1222
.pdfИз (6.6) находим модуль G12 и две комбинации других модулей. Проводя аналогичные эксперименты по растяжению образца в плоскости, ортогональной направлению Х\, а затем в плоскости, ортогональной направлению Хг, получим все необходимые упру гие постоянные. Разумеется, существует очень много других спо собов определения упругих постоянных.
Упражнение 6.1. Показать, что для определения модулей уп ругости для трансверсально изотропного материала достаточно двух образцов на растяжение.
Упражнение 6.2. Показать, что для определения модулей упругости изотропного материала достаточно одного образца на растяжение.
Для модели линейного вязкоупругого тела необходимо найти тензор функций релаксации или ползучести. Чаще определяются функции ползучести. Например, для изотропной вязкоупругой сре ды рассмотрим цилиндрический тонкостенный образец, сечение которого показано на рис. 8, причем 6«СR. При скручивании об разца некоторым моментом кручения Мкр в сечении, показанном на рис. 8, возникает напряжение оге и соответствующая ему по
закону (4.28) деформация |
его |
(см. приложение III): |
|
|
t |
|
(6.7) |
Сг0 = |
j |
П (/ — т)Ло>е(т). |
Напряжение бгв связано с Л41ф, а деформация ег0 — с тангенциальным перемещением м0, которое легко замерить на поверхности цилиндрического образца:
|
Мкр |
|
«е |
а'0 |
2П6Я2 |
’ 8л6 |
(6.8) |
2R |
|||
Полагая в (6.7) |
|
|
(6.9) |
|
<*rQ(t) |
= a % h ( t ) , |
|
где h ( t ) — единичная функция Хевисайда, получим |
|||
|
-^ Т П - = П (<). |
(6.10) |
|
°гв
Описанный эксперимент называется экспериментом на ползучесть при кручении. Аналогично можно провести эксперимент и на пол зучесть при растяжении. Полагая
P = P0h(t) |
(6.11) |
в предыдущем примере, можно найти испытанием трех образцов девять компонент тензора функций ползучести для ортотропного вязкоупругого материала. В опытах на релаксацию в виде функ-
б®\
to t
Рис. 9
ций Хевисайда задаются деформации, а. измеряя напряжения, получают тензор функций релаксации R(t).
Рассмотрим теперь процесс напряжения а (для простоты рас сматриваем одномерный случай):
G=Go[h(t)—h ( t - t 0)l |
(6.12) |
который изображен на рис. 9. Ему соответствует процесс дефор мации, изображенный на рис. 10 и вычисленный по формуле (4.6):
8(0 = 0»0 [П (0 —П (t— f0)L |
(6.13) |
Из рис. 10 видно, что в момент времени to деформация |
мгновен |
но падает, а затем медленно убывает, приближаясь асимптотиче ски к величине £«>, которая может равняться нулю. Было бы неестественным, если бы деформация после момента t0 стала воз растать. Оказывается, что поведение деформации на бесконечно сти (рис. 10) зависит от поведения функции ползучести на бес конечности (рис. 2).
Упражнение 6.3. Показать, что если на бесконечности функция ползучести (рис. 2) стремится асимптотически к прямой с тан генсом угла наклона к оси t, равным а (установившаяся ползу
честь), то величина е» на рис. 10 равна |
|
Boo = atoGo. |
(6.14) |
Упражнение 6.4. Показать, что если на бесконечности функция ползучести возрастает медленнее, чем прямая, то еоо= 0.
Упражнение 6.5. Показать, что если на бесконечности функция
ползучести возрастает быстрее, чем прямая, то есо->оо. |
0 |
|
Как следует из упражнения 6.5, если на кривой ползучести |
||
(рис. 2) |
оказывается участок неустановившейся ползучести, то |
|
при t> t2 уже нельзя пользоваться моделью линейного |
вязкоупру |
|
гого тела |
и нужно пользоваться нелинейной моделью. |
|
А. А. Ильюшин предложил ядра £ц(/) операторов g , |
(4.29) |
для вязкоупругих материалов с нерелаксирующим объемом |
(4.35) |
определять из экспериментов, показанных на рис. 11 и заключаю щихся в следующем. К пружине жесткости k последовательно присоединяется образец, имеющий длину L, площадь поперечного сечения F, модуль сжатия К. Проводится
эксперимент <на релаксацию образца, т. е. задается некоторое перемещение
u= u0h(t) |
(6.15) |
иснимаются показания силы Q(t). Упражнение 6.6. Показать, что в опи
санном эксперименте
Р Ы 0= 1 - - ^ . |
(6.16) |
«о |
|
где
причем знак плюс выбирается в случае эксперимента, схема ко торого указана слева на рис. 11, а знак минус — в случае экс перимента, схема которого изображена на рис. 11 справа (с отри цательным Q).
