1383

Исходя из рис. 2, видно хорошее совпадение экспериментальных и расчетных данных на основе полученных упругих и неупругих констант материала и модельных соотношений.

Список литературы

1.Mogi K. Experimental rock mechanics. – The Netherlands, Taylor & Francis/Balkema, 2007. – 380 с.

2.Новожилов В.В. О пластическом разрыхлении // ПММ. – 1965. – Т. 29, №4. – С. 75–83.

3.Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Прочность горных пород и устойчивость выработок на больших глубинах. – М.: Недра, 1985. – 271 с.

МНОГОУРОВНЕВАЯ МОДЕЛЬ НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕННОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

К.А. Курмоярцева

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, kurmoiartseva.k@mail.ru

Рассматривается структура разрабатываемой математической многоуровневой модели для описания поведения титановых сплавов с учетом накопления поврежденности и разрушения. Исследуются поликристаллические материалы с гексагональной плотноупакованной решеткой. Под повреждениями, накапливаемыми в материале, подразумеваются микропоры и микротрещины.

Ключевые слова: многоуровневые модели, физические теории пластичности, поликристаллический материал, ГПУ-решетка, титан.

Внастоящее время во многих областях промышленности,

впервую очередь в авиастроении, широкое распространение получили материалы на основе титана и его сплавов. В связи с этим актуальной задачей является разработка математической модели для описания поведения поликристаллических материалов с гексагональной плотноупакованной (ГПУ) решеткой, позволяющей

181

описывать процессы накопления повреждений (микропоры и микротрещины) в процессе изготовления и эксплуатации изделий из рассматриваемых материалов. Для идентификации и верификации моделей необходимы также экспериментальные исследования поведения указанных материалов.

Целями настоящей работы являются физический анализ процесса накопления повреждений в титановых сплавах и его математическое описание. Для достижения поставленной цели наиболее перспективными представляется использование в качестве теоретической основы подхода, базирующегося на введении внутренних переменных, и многоуровневых моделей, основанных на физических теориях пластичности. Данный класс моделей позволяет анализировать процессы деформирования на различных масштабных уровнях и учитывать эволюцию микроструктуры материала. Поскольку внутренняя структура определяет свойства материала и рабочие характеристики готового изделия, то корректное математическое описание реальных физических процессов, проходящих в процессах изготовления и эксплуатации деталей из поликристаллических материалов, позволяет прогнозировать поведение различных изделий.

Предлагается использовать многоуровневый подход к построению конститутивной модели материала, в рамках которого дается явное описание изменения внутренней структуры материала. Предполагается разработать трехуровневую статистическую модель, позволяющую описать поведение поликристаллического материала с учетом накопления повреждений и разрушения материала. Представительным объемом (ПО) на макроуровне является поликристаллический агрегат, состоящий из большого количества кристаллов (зерен, субзерен), каждый из которых принимается ПО мезоуровня. На микроуровне в качестве представительного объема рассматриваются субзерна и системы скольжения кристаллитов, для которых записываются кинетические уравнения для плотностей дефектов различной природы и размерности (дислокаций, микропор и т.д.).

182

На каждом из уровней записываются эволюционные уравнения и определяющие соотношения с параметрами, имеющими четкий физический смысл.

Для описания нагружения материала будет использована несимметричная индифферентная мера скорости деформации*.

, ˆ – операторы Гамильтона в подвижной и лагранжевой системах координат, ω – спин подвижной системы координат. Для введенной меры скорости деформации применяется аддитивное разложение z = ze + zin . Первое слагаемое описывает упругую составляющую и характеризует искажения решетки, второе слагаемое определяется скоростями сдвигов по системам скольжения, оставляющих решетку инвариантной.

Математические постановки на макро- и мезоуровнях включают закон Гука в скоростной форме, эволюционные уравнения для внутренних переменных. Для связи уровней принимается гипотеза Фойгта. Далее заглавные греческие буквы используются для макроуровня, строчные – для мезоуровня.

Система уравнений модели на макроуровне имеет следующий вид:

ΣCR = Σ+ Σ Ω− Ω Σ = П: Ze ,

об

Z = VrT = ˆ VT − Ω = Ze + Zin ,П= П(п(i) ,o(i) ),

Ω = Ω(ω(i) ,п(i) ,σ(i) ),

i = 1,..., N,

* Трусов П.В., Нечаева Е.С., Швейкин А.И. Применение несимметричных мер напряженного и деформированного состояния при построении многоуровневых конститутивных моделей материалов // Физическая мезомехани-

ка. – 2013. – Т. 16, № 2. – С. 15–31.

183

где Σ – тензор напряжений Коши, индекс «CR» означает независящую от выбора системы отсчета коротационную производную, Ω – тензор спина подвижной системы координат, Π, п – тензор упругих свойств на макроуровне и мезоуровне соответственно. Явные внутренние переменные модели макроуровня в каждый момент зависят от параметров структуры на низших масштабных уровнях. Связь эффективных характеристик макроуровня с характеристиками мезоуровня осуществляется с помощью осреднения по объему: Σ = σ, П = п,Ω = ω . Учет

повреждений на макроуровне происходит за счет осредненных характеристик мезоуровня.

Система уравнений модели на мезоуровне записывается следующим образом:

o oT =ω,

где n(i) , b(i) – векторы нормали и Бюргерса соответственно для i-й системы скольжения или единичные векторы в соответствующих направлениях, τ(сi) – критическое напряжение на i-й сис-

теме скольжения, τ(i) – действующее напряжение на i-й системе

184

скольжения, γ(i) – скорость сдвига на i-й системе скольжения, H – функция Хевисайда, ρ(i) – общая плотность дислокаций, ξ –

внутренняя переменная тензорной природы, характеризующая поврежденность материала.

На микроуровне рассматриваются эволюционные уравнения для плотностей дислокаций на системах скольжения и диффузии примесных атомов. Именно на этом уровне происходит учет повреждений и их эволюция.

Предполагается учесть такие повреждения, как микропоры, появляющиеся при слиянии вакансий; микротрещины на пересечении полос скольжения, стыках (границах) зерен, в результате взаимодействия двойников, больших растягивающих напряжений из-за скопления дислокаций около препятствий.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ОРТОТРОПНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

К.А. Курмоярцева1,2, Ю.В. Баяндин1,2, О.Б. Наймарк1,2

1Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, kurmoiartseva.k@mail.ru

2Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Россия

В работе рассматриваются композиционные материалы с ортотропными свойствами, которые обусловлены способом изготовления (намотка, укладка). Проведены экспериментальные и теоретические исследования композиционных материалов при квазистатических и динамических нагружениях. Построена математическая модель деформирования и разрушения композиционных материалов. Разработанная математическая постановка на основе оригинальных определяющих соотношений ортотропной среды с учетом накопления поврежденности была адаптирована к конечно-элементному комплексу прикладных программ, что позволяет проводить численное моделирование деформирования изделий, изготовленных из композиционных материалов.

Ключевые слова: композиционный материал, упругохрупкий материал, динамическое нагружение, дефекты.

185

Широкое применение композиционных материалов (композитов) во многих областях промышленности объясняется их небольшим удельным весом по сравнению с конструкционными сплавами. Композиционный материал формально можно разделить на армирующие элементы, обеспечивающие нужные механические свойства, и матрицу, обеспечивающую совместную работу армирующих элементов [1]. Композиты позволяют в условиях агрессивной средыприснижениивесасохранитьзаданнуюпрочность.

Вработе рассматриваются ортотропные композиционные материалы, матрицей в которых служит эпоксидная смола, а наполнителем − волокна (стеклянные, базальтовые). В этом случае армирующий элемент и связующее изотропны, а композит в целом анизотропный. Анизотропию может вносить способ изготовления материала (намотка, укладка) или неоднородное распределение компонентов по пространству. В зависимости от компонентов и метода их совмещения будут изменяться характеристики и свойства материала и, как следствие, готового изделия. При совмещении армирующих элементов и матрицы получается материал, обладающий свойствами, отражающими как исходные характеристики его компонентов, так и новые свойства, которыми отдельные компоненты не обладают.

Всвязи с широким применением композитов актуальным является разработка математической модели деформирования и разрушения анизотропных композиционных материалов с учетом механизмов накопления поврежденности в процессе нагружения. Для этого необходимы экспериментальное и теоретическое исследования, а также развитие новых моделей поведения композиционных материалов в различных условиях. Кроме того, необходимым является численное моделирование деформирования и разрушения ортотропных композиционных материалов на основе оригинальных определяющих соотношений, позволяющих учитывать анизотропию материала и механизмы накопления поврежденности в процессе нагружения и их дальнейшего влияния на прочностные и эксплуатационные характеристики.

186

Цели работы – разработка модели, описывающей деформирование и разрушение композиционного материала, и ее применение для расчета реальных конструкций. В качестве первого приближения модель применена для расчетов модельных экспериментов, проведенных в лаборатории физических основ прочности ИМСС УрО РАН.

Длярешенияпоставленнойзадачипринимается рядгипотез:

♦композиционный материал представляет собой идеальную сплошную однородную среду с ортотропной симметрией строения и свойств;

♦деформации считаются малыми (в экспериментах деформации до разрушения не превышают 3 %);

♦применяется линейный закон упругости (в экспериментах до разрушения материал ведет себя упруго);

♦деформации разделяются на упругие и неупругие (микропоры, микротрещины, разрыв волокон, деламинация, дебондинг и т.д), зависящие от напряжений в материале.

