1222

торых уже находились численно. На вычисление всех компонентэффективного тензора модулей упругости на ЭВМ БЭСМ о было*

Для задачи о растяжении плоскости из указанного компози­ ционного материала (рис. 48) равномерно распределенной на» бесконечности нагрузкой интенсивностью 1 (в направлении оси Xi) были определены микронапряжения ап, 022 и 012. Их значе­

было получено решение той же задачи. Решение получено на сет­ ке с тем же числом узлов на единицу длины, что и сетка, на которой вычислялась матрица А. А. Ильюшина. В табл. 4.3 и 4.4 показаны результаты проведенных вычислений.

Сравнение показывает, что напряжения, вычисленные при ре­ шении неоднородной задачи теории упругости даже с одной

быть использован метод конечных элементов. Так, для модельно­

приближения и эффективный тензор модулей упругости. По тео­ рии нулевого приближения были рассчитаны микронапряжения в модельной задаче о растяжении плоскости, изготовленной из

§ 5. Композит с продольно-поперечной армировкой

Рассмотрим ортогонально армированный волокнистый компо­

можно выделить ячейку периодичности (DHC. 54) в виде паралле­ лепипеда с отношением сторон 1 1:2.

Чтобы решить для такого композита задачу по теории нуле­

Упражнение 5.2. Доказать, что если для задачи теории упру­ гости (4.2.1), (4.2.2) выполнены следующие условия:

мость итерационного процесса ухудшалась с ростом х и стрем­ лением коэффициентов Пуассона к 1 /2 ) .

J3 табл. 5.2 приведены результаты счета по определению ком­ понент тензора модулей упругости композита при двух различ­ ных объемных концентрациях. Коэффициент Пуассона связующе­

го vi был принят равным 1/4.

На рис. 56 приведены графики зависимости некоторых компо­ нент эффективного тензора модулей упругости в зависимости от коэффициента Пуассона связующего vi (v2 = 0,25; х = 2; R= 1). Там же пунктирными линиями изображена вилка Хашина— Штрикмана (§ 4 гл. 3)'.

По теории нулевого приближения была решена задача о па­ раллелепипеде, на границе которого заданы нагрузки

U=±i = <7^1—cos

Рис. 56.

На рис. 57 показано распределение напряжений азз(*з) по прямой вблизи *1 = 0, *2 = 0, проходящей через армирующие во­ локна. Напряжения, соответствующие решению по теории эффек­ тивного модуля, изображены сплошной линией, а по теории ну­ левого приближения — пунктирной линией. Микронапряжения всюду в 1,5—2 раза превосходят «средние» напряжения и воз­ растают в точке касания армирующих волокон.

На рис. 58 показано распределение напряжений азз(*з) по прямой вблизи *i = 0, *2 = 0, проходящей через связующее. Мик­ ронапряжения намного меньше средних. В точках касания воло­ кон они уменьшаются до нуля. Там же изображена полоса в се­ чении *2 = const вблизи *2 = 0 плоскостью, проходящей между ар­ мирующими волокнами, параллельными оси *2. Точки пересече­ ния штрих-пунктирной линии, вдоль которой показаны напряже­ ния, с линией касания волокон отмечены крестиком. В этом слу­ чае микронапряжения возрастают в местах стыка связующего с волокном. На рис. 59 показан случай, когда центральная ось пе­ ресекает сечение волокон, направленных по оси *i, по диагонали

и проходит через линию касания армирующих волокон в другом направлении. Здесь, как и в предыдущем случае, микронапряже­ ния в связующем убывают с приближением к точке касания ар­

мирующих волокон. В точках пересечения центральной оси с по­ верхностью раздела компонентов озз терпит разрыв, причем при приближении к этим точкам напряжения в волокнах возрастают, а в связующем — уменьшаются.

Н Е К О Т О Р Ы Е Л И Т Е Р А Т У Р Н Ы Е У К А З А Н И Я

§1. Однонаправленные волокнистые композиты рассматрива­ ются, например, в [16, 17].

§2. Метод функций комплексной переменной в теории упругости

подробно изложен в монографии [67]. С дзета-функциями Вейерштрасса можно ознакомиться по [1, 51]. Теория беско­ нечной системы алгебраических уравнений описана в [41]. Исследованию волокнистых композитов методами функций комплексной переменной посвящены работы [12, 13, 60].

§ 3. Более подробно изложение параграфов 2 и 3 читатель най­ дет в работе [65]. Данные табл. 3.1 взяты из работ [17, 104].

§ 4. С задачей о композите в виде «шахматной доски» можно

окомпозите с волокном квадратного сечения читатель найдет

в[32].

§5. Тензор модулей упругости нулевого приближения и эффек­ тивный тензор модулей упругости с ортогональной продоль­ но-поперечной армировкой определены в работе [19]Г Там же дано приближенное полуэмпирическое выражение для эф­ фективных модулей такого композита.