1222

равна (1.10)

(е) = е°,

(е')

= 0.

(4.10)

Поэтому

(<0 = (Сс : е) = Сс :е 0= о ° ,

(4.11)

и, следовательно, первые два слагаемых в

(4.3) могут быть кон­

кретизированы:

=

в °: Сс : е°,

А2=

2 (р) : е°.

(4.12)

Упражнение

4.1.

Доказать,

что

из

формулировки

задачи

(2.4.16), (2.4.17)

следует

< р :е') = - < е ': С ‘ :е ').С )

(4.13)

Тогда

~

<Р> = £

«аРа-

(4.14);

а = 1

Так как оценки (4.8) не должны

зависеть от

геометрии тела, то-

гда задачу

теории упругости (2.4.16), (2.4.17) для неограничен­

ной области

можно рассматривать

в силу

(4.14) как задачу о

действии

объемных источников в

упругом

пространстве. Вектор­

ное поле

и'(х), являющееся решением этой задачи, определяется

Л

=

е°: Сс : е°, Л

= 2 £

vapa : е°,

а=1

^

Я

~

(е':р )

Я

At =

= £ va (£a )a :pa. (4.15).

а=1

~

а=1

Разложим тензоры р, е, е° на шаровую часть

и девиатор:

р = -L pi + р . е = — Ы + е, 80 =

-^-е»/ + е»,

(4.16)

Ccijkl =

+ bifilk) •

(4.17)

л , = ~ 2

E“a,(^ “ ))dp“a)] ’

<4Л8>

°

(a)

— его интенсивность, т. е.

гтде ра — шаровая часть тензора ра,

Ри

plf1=

(Ра : Ра)1/2, ~Ра =

ра.----- pfj

(4.19)

а функция elf1(plf1) является

обратной

к

функции plf1 = oia)(e„a))—

— 2^eia):

^«eS*1]-».

(4.20)

elf1(plf1) = [of’(elf1) -

alf1(elf1) =

2pa [1 -

coa (elf1)] e ? 1,

(4.21)

где (oa (elf1) — функция

пластичности А. А. Ильюшина. В

частно-

сти, если композит является упругим, то в (4.21)

следует поло­

жить (Оа = 0, и поэтому

c !f1= 2ра elf1,

elf

>) =

-2(^ а1 ю

■,

(4.22)

и величина Л3 (4.18) будет равна

°2

Ra. : Ra

~1

Л3 -------S

[

Р а

(4.23)

9(Ка- К с)

2(Ра—Н-О

-1’

а = 1

Ai = К < + 2р.‘е» : е»,

А, =

»<* (-f- Р А +

2pa : *» ). (4.24)

a = l

Найдем величину Л4 для

изотропного материала. Для

этого к

уравнениям (2.4.16)

(кс + р,с) grad div и' +

рсДи = — Div р

(4.25)

применим преобразование

Фурье

(приложение

IV). Обозначая

через U(со) образ Фурье

вектора

и'(х)у а через

Р (ш) — образ

где |со |— длина вектора ш.

Заметим, что решение уравнений

(4.25) не изменится от того,

что мы к тензору р прибавим посто­

р =

£' +

(р>,

<р'> =

0.

(4.27)

Пусть

Р' (со)— образ

Фурье

тензора р'.

Умножая уравнение

(4.26)

скалярно на вектор со, получим

(о•U = i-

т -Р' •(й

(4.28)

(^+2рс)|со|2

Подставляя (4.28) в (4.26), выразим вектор U:

и = -

-[—

Yfk (k-P'-k) +

P'-kl,

(4.29)

рс |0)|

где к — единичный вектор:

Xc+\ic

i>3Kc+Pc

=

1

(4.30)

Хс+2цс

3Kc+4\ic 2( 1—vc)

Теперь

путем обратного

преобразования

Фурье к

(4.29) можно

2^4= ( Р : e’dvx=

j Р (ш): E(Z)dVo,

(4 .31)

где £ ( CD) — образ

Фурье

тензора

е'(х). Пусть

(со)— образ

Фурье Gradtt(jc). Из (4.29) видно

и

=

—

\(-лс1

P ' k ) k ( g ) k — (P' Д ) ® k]

( W, =

-+Г l

k,P'bl -

P'ikkkkj) ) .

(4.32)

Подставляя это

выражение

в (4.31)

(в

силу симметрии тензора

Система уравнений для определения

ра будет нелинейной для

упруго-пластического композита:

~

£

ВаеРе=

(4.39)

Э=1

где

Ва — |

— M l — «Ь). если а =

(4.40)

°f 1 М э. если а=£р,

лричем

7 , Л -

W

l

_ J _

(4.41)

( Р “

* £ * >

'

Р<“ > ’

если материал упруго-пластическии, и

2 (Р“в>) =

2(ца- ц с)

•

(4.42)

если материал является упругим.

проверкой, что

Упражнение 4.2. Убедиться

непосредственной

решением системы уравнений (4.37) является

(Р) =

3

\

т

(4.43)

0

1+аст

<£> =

п

е°,

(4.45)

1-\-Ьсп

где

a o J -iP T - M

" '

С

(4-46>

0 = 1

Обозначим корни

систем уравнений (4.37)

и

(4.39),

соответ­

ственно через (ра)0. (£а)о-

(Для

упругого

случая

они

собраны в

комбинации <(р)0>

(см.

(4.43))

и ((р)о)

(см.

(4.45)).

Подстав­

ляя эти корни в выражение & или А (4.1*), получим

а = -Щ - = m l + 2р£ : £ +

(-2- ((р)о> в. +

2 <(р)0> : * )

-

X

0

0.1

0 ,2

0 ,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 .8

0 ,9

KF

1

2,90

4,80

6,70

8,60

10,50

12,40

14,30

16,20

18,10

20

К”

1

1,74

2,60

3,58

4,73

6,10

7,74

9,76

12,30

15,58

20

К'

1

1,15

1,34

1,58

1,86

2,30

2,88

3,77

5,30

8,54

20

1

1,10

1,23

1,40

1,61

1,90

2,32

2,98

4,17

6,90

20

XlK2+ “

(1--Y)^2^2+

g YP2X1

К' =

Xi+

Рг—Y(-Ki—X2)

(4.58)

Ki ^X2+

g

YPij +

~ (1—Y)PIX2

K" = -----------------1------------------------------

/Ci+ —

I-I2—Y(/^i—/^2)

W =

И-2 +

■

1

6 (X 2+ 2p 2) (1 -Y )

*

Pi—[fi2

5

(3/C2-f-4jx2)|J’2

(4.59)

P" =

Pi +

■

1 -Y

1

,

_6_

(/CI+2HI )Y

p2—Pi

5

(3/Ci+4/ii)/ii

Упражнение

4.5.

Показать,

что

при

pi = p2

(тело Хилла из

(4.58)) следует К' = К"-

§ 5. Некоторые

методы

определения

эффективных характеристик

Запишем

Сцы М = {Cijki) + C jki (х),

(5.1)

[({Cijki) + Cijki) ((uk) j +

Uk,i)],j =

0,

(5.2)

({щ) +

tii) |s =

u°i,

(5.3)

где {и) — статистическое среднее искомого

поля

перемещений,

и' — соответствующие

флюктуации. Решить

задачу

(5.2), (5.3) со

случайным тензором

модулей

упругости — это

значит по задан­