1222

Максимальные касательные напряжения <713 возникают на по­

верхности заделки в точках Xi(0, 4, 0) или хг(0, 4, 1 ) (рис. 38).

Втабл. 8.1 приведены значения этих максимальных напряже­ ний, причем в скобках указывается точка, в которой достигаются максимальные нормальные или касательные напряжения.

Из табл. 8.1 видно, что с ростом коэффициента Пуассона максимальные нормальные микронапряжения компонентов уве­ личиваются.

Втабл. 8.2 приведены значения максимальных напряжений при х = 100, причем точки максимума микронапряжений имеют

тельных напряжений <ji3(1) практически не зависит от коэффици­ ента Пуассона vi и достигает максимального значения во внут­ ренней точке параллелепипеда. В более жестком компоненте (2) возникают значительные напряжения о\2-

На рис. 39—41 показаны распределения нормальных напря­

Щз и <j\2 для различных отношений модулей Юнга х и коэффици­ ентов Пуассона vi, v2. Распределение касательных напряжений

$

на; с произвольно зависящим от координаты коэффициентом Пуассона они решены в [24].

§5. Осесимметричная задача для многослойной плиты (а также цилиндра) решена в [106] предложенным там методом так называемых функциональных уравнений. Дальнейшее раз­

витие этот метод получил в монографиях [69, 70]. Подроб­ ное описание решения задачи о бесконечной неоднородной

также [76]). С задачей Гадолина можно ознакомиться, на­ пример, по книге [61], а с решением этой задачи методом осреднения — по работе [22].

§6. Общее решение неосесимметричной плоской задачи теории упругости в полярных координатах в рядах Фурье приведе­ но в монографии [98]. Там же дано решение задачи об изо­ тропном кольце, сжатом двумя сосредоточенными силами. Решение этой задачи для ортотропной среды дано в [27].

Двухслойные диски и кольца, нагруженные локальными уси­ лиями, рассчитаны в монографии [15]. Там же приведена большая библиография. Расчету многослойных конструкций посвящены монографии [11, 49]. Методом осреднения напря­ жения в многослойной трубе определяются в работе [28].

§7. С общей постановкой задачи о внутренних напряжениях в растущем теле, в том числе и трубе, получаемой намоткой, можно ознакомиться в работе [99].

§8. Численным методам в слоистых материалах посвящена большая литература. Укажем только некоторые работы [52, 69, 70, 75, 94, 107]. Указанный метод решения задачи о па­ раллелепипеде описан в [90], решению задачи о слоистом параллелепипеде посвящена работа [30].

Г л а в а 6

ВОЛОКНИСТЫЕ УПРУГИЕ к о м п о з и т ы

Для однонаправленного волокнистого композита тензор моду­ лей упругости нулевого приближения и эффективный тензор мо­ дулей упругости могут быть определены аналитическими метода­ ми теории функций комплексной переменной. При этом возмо­ жен учет условий неидеального контакта. В качестве примера рассматривается определение эффективных характеристик одно­ направленного волокнистого композита при идеальном контакте между связующим и волокном.

Кроме аналитических методов при решении задач теории упругости для композитов могут успешно применяться численные методы. Один из таких методов был описан в § 8 предыдущей главы. В этой главе на некоторых модельных задачах волокни­ стых композитов показана эффективность применения других методов: метода конечных элементов; метода, основанного на использовании матрицы А. А. Ильюшина.

Для волокнистых композитов с продольно-поперечной армировкой с помощью разностных методов, разработанных для ре­ шения пространственной задачи теории упругости, определены микронапряжения в неоднородном параллелепипеде при его рас­ тяжении и кручении.

§ 1. Однонаправленный волокнистый композит

Рассмотрим однонаправленный волокнистый композит, имею­ щий периодическую структуру и сечение поперечной плоскостью, Показанное на рис. 45. Выделенный на этом рисунке параллело­ грамм называется параллелограммом периодов. Радиус каждого волокна R, координаты осей волокон

Вторая заключается в решении неоднородной задачи теории упругости на ячейке периодичности (рис. 47) для определения локальных функций первого уровня

а по нему могут быть найдены напряжения по теории нулевого

трактуются как уравнения равновесия относительно вектора псевдоперемещений £/(Р(?) с компонентами Uh{pq):

Тогда тензор псевдонапряжений, который обозначим в отли­ чие от § 2 гл. 3 через о(Р9), связан с псевдоперемещениями зако­

Выражение тензора С в рассматриваемом случае задается формулой (1.3), причем в силу того, что ячейка периодичности, изображенная на рис. 47, не изменяется при замене медленных

т. е. задачи Жрр и Ж 12 являются задачами плоской деформации.

Для задачи Жрр имеем

После нахождения вектора псевдоперемещений U K(pp) псевдона­ пряжения найдутся по соотношениям (1.13) с учетом (1.3):

а1ДРР) = M*i> *2) б/у £/к(РР).к + И С-^1, *2) (Uim.J + ^лрр)./).

для единственной отличной от нуля компоненты вектора псевдо­