Разработана математическая модель, описывающая деформационное поведение ортотропного композиционного материала. Она включает в себя линейный закон упругости (1), в ко-

тором p – деформация, обусловленная поврежденностью мате-

риала, определяющее соотношение (2), связывающее тензор напряжений и тензор поврежденности, уравнение неразрывности (3) и уравнение движения (4). Таким образом, полная система уравнений, описывающая поведение композиционного материала с поврежденностью, имеет следующий вид:

187

Данная математическая постановка замыкается начальными и граничными условиями для кинематических и силовых

Считаем, что оси ортотропии совпадают с материальными волокнами в соответствии с их укладкой. Эта гипотеза позволяет рассматривать тензор неупругих деформаций в главных осях, анализируя при этом только три диагональные компоненты тензора p , отвечающие за механизмы разрушения, связанные с нор-

мальным отрывом (разрыв волокон, деламинация, отслоение).

В работах [2, 3] развита статистическая теория мезоскопических дефектов в твердых телах, которая позволила сформулировать определяющие соотношения в форме кинетических уравнений для тензорного параметра порядка p , являющегося

по смыслу деформацией, индуцированной зарождением и ростом дефектов в материале. В соответствии с этой теорией вид функции свободной энергии выбран в форме полиномиального разложения шестого порядка. Твердое тело с дефектами является равновесной термодинамической системой и в случае квазистатического приближения описывается равновесной реакцией в виде уравнения σ = ∂F / ∂p , что соответствуют приближению

Данная математическая постановка допускает различные варианты зависимостей тензора поврежденности от напряжений

определяемые по диаграммам деформирования в каждом направлении, которые соответствуют максимальным достигаемым на-

3

пряжениям; r = ( pi / piс )2 является аналогом интенсивности.

i=1

188

Вид зависимости ψ(r ) уточнен с использованием экспериментальных зависимостей напряжения от неупругой деформации. Предполагается, что ψ(r ) имеет полиномиальный вид пятого

порядка, соответствующий производной от функции свободной энергии по параметру порядка p .

Были проведены численные расчеты двух задач. Первой являлась задача об одноосном растяжении композиционного образца из тканого ламината. Второй являлась задача о нагружении полого цилиндра, изготовленного методом мокрой намотки. На основе оригинальных экспериментальных данных по нагружению композиционных материалов была проведена идентификация параметров модели. Построена зависимость напряжений от повреждений, которая сравнивалась с экспериментальной кривой. Представлены поля напряжений и деформаций, обусловленных поврежденностью, в момент разрушения. Получены результаты, качественно и количественно соответствующие эксперименту.

Работа выполнена при поддержке СколТеха (проект

MRA-319).

Список литературы

1.Пестриков В.М., Морозов Е.М. Механика разрушения: курс лекций. – СПб.: ЦОП «Профессия», 2012. – 552 с.

2.Наймарк О.Б., Коллективные свойства ансамблей дефектов и некоторые нелинейные проблемы пластичности и разрушения // Физическаямезомеханика. – 2003. – Т. 6, №4. – С. 45–59.

3.Структурно-скейлинговые переходы и некоторые термодинамические и кинетические эффекты в материалах в объемном субмикро-(нано-)кристаллическом состоянии / О.Б. Наймарк, Ю.В. Баяндин, В.А. Леонтьев, И.А. Пантелеев, О.А. Плехов // Физическая мезомеханика. – 2009. – Т. 12, № 4. – С. 47–59.

189

НАТУРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ПО РАЗРУШЕНИЮ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ

В НЕОДНОРОДНОМ КВАРЦЕВОМ СТЕРЖНЕ

Ю.И. Лесникова, А.Н. Труфанов, Н.А. Труфанов

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, ulesig@gmail.com, ant@pstu.ru, nat@pstu.ru

Рассматривается проблема оценки прочностных свойств конструкций из неоднородно легированных кварцевых стекол на примере силового цилиндрического стержня, являющегося элементом заготовки для вытяжки оптического волокна типа «Panda». В результате получено, что в качестве критерия конструкционной прочности такого стержня возможно использование критерия максимальных главных деформаций. Для заготовки силового стержня определена конкретная величина предельной растягивающей деформации, а также установлена зона внутри стержня возникновения максимальных деформаций.

Ключевые слова: критерии прочности, конструкционная прочность, натурный эксперимент, кварцевые стекла, метод конечных элементов.

Ответственные изделия из кварцевых стёкол широко используются в современных приборах и устройствах как промышленного, так и бытового назначения, и сфера их практического применения расширяется. Установлено [1–4], что на прочностные свойства огромное влияние оказывают такие факторы, как качество обработки поверхности, наличие или отсутствие поверхностных дефектов и микротрещин, наличие инородных включений, масштаб образца, наличие и величина остаточных напряжений. Единой теории, объясняющей влияние различных факторов на прочность стекла, на сегодняшний день не построено.

Проблема оценки прочностных свойств конструкций из кварцевых стекол осложняется в случае применения многокомпонентных составов (легированных кварцевых стекол), неодно-

190