Упражнение 6.7. Показать, что в случае P = V2 жесткость пру жины следует положить бесконечной, т. е. проводить эксперимент на релаксацию без пружины. £)
Для отыскания материальных функций упруго-пластического тела обычно пользуются тонкостенным цилиндрическим образцом, сечение которого изображено на рис. 8 (с. 41). При малых на грузках, при которых ие наступают пластические деформации, определяются модули упругости.
При испытании тонкостенного цилиндрического образца его подвергают кручению, растяжению по оси цилиндра и действию внутреннего давления. При этом или задаются смещения (дефор мации), а снимаются показания усилий (испытательная машина кинематического типа), или задаются усилия, а замеряются де формации (машина силового типа). Иногда на одной испытатель ной машине можно проводить эксперименты того и другого типа.
Рассмотрим кручение образца. Здесь справедливы формулы
(6.8), причем |
|
|
SfQ= Ог0» С/-0 = |
&и = V 2\srQ|, Еи = 21erQ|. |
(6.18) |
Поэтому из графика зависимости а,-е~£го определяется функция Ф(еы) (5.4) или функция пластичности А. А. Ильюшина <о(еи) (5.5). При малых нагрузках (до предела текучести) находится модуль сдвига G.
Если тонкостенный цилиндрический образец находится под действием внутреннего давления р0, то
(6.19)
Остальные компоненты тензора напряжения равны нулю, за ис ключением случая, когда образец не поджимается, чтобы исклю чить осевое растяжение, возникающее под действием внутреннего равномерного давления, действующего взамкнутом цилиндре.
В этом случае еще и
|
«'«= т ви=-§-- |
(6-20) |
|
При |
как видно из (6.19), |
|
|
|
|агг|<аев. |
(6.21) |
|
Замеряются обычно деформации еве и ег2, деформацию |
ггг из |
||
мерять трудно и её считают из условия несжимаемости. |
|
||
Поэтому |
|
|
|
|
= V b f r i = V 2 V $ e + г\г + eeeei2. |
(6.22) |
|
Интенсивность тензора напряжений будет |
|
||
|
о . = |
|
(6.23) |
если имеется напряжение (6.20), и |
|
|
|
|
у Т |
PoR |
(6.24) |
|
3 |
6~' |
|
|
|
||
если напряжение (6.20) отсутствует. |
|
со (еы) . |
|
Таким |
образом, определяется кривая Ф (еи) и функция |
||
Кроме того, легко найти величины а и 0 и вычислить модуль сжа тия К.
При осевом растяжении образца силой Р
Р |
диг |
(6.25) |
|
2Ш ’ |
дг |
||
|
Остальные компоненты тензора напряжений равны нулю, а ком поненты тензора деформаций могут быть замерены. Поэтому
^ - ё Ь 8^ |
V т (е“ - 8“> |
(6-26) |
откуда находится функция Ф (еи). |
(напри |
|
В случае, если исследуются |
неоднородные материалы |
|
мер, композиты), то, вообще говоря, нельзя в образце создать однородное напряжение и деформированное состояние. Поэтому экспериментально можно найти лишь осредненные, «эффектив
ные» механические характеристики материала, но об этом речь пойдет в гл. 3.
Рассмотрим набор простейших экспериментов на ползучесть, позволяющий определить линейные и нелинейные ядра, входящие
вфизические соотношения (4.50).
