1222

Каждая из задач Жв(д) заключается в определении локаль­ ных функций М^+2) из решения уравнений

еш €JN l(JijpRTpRK]...Kq+n)\MN +{JIJPRT P^I..K(J+I)M 6N K (}^ +

причем имеется в виду, что величины TW выражены по формуле (8.2 2 ) через локальные функции М^>, при нахождении которых

Заметим, что выражения (8.31), (8.32) точно удовлетворяют уравнениям равновесия и совместности и, если удается точно Удовлетворить граничным условиям (8.19), то (8.31) и (8.30) яв­ ляются точным решением исходной задачи (8 .8 ) — (8.9).

Выражения (8.31), (8.30) являются приближенным решением задачи (8 .8 ) — (8 .9 ), если граничные условия удовлетворяются при­

ближенно или в рядах (8.31), (8.30) сохранены только несколько первых членов (например, рассматривается теория нулевого при­ ближения).

Н Е К О Т О Р Ы Е Л И Т Е Р А Т У Р Н Ы Е У К А З А Н И Я

§1. Метод осреднения дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами предложен Н. С. Бахва­ ловым [5, 6, 7, 8] (см. также [9, 24, 25, 26, 29, 74]). Матема­

тическое обоснование использованных разложений дано

в[115— 117].

§2. Решение статической задачи теории упругости в перемеще

азадача Б — в [89].

§4. Определение теплофизических характеристик рассмотрено например, в работах [50, 53, 86, 96].

§6. Оценка (6.64) получена в [117].

Г л а в а 5

СЛОИСТЫЕ УПРУГИЕ КОМПОЗИТЫ

До сих пор при разыскании решения задачи теории упруго­ сти В' виде асимптотического разложения по геометрическому па­ раметру а предполагалось, что этот параметр мал (т. е. велико число ячеек периодичности), и решение поставленной задачи считалось тем точнее, чем меньше параметр а. Однако не было дано ответов на вопросы: что такое «параметр мал»?, сходится ли когда-нибудь асимптотический ряд, а если сходится, то ic ре­ шению ли исследуемой задачи?, какова «точность» теории нуле­ вого приближения и от чего она зависит?

В этой главе на примере слоистых композитов сделана попыт­ ка ответить на эти и еще некоторые вопросы, как любят говорить математики, «на физическом уровне строгости».

Сначала формулируются пространственные задачи теории уп­ ругости в перемещениях и напряжениях для слоистых композитов, являющихся периодическими структурами. В явном виде выпи­ сываются выражения для эффективных тензоров модулей упру­ гости, упругих податливостей, соответствующих тензоров нуле­ вого приближения, локальных функций первого уровня, а также эффективных тензоров, характеризующих теплофизические свой­ ства слоистого композита. При этом каждый компонент компо­ зита может быть неоднородным и анизотропным.

Получено точное решение плоской задачи теории упругости о полосе с произвольной неоднородностью по одной координате при различных граничных условиях и на этих примерах выясня­ ется вопрос о точности теории нулевого приближения. Рассмат­ риваются произвольные регулярные слоистые структуры, для ко­ торых в явном виде выписываются эффективные характеристи­ ки. Как частный случай Таких структур рассматривается слоистый пустотелый цилиндр. На примере задачи Гадолина (о слоистой трубе под давлением) оценивается зависимость теории нулевого приближения (а также Первого и второго) от числа ячеек перио­ дичности. На примере неосесймметричной задачи о трубе под дей­ ст в и е локальных нагрузок выясняется характер зависимости точности теории нулевого приближения от степени локализации наГРУ3ки. По теории нулевого приближения подсчитываются на­

пряжения, возникающие в трубе, сидящей на оправке, при намот­ ке на нее композиционной ленты.

Описывается численный метод для решения пространственных задач теории упругости слоистого композита. Для некоторого сло­ истого параллелепипеда подсчитываются напряжения по теории нулевого приближения.

§ 1. Задача в перемещениях

Рассмотрим слоистый композит! Будем считать, что он состав­ лен из «пакетов», которые повторяются периодически, например, по координате хъ (рис. 15), ось х2 направ­ лена от наблюдателя перпендикулярно плоскости чертежа. Каждый «пакет», в свою очередь, может быть составлен из слоев («на рис. 15 они заштрихованы), на границе раздела которых материальные функции определяющих соотношений МДТТ, зависящие только от координаты *з, терпят разрыв по этой координате. Вну­ три слоя они являются непрерывными функ­

циями координаты х%.

Описанный таким образом слоистый композит является пе­ риодической структурой. В дальнейшем мы рассмотрим и квазипериодические структуры для слоистого композита.

Пусть, например, слоистый композит является упругим. Тогда тензоры модулей упругости С и упругих податливостей J явля­

ются периодическими функциями координаты Хз и не зависят от координат х\, х2.

Введем по правилам, изложенным в § 2 предыдущей главы,

и воспользуемся результатами ajoro параграфа. Ищем решение задачи (4.2.1), (4.2.2) в виде разложения (4.2.43)

где локальные функции N*p> зависят только от координаты £. Поэтому уравнения (4.2.18) каждой задачи Ж а (<^) являются обыкновенными дифференциальными уравнениями

где штрих обозначает производную по £.

Тогдатензор модулей упругости нулевого приближения(4.6Л2) имеет вид

1

Упражнение 1.3. Показать, что для композита, описанного в упражнении 1.1, из 21-й независимой компоненты эффективного

тензора модулей упругости отличными от нуля являются только 5 независимых компонент (как для трансверсально изотропного

материала)

Упражнение 1.4. Показать, что для слоистого упругого компо­ зита, каждый компонент которого является ортотропным, причем главнее оси ортотропии совпадают с осями координат, независи­ мых локальных функций, отличных от нуля, будет 5 и

ра модулей упругости в главных осях ортотропии, то в выбран­ ных координатах £ь £2> Ез компоненты каждого слоя s будут вы­ ражаться через C°ijki следующим образом:

Cl212 = COS2 Ф5 Sin2 Фз (Сип + C2222 — 2C?122 — 2 C1212) +

+ (OOS4 ф5 + Sin4 Ф5) C1212,

Ci 112 ~ С083фз Sin Фз (Cl 111 — C?122 — 2C1212) —

— COS Фз sin3Фз (C2222 — С?122 — 2C1212), C1222 = OOS Фз Sin3 Фз (C?ill — C1122 — 2C1212) —

— COS3 Фз sin Фз (C2222 — C?122 — 2C1212),

C1233 = cos Фз ski фз (C?i33 — C2233)1 C1323 = cos ф5 sin ф5 (C1313 — C2323).

Тогда компоненты эффективного тензора модулей упругости для такого композита будут выражаться следующим образом: