собственных частот колебаний электроупругого тела достигается максимальное демпфирование соответствующей моды колебаний [1].

C0

Рис. 1. Последовательный колебательный контур

В ряде работ [2–7] предлагается в качестве электрического аналога пьезоэлемента использовать его простейшую модель, представляющую собой конденсатор с постоянной ёмкостью C0 . Тогда на основе соотношений, описывающих

поведение тока и напряжения в последовательном колебательном электрическом контуре [8], можно получить выражения для действительной и мнимой частей собственной частоты колебаний

214

Ёмкость C0 определяется по величине заряда, возникаю-

щего на пьезоэлементе при его деформировании от электрического потенциала V, приложенного к одной из электродированных поверхностей – C0 = Qs V , где Qs – суммарный электриче-

ский заряд на электродированной поверхности.

Для более адекватного описания пьезоэлектрика с распределенными параметрами используются эквивалентные электрические модели, составленные из электрических элементов с фиксированными параметрами. Одну из первых моделей предложил Van Dyke в 1925 г. [8]. Данная модель, приведенная на рис. 2, а представляет собой параллельное соединение последовательно соединенных ёмкости Ci , индуктивности Li , сопротивления Ri

и ёмкости пьезоэлектрика C0i .

Рис. 2. Эквивалентные схемы замещения: пьезоэлектрика (а), пластины с пьезоэлектриком (б)

Здесь пьезоэлемент ведет себя как обычный конденсатор с ёмкостью C0i только на частотах, далеких от резонанса. Пара-

метры эквивалентной схемы замещения Ci , Li , Ri – динамиче-

215

ские ёмкость и индуктивность – проявляются только при колебаниях с частотой, близкой к частоте собственного резонанса пьезоэлемента. Следует отметить, что целый ряд авторов исследовали области применимости данной модели и предлагали новые, сравнивали их между собой, например, [8–12].

В настоящей работе предлагается модель, представленную на рис. 2, а, использовать как эквивалентную электрическую схему замещения пластины и пьезоэлектрика, работающего в режиме короткого замыкания.

Эквивалентная электрическая модель пластины с пьезоэлектриком в режиме короткого замыкания с одной резонансной частотой позволяет описать моделируемый объект только в окрестности ωi собственной частоты колебаний. Для моделирования

системы в диапазоне n собственных частот колебаний предлагается использовать эквивалентную модель с n ветвями электрических контуров (рис. 2, б), расположенных на схеме в порядке возрастания собственных частот резонанса.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ

(гранты № 14-01-96003-р_урал_а, № 15-01-03976-а).

Список литературы

1.Нашиф А., Джоунс Д., Хендерсон Дж. Демпфирование колебаний / пер. с англ. Л.Г. Корнейчук; ред. Э.И. Григолюк. –

М.: Мир, 1988.

2.Viana F.A.C., Steffen V. Jr. Multimodal Vibration Damping through Piezoelectric Patches and Optimal Resonant Shunt Circuits // J. of the Braz. Soc. of Mech. Sci. & Eng. – 2006. – 38 (3). – 293–310.

3.Agneni A., Mastroddi F., Polli G.M. Shunted piezoelectric patches in elastic and aeroelastic vibrations // Computers and Structures. – 2003. – 81. – 91–105.

4.Fleming A.J., Behrens S., Moheimani S.O.R. Reducing the inductance requirements of piezoelectric shunt damping systems // Smart Mater. Struct. – 2003. – 12. – 57–64.

216

5.Thomas O., Ducarne J., Deu J.-F. Prformance of piezoelectric shunts for vibration reduction // Smart Mater. Struct. – 2012. – 21 (1). – 015008.

6.Caruso G. A critical analysis of electric shunt circuits employed in piezoelectric passive vibration damping // Smart Mater. Struct. – 2001. – 10. – 1059–1068.

7.Хохлов A.B. Теоретические основы радиоэлектроники. – Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 2005.

8.Dyke V. The electric network equivalent of a piezoelectric resonator // Physical Review. – 1925. – 25. – 895A.

9.Park С.H. On the Circuit Model of Piezoceramics // Journal of Intelligent material systems and structures. – 2001. – 12. – 515–522.

10.An accurate equivalent circuit for the unloaded piezoelectric vibrator in the thickness mode / S. Sherrit, H.D. Wiederick, B.K. Mukherjee, M. Sayer // J. Phys. D. Appl. Phys. – 1997. – 30. – 2354–2363.

11.Electrical modeling of piezoelectric ceramics for analysis and evaluation of sensory systems / J. Kim, B.L. Grisso, J.K. Kim, D.S. Ha, D.J. Inman // SAS 2008 – IEEE Sensors Applications Symposium Atlanta. – GA, February 12–14 2008. – 122–127.

12.Park C.H., Inman D.J. Enhanced Piezoelectric Shunt Design // Shock and Vibration. – 2003. – 10 (2). – 127–133,.

ДВУХУРОВНЕВАЯ МОДЕЛЬ НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОЦК-ПОЛИКРИСТАЛЛА С УЧЕТОМ ТЕРМОАКТИВИРОВАННОГО ХАРАКТЕРА ДВИЖЕНИЙ ДИСЛОКАЦИЙ

А.О. Микрюков, П.С. Волегов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, anto-mikryuko@yandex.ru

В работе рассматриваются вопросы, связанные с влиянием температуры на физико-механические свойства материала. Для того чтобы учитывать влияние температуры в двухуровневой модели неупругого деформирования ОЦК-поликристалла, применяется модифицированное

217

соотношение Орована, которое описывает на мезоуровне основной механизм неупругого деформирования – скольжение дислокаций по кристаллографическим системам скольжения, учитывающее термоактивационный характер движения дислокаций. С использованием модели проведены расчеты деформирования представительного объема поликристалла вплоть до достижения заданной интенсивности деформации при использовании заданной схемы деформирования. Построены кривые деформирования поликристалла при разных температурах, проанализирован характер сдвигов по системам скольжения.

Ключевые слова: двухуровневая модель, ОЦК, термоактивированное движение дислокаций, физические теории пластичности.

Процесс деформирования приводит к изменению дефектной структуры кристалла, переориентации кристаллической решётки зерен, а также к изменению формы и размеров зёрен поликристалла. Изменение мезо- и микроструктуры существенно влияет на физико-механические свойства материала, поэтому в настоящее время актуальны модели, позволяющие описать эволюцию внутренней структуры материала [1].

Процессы обработки материалов и последующей эксплуатации изделий из них, как правило, связаны с температурносиловыми воздействиями на материал. Принимая тот факт, что основным механизмом пластических деформаций является скольжение дислокаций, которое относится к термоактивируемым процессам, необходимо разрабатывать модели, учитывающие влияние температуры на поведение материала.

Цель работы заключается в разработке и реализации математической модели, описывающей процессы неупругого деформирования поликристаллического материала с объёмно-цен- трированной кубической (ОЦК) решёткой с учётом влияния температуры, а также исследование с их помощью термомеханических эффектов при различных схемах деформирования.

В работе используется двухуровневая модель неупругого деформирования поликристалла, основанная на подходе физических теорий пластичности [2]. На макроуровне, или верхнем уровне, рассматривается представительный объём поликристал-

218

лического материала, состоящего из элементов мезоуровня, или нижнего уровня – отдельных кристаллитов.

Намакроуровнеповедениематериалаописываетсясистемой:

где Σ – тензор напряжений Коши на макроуровне; Π – тензор упругих свойств макроуровня; D, Din – тензор скорости дефор-

мации и его неупругая составляющая на макроуровне; i – номер зерна; Ν – число кристаллитов, образующих представительный макрообъём.

Модель мезоуровня представляется системой соотноше-

ний [1, 3]:

где σ – тензор Коши на мезоуровне; п – тензор упругих свойств мезоуровня; d, din – тензор деформации скорости и его неупругая составляющая на мезоуровне; γ(k ) – скорость сдвига по k-й системе скольжения; γ0 – характерная скорость сдвига; τ(k ) – действующее сдвиговое напряжение; τ(ck ) – критическое напряжение

219

сдвига; b(k ) – значение модуля вектора Бюргерса; G – модуль сдвига; k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура; K – количество систем скольжения для рассматриваемого типа кристаллической решетки.

Стоит заметить, что соотношение для скорости сдвига (2) определяется из соображений, что термоактивационный характер движения дислокаций связан с преодолением энергетического барьера, обусловленного энергией взаимодействия атомных плоскостей в кристаллической решетке [3]. Соотношение учитывает зависимость движения дислокации как от напряжения Пайерлса, так и от механизма двойного перегиба.

Используя описанную модель, выполнена серия численных экспериментов по деформированию представительного макрообъема поликристалла, состоящего из случайно ориентированных кристаллитов с ОЦК-решеткой. На основании полученных результатов были построены и проанализированы кривые деформирования поликристалла, а также история сдвигов по активным системам скольжения в отдельных зернах.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Пре-

зидента РФ № МК-4917.2015.1, РФФИ (грант № 14-01-96008

р_урал_а).

Список литературы

1.Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 244 с.

2.Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры / П.В. Трусов, А.И. Швейкин, Н.С. Нечаева, П.С. Волегов // Физическая мезомеханика. – Томск: Изд-во ИФПМ СО РАН, 2012. –Т. 15, № 1. – С. 33–56.

3.Heilmaier M., Schultz L. Plastic Deformation // Metal Physics II / Plasticity. – Dresden, 2000/01. – Р. 38–61.

220