1222

Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. — М.: Изд-во Моек. у.н-та, 1984. — 336 с.

В основу книги легли лекции, читаемые автором на ме­ ханико-математическом факультете. Излагаются теория эффективного модуля упругих, вязкоупругих и упруго-пластиче­ ских композитов с периодической структурой, деформацион­ ная теория пластичности для структурно анизотропных тел. Большое внимание уделено слоистым и волокнистым компо­ зитам, для которых получены некоторые точные решения и описываются эффективные методы приближенного решения пространственных задач теории упругости.

Библиогр. 117 назв. Ил. 69.

Р е ц е н з е н т ы :

кафедра механики МИЗМ, цроф. И. А. Кийко

Борис Ефимович ПобеДря МЕХАНИКА КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Зав. редакцией С. И. Зеленский Редактор А. А. Локшин

ОГЛАВЛЕНИЕ

В в е д е н и е

Прежде чем определить предмет механики композиционных материалов (или механики композитов), следовало бы ответить на вопрос: «Что такое композит?» Ответить на этот вопрос не­ просто.

Иногда композитом называют материал с неоднородными фи­ зическими свойствами (гетерогенный материал). Однако такое определение означает, что композит — это все, ибо, во-первых, однородных материалов в природе не существует, а во-вторых, если и можно выбранный материал считать в какой-то степени однородным, то легко заметить, что однородность — это очень частный случай неоднородности, а потому и однородный мате­ риал — композит.

„ В этой книге, написанной прежде всего для механиков, мы определяем композит как некую математическую модель, описы­ ваемую с помощью «разрывных по координатам материальных функций определяющих соотношений». Это определение дается только в третьей главе, а в первых двух читатель познакомится с характером определяющих соотношений и с их материальными функциями, а также выяснит, что в книге рассматривается не вообще механика композитов, а только механика деформируемого твердого тела (хотя многие изложенные в ней результаты без труда переносятся на задачи гидроаэромеханики), причем в первой главе дается и математическое определение деформируемого твер­ дого тела.

Из всего многообразия моделей деформируемого твердого тела в книге выбраны для исследования только три: упругая, вязкоупругая и упруго-пластическая (деформационная теория).

Это сделано прежде всего с методической целью, чтобы на про­ стейших примерах показать сущность описываемых методов. (В гл. 4, 7 и 9, например, рассматривается одномерная задача (стержень).) С этой же целью в книге исследуется поведение композитов только при малых деформациях.

Материал книги соответствует годовому курсу, читаемому ав­ тором на механико-математическом факультете МГУ студентаммеханикам IV курса, и содержит в основном результаты, полу­ ченные участниками руководимого им научно-исследовательского семинара. Ограниченность объема книги не позволила осветить в ней такие важные вопросы, как механика разрушения компози­

тов, теория армированных оболочек, концентрация напряжений вокруг включений.

Принятая в книге тензорная символика включает в себя как «безындексную» форму, так и «индексную». Часто одно и то же соотношение записывается в безындексной форме и тут же (в скоб­ ках) дается его «индексное» толкование. (В первых двух прило­ жениях приводятся основные сведения из тензорного исчисления.)

В книге нет описаний методик экспериментов, но дается прин­ ципиальная схема их проведения, пользуясь которой можно гра­ мотно определить физико-механические свойства материалов и получить дополнительные сведения, существенно облегчающие в некоторых случаях решение задачи механики деформируемого твердого тела для композита.

В книге имеется большое число упражнений, что у определен­ ной .группы читателей может вызвать уныние. Однако здесь все упражнения составлены «информативно», т. е. их можно и не вы­ полнять, а «принять к сведению», ибо в изложении основного текста часто упоминаются утверждения, сформулированные в уп­ ражнениях. В книге ссылок на литературу нет, но в конце каждой

ссылка на эту формулу приводится внутри третьей главы, то пер­ вая цифра в круглых скобках опускается и ссылка записывается так: (3.2). Значок © обозначает конец текста упражнений.

Автор с благодарностью примет все замечания, направленные на улучшение книги.

Г л а в а 1

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА (МДТТ)

В главе рассматриваются определяющие соотношения МДТТ в операторном виде, которые в дальнейшем конкретизируются на различных примерах. Дается математическое определение ком­ позита и модели МДТТ. Рассмотрены модели линейного упругого, вязкоупругого и упруго-пластического тела (теория малых упруго­ пластических деформаций). Дается схематическое описание экс­ периментов, необходимых для проведения расчетов по выбранной модели. Читателю рекомендуется сначала ознакомиться с прило­ жением I (и частично с приложением II), чтобы были понятны используемые в главе обозначения.

§ 1. Определяющие соотношения МДТТ

Пусть в сплошной среде задана связь между тензором напря­ жений а и тензором деформаций е (определяющие соотношения)

в виде некоторого оператора ЯГ — тензора второго ранга (см. приложение I)

Это означает, что в некоторый фиксированный момент времени t тензор напряжений однозначно определяется значениями тензо­ ра деформаций е, известными во все времена т, предшествующие

достаточно знание тензора деформаций е только в момент време­ ни t, то будем говорить, что оператор ЯГ является функцией

Если операторные соотношения (1.1) однозначно разрешимы относительно деформаций

т. е. операторы 1? и 2? являются взаимно-обратными, то будем

говорить, что задана модель МДТТ. Если оператору — линей­

ный, то такая модель называется линейной, а соответствующая среда — физически линейной средой.

Упражнение 1.1. Доказать, что если один из операторов

&или 8 является линейным, то и второй также линейный. О Функции (или константы), по которым можно полностью вос­

становить оператор & (или 8) определяющих соотношений, опи­

сывающих данную модель МДТТ, называются материальными функциями (или константами). Эти материальные функции опре­ деляются экспериментально и показывают, чем в рамках одной модели МДТТ один материал отличается от другого.

Теорию, основанную на выбранной модели МДТТ, будем на­ зывать «серьезной», если описан полный набор экспериментов для определения всех материальных функций, определяющих опе­

раторы & и 8. В противном случае теорию будем называть

«несерьезной». В этой главе мы рассмотрим некоторые конкрет­ ные классические серьезные теории.

Если материальные функции определяющих соотношений зави­

сят явным образом от координат ху то описываемая ими среда называется неоднородной. Если эти функции являются разрывны­ ми функциями координат, то неоднородная среда называется ком­ позитом (или композиционным материалом).

Соотношения (1.1) и (1.2) в случае их явной зависимости от температуры Т

где D\fy(e,h) — функциональный дифференциал оператора линейный по h — произвольному тензору второго ранга, £ — чис­ ловой параметр.

если № (0)=0 и й (0 )= 0 . с

«Касательный модуль» называется ограниченным, если сущест­ вует такое число М > О, что

Будем говорить, что «касательный модуль» — положительный, если для любого симметричного тензора второго ранга h выпол­

где т — некоторое положительное число, имеющее размерность напряжений.

Будем говорить, что «касательная податливость» — положи­ тельна, если для любого симметричного тензора второго ранга h

где п — некоторое положительное число, имеющее размерность, обратную к размерности напряжений.

Упражнение 1.3. Доказать, что «касательный модуль» и «ка­ сательная податливость» являются взаимно-обратными тензорами:

где А — единичный тензор 4-го ранга (см. приложение I). Упражнение 1.4. Доказать, что «касательный модуль» и «ка­

сательная податливость» одновременно либо неотрицательны, либо неположительны.

Упражнение 1.5. Доказать, что если «касательный модуль» положителен, то «касательная податливость» ограничена, и нао­ борот, если «касательная податливость» положительна, то «каса­ тельный модуль» ограничен. С>