а.Ползучесть при сдвиге. Для проведения такого экспери мента нужно осуществить в барокамере простой процесс нагру жения
o = o 0h(t)y Sij= s°ijh(t), s = s0h(t), |
(6.27) |
||
где h(t) — единичная функция |
Хевисайда, s0= s 0ijS°ij. |
Аналогично |
|
(4.46) введем обозначения |
|
|
|
т |
г |
n(0> = i b |
|
■ 5 - = & ( < ) . |
- 1 Г = £ Ч(0. |
n t(°) = " й " - п ч (° )= |
у - (6.28) |
Тогда при заданных напряжениях (6.27) получим две экспери ментальные кривые:
|
(0 = - ^ |
= |
п (0 |
+ |
Е («.. *ь) n t (<). |
|
|
F. .0 |
(0 = |
— |
= |
п , (0 |
+ |
Л (Сто. So) Пл (0. |
(6.29) |
a°’ ij |
|
ст0 |
|
|
|
|
|
При малых а0 |
и s°ty- |
вторые слагаемые в правой части |
(6.29) |
||||
будут пренебрежимо малы по сравнению с первыми. Поэтому, на ходясь в области линейной вязкоупругости, получим линейные функции объемной ПД0 и сдвиговой П (0 ползучести, которые не зависят ни от а0, ни от s°t/. Для больших значений сг0 и s°n,
считая П (0 |
и ПД/) |
известными, |
найдем |
нелинейные |
ядра |
ПДД |
||
и |
ПДД, а |
также функции £((j0, So), г|(ого, s0) , |
как коэффициенты |
|||||
подобия кривых |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
/ |
.(< ) - П (< ). |
Oo'sij |
|
|
|
(6.30) |
|
|
a°’sij |
|
|
|
|
||
ся |
б. Ползучесть при объемном сжатии. Этот эксперимент являет |
|||||||
частным |
случаем |
предыдущего |
(6.27) |
при |
s°,/ = 0. |
При |
малых |
|
<т0 определяем линейное ядро ПД/), а при больших — нелиней
ное |
ядро ПЛД) и функцию т](ао, 0) из экспериментально найден |
ной |
функции |
Fa. (О = m |
= п, (0 + Л(€Г„. 0) п„ (0. |
(6.31) |
||
|
|
^0 |
|
|
в. Ползучесть при |
простом сдвиге. Этот эксперимент |
также |
||
является частным случаем |
(6.27) при оо = 0. Из него можно найти |
|||
ядра 11(f), ПД/) |
и функцию 1(0, s0). |
|
||
/ |
о (/) = |
j o i 6 = n ( 0 + i(0 .s 0) n s (0. |
(6.32) |
|
|
a |
s°. |
|
|
г. Ползучесть при простом растяжении. Для такого экспери мента а п (2) =<J0i i h ( t ) , а все остальные компоненты тензора на пряжений равны нулю. Тогда имеем
а = a0fi (t), sn = -j- o°n h (t), |
s22 = |
s33 = — Y |
a ^ h (t ), |
s = s „ h ( t ) , S0 = A ( |
(JOI ) 2I |
<j0 = - i . o O . |
( 6.33) |
Находим экспериментальные функции
Ф. so (t) = Щ Р - = бп (0 + 6| (cr0, s0) Щ (0 + П, (0 + л (ст0, s0) П„ (О,
о?! |
|
|
|
|
(0 |
= - ^ 2 - = |
- ЗП (0 - |
36 (<т„, s0) Щ (t) + |
|
|
+ П1(/) + |
л(о'о.*а)Пч (0. |
(6-34) |
|
Определяем для |
малых а°ц линейные |
ядра Il(t) и Ili(tf) |
и, счи |
|
тая их известными, для больших значений а°ц получаем нели нейные характеристики.
Н Е К О Т О Р Ы Е Л И Т Е Р А Т У Р Н Ы Е У К А З А Н И Я
§1. Подробнее описание операторных определяющих соотноше ний МДТТ для изотермических и неизотермических процес
сов дано в книге [84].
§2. Постановки задач МДТТ для операторных определяющих соотношений описаны в книге [84]. Новой постановке посвя щены работы [80, 82, 83]. В работах [82, 83] указаны допол
нительные условия на операторные соотношения, при выпол
нении которых существует обобщенное решение задач А, В, |
||
а также сходятся методы последовательных приближений, |
||
построенные как обобщение известного метода упругих |
ре |
|
шений [33]. Постаановки задач МДТТ имеются также в |
кни |
|
гах [34, 35, 37, 38, 93, 95]. Термодинамика деформируемого |
||
твердого тела, а на ее основе постановка |
(и решения) |
свя |
занных задач МДТТ, в которых учитывается тепловыделение |
||
при деформировании, рассматриваются в |
[34, 44, 77]. |
|
§ 3. |
По теории упругости имеется очень большая библиография. |
|||
§ 4. |
Назовем только некоторые книги [35, 54, 55, 59, 71, 84]. |
|
||
Подробнее с линейной и нелинейной теорией вязкоупругости |
||||
|
можно ознакомиться, например, по книгам [38, 66, 92]. Мето |
|||
|
ды решения |
нелинейной вязкоупругости |
изложены в |
рабо |
|
те [78]. Вопросы определения комплексных вязкоупругих ха |
|||
|
рактеристик достаточно полно изложены в книге [112]. Дока |
|||
|
зательство |
«исключительности» модели |
Максвелла |
дано |
|
в [114]. |
|
|
|
§5. В параграфе дается краткий перечень результатов, представ ленных в книгах А. А. Ильюшина [33, 34]. Теории пластич ности посвящено учебное пособие [45]. О доказательствах существования обобщенных решений и сходимости методов последовательных приближений (метода упругих решений и его обобщений) в теории малых упруго-пластических дефор маций можно узнать из работ [78, 84].
§6. С техникой проведения эксперимента можно, например, озна комиться по книге [101]. Методика проведения экспериментов по определению физико-механических характеристик дефор мируемого твердого тела изложена в [4, 36, 64]. Схема экс периментов по определению материальных функций линейной и нелинейной теории вязкоупругости имеется в [38, 78, 84],
причем в работе [84] описывается схема экспериментального определения ядер для вязкоупругих материалов с релаксирующим объемом. Гипотеза макрофизической определимо сти сформулирована в монографии [34].
Г л а в а 2
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
В главе дается краткое описание некоторых вариационных принципов МДТТ, которые в дальнейшем будут использованы при анализе композитов.
При доказательстве теорем единственности решения краевых задач МДТТ, экстремальных свойств рассматриваемых функцио налов и т. п. определяющие соотношения среды записываются в операторном виде, причем на эти операторы накладываются не которые ограничения в виде неравенства. Для конкретных сред достаточно проверить выполнение этого неравенства, чтобы сде лать заключение о справедливости для этой среды теорем, дока занных для общих операторных определяющих соотношений.
§ 1. Принцип Лагранжа
Будем считать, что все рассматриваемые функции обладают гладкостью, необходимой для проведения используемых преобра зований, и изменяются на временном отрезке [О, £J, т. е. О Кроме того, будем предполагать наличие «естественного» состоя ния, т. е. считать, что в момент, предшествующий £=0, тензоры деформаций и напряжений вместе со всеми своими производными равны нулю.
Рассмотрим квазистатическую задачу МДТТ в перемещениях (1.2.11), (1.2.9) (задача А ).
Помножим скалярно уравнения (1.2.11) на произвольный пока
вектор и и проинтегрируем по объему V, занимаемому телом. Тог да, используя теорему Остроградского — Гаусса и статические граничные условия (1.2.9), с учетом (1.1.1) получим
( 1.1)
v
где Ле(и) — работа внешних сил на перемещении vt определяет
ся по формуле (1.2.18), a As,(и)— работа внутренних сил на за
данном перемещении v — по формуле (1.2.23).
Назовем кинематической системой произвольное векторное по
ле v (х), а статической системой — произвольное поле симметрич
ных тензоров второго ранга т (x,t). Кинематически допустимой
называется кинематическая система, удовлетворяющая кинемати ческим граничным условиям в (1.2.9).
Будем писать
v ^ U , если v\v, = u°. |
(1.2) |
Статически допустимой называется система, удовлетворяющая уравнениям равновесия (1.2.6) и статическим граничным усло виям (1.2.9). Будем писать
т е Г , если D iv x -f Х = 0 , т-/г|2, = S°. |
(1.3) |
Разность двух кинематически допустимых систем удовлетво ряет однородным кинематическим граничным условиям
v ^ U Qt е с л и у ^ ^ О , |
(1.4) |
а разность двух статически допустимых систем — однородным уравнениям равновесия и однородным статическим граничным ус ловиям
|
т е Г 0, если Divx=0, T - / I |
|2I = 0. |
(1.5) |
|
Из (1.4) и |
(1.1) вытекает, что |
для |
функции |
v (x )^ U 0 из |
(1.2.11), (1.2.9) |
следует |
|
|
|
|
$ °цЬ ц («)<& = |
A ! (V). |
|
(1 .6 ) |
|
V |
|
|
|
Из сравнения (1.6) с (1.2.15) видно, что решение задачи А яв ляется также обобщенным ее решением.
Если обобщенное решение достаточно гладкое, то оно являет ся решением задачи А.
В самом деле, решение задачи А должно удовлетворять усло виям (1.1.1), (1.2.1), (1.2.6), (1.2.9). По определению обобщенного решения выполняются соотношения (1.1.1), (1.2.1), первое из гра
ничных условий в (1.2.9). Применяя к |
тождеству |
(1.6) |
теорему |
Остроградского — Гаусса, получим |
|
|
|
J (ffiW + X,) VidV - J (0цп, - |
S?) v,d2 = |
0. |
(1.7) |
Vs*
Всилу произвольности поля V^ U Q отсюда следуют уравнения равновесия и статические граничные условия (1.2.9).
Предположим теперь, что тензор напряжений потенциальный
(1.1.4), и массовые и поверхностные силы обладают потенциалом. Тогда можно ввести «лагранжиан» L:
|
|
|
|
|
|
1 (и )= з ф (и )— Ле (и), |
|
|
(1.8) |
||||
где |
Ф |
определяется |
формулой |
(1.1.17). |
Очевидно, |
тождество |
|||||||
(1.2.15) |
можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
DL{e(u), |
s(»)} = |
D L («f v) = 0. |
|
(1.9) |
||||
|
Итак, задача отыскания обобщенного решения задачи А экви |
||||||||||||
валентна |
задаче |
отыскания «стационарной точки» лагранжиана |
|||||||||||
£(и). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно |
по |
|
|
Если соотношения (1.1.1) достаточно гладки, то |
||||||||||||
строить функциональные производные типа |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
дад |
(е(и)) = |
- ^ - ( и ) . |
|
( 1.10) |
|||
|
|
|
|
|
|
деы |
— |
ОЕЫ |
|
|
|
|
|
|
Если существуют функциональные производные (1.10) опреде |
||||||||||||
ляющих соотношений |
(1.1.1), то справедливо тождество |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ф (и2) = |
ф (%) + |
А‘ (иг— иг) + |
|
|
|
|||
+ |
f 4 |
^ |
(“ i + |
0 (“ а — %)} [е« («а) — 8 (и,)] [ег, (и2) — вц (%)] dV |
|||||||||
|
2 J |
деы |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1. Ц ) |
||
|
В самом деле, |
введем функцию числового аргумента £: |
|
||||||||||
|
|
|
|
Ц £ )*= ф & |
+ 5 ( « > - £ ) } . |
о < к |
1, |
(1.12) |
|||||
которая |
допускает на |
указанном отрезке представление |
|
||||||||||
|
|
|
|
/(1 ) = /(0 ) + |
П 0 ) + - ± - Г (ч ) . |
0 < |
г) < 1 . |
(1.13) |
|||||
|
Подставляя в (1.13) выражения, полученные из (1.12), и учи |
||||||||||||
тывая (1.1.1) |
и (1.1.4), получим |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ф (ы2) = |
ф («!> + |
j аи К ) [е, / («,) — Вц К )] dV + |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Y | |
К |
+ |
л (“ г — Ml)} [et, (и2) — еы (ц2)] |
х |
|
|||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
[е,,- (и2) — е,-; (ut)] d.V |
|
(1.14) |
||||
|
Учитывая (1.6), отсюда получим (1.11). |
|
|
|
|||||||||
|
Предположим теперь, что «касательный модуль» среды поло |
||||||||||||
жителен |
(1.1.10). Тогда |
в стационарной |
точке |
лагранжиан |
(1.8) |
||||||||
имеет |
минимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||