1222
.pdfВ частности, девиатор тензора напряжений а принято обозначать через 5, а девиатор тензора деформаций е через еу причем
+ |
3а = 0 == t r o = |
ак, |
(1.26) |
е = Y |
+ 5 1 0 s tr е = |
вц. |
(1.27) |
Под квадратом тензора а понимается тензор второго ранга, полу ченный скалярным произведением тензора а на себя:
(1-28)
Симметричные тензоры четвертого ранга будем обозначать С:
с = с иые1® ei ® ек® ?• |
(1.29) |
В частности, единичным тензором 4-го ранга А будет тензор, ком поненты которого выражаются через символы Кронекера в виде
Л = Т А / А я + в«А»п) |
(1-30) |
Для тензоров четвертого ранга также справедливы все описан ные типы умножений. Например,
|
|
|
С = |
aijC]iklek® |
еь |
|
|
|
|
(1.31) |
|
|
С : а = |
Ciiklaklei ® |
е;-. |
|
|
|
|
(1.32) |
|
2. |
Длина каждого вектора а является |
инвариантом |
относи |
|||||||
тельно полной группы вращения трехмерного евклидового прост |
||||||||||
ранства |
|а |. Симметричный |
тензор второго |
ранга |
а имеет |
три |
|||||
независимых инварианта, например, |
|
|
|
|
|
|
||||
\ = |
а = \та=аНу II = tra2 = aijaijy III = |
tra3 = |
a/feaft/a;7. (1.33) |
|||||||
Часто в качестве независимых принимаются инварианты |
|
|
||||||||
|
а = tra, (tra2)'12 = V a tjau = au, det|a|, |
|
(1.34) |
|||||||
где au — так называемая интенсивность тензора а. В частности, |
||||||||||
интенсивность |
тензора деформации еи и интенсивность |
тензора |
||||||||
напряжений ои определяются следующим образом: |
|
|
|
|||||||
|
eu = |
(tre2)1/2 = |
V T ^ ,, ви= (trs2) |
= |
Vsiihi- |
|
(L35) |
|||
Изотропная |
векторная |
функция b= f{a ) векторного |
аргумента |
|||||||
(т. е. функция, |
инвариантная относительно полной группы враще- |
|||||||||
311
ний и трансляций в трехмерном евклидо^м пространстве) имеет вид
Ь = Л (|а|)-а (Ь, = A t l ( \ a \ ) a i ) , |
(1.36) |
где А — некоторый тензор второго ранга, являющийся функцией длины вектора а. Если вектор а сам является функцией некото
рого параметра t (например, времени), |
а вектор Ь зависит, от |
|
значений вектора а при всех т :0 < т < ^ , |
то говорят, |
что задан |
векторный оператор f: |
|
|
b = f(a) = A(\a\) |
1 |
(1.37) |
Оператор называется линейным, если он аддитивный и одно
родный, т. е. для векторов |
и |
а2 и чисел ai и а2 |
справедливо |
|
равенство |
|
|
|
|
7 (aJOJL+ |
a2a2) = |
ajfa) + a j (as). |
(1.38) |
|
Линейный оператор |
|
|
|
|
b = |
J A (t, T ) •a(x)di |
(1.39) |
||
|
о |
|
|
|
называется невырожденным, если он разрешим относительно а: t
а = |
J В (t, г) •b (т) dx. |
(1.40) |
|
о ~ |
|
Если тензор b является изотропной функцией симметричного |
||
тензора а, то |
|
|
b = |
а0/ + а ха + а 2а2, |
(1.41) |
где ао, аь 02 — функции трех инвариантов (1.33) |
или (1-34). Тен |
|
зорная функция называется потенциальной, если существует та
кая скалярная |
функция |
W (а) |
от |
инвариантов тензора а, что |
||||||||||
|
, |
|
dW(a) |
dW |
r |
|
n dW |
|
dW |
|
|
/T .ox |
||
|
b = |
----- = -----------/ |
+ 2 -------a + |
3 ------- Q2. |
|
(1.42 |
||||||||
|
|
|
da |
di |
|
~ |
|
an - |
|
am - |
|
|
||
Из сравнения (1.41) и (1.42) |
видно, что в этом случае |
|
|
|||||||||||
actp |
_ |
1 |
даг |
дар |
_ |
|
1 |
да2 |
1 |
да.\ _ |
1 |
да2 |
(1.43) |
|
an |
— "Т |
ai ' |
аш “ |
з ai ’ |
2 |
аш ~ |
з |
ди |
||||||
|
||||||||||||||
Изотропная тензорная функция называется квазилинейной, если а.2=0. (1.44)
Как видно из (1.44), для квазилинейной тензорной функции а0 и ai зависят только от двух инвариантов. Если же квазилинейная тензорная функция является потенциальной, то из (1.42) и (1.43) следует, что ао и <ц не зависят от третьего инварианта III.
3. Пусть п — единичный вектор внешней нормали к регуляр ной замкнутой поверхности 2, ограничивающей односвязную об ласть V:
|
1%— Л/ОД-Л/ — 1, |
|
(1.45) |
||
например для шара |
|
|
|
|
|
|
= |
r = (Xkxky /*. |
|
(1.46) |
|
Тогда для гладких вектора а и тензора 6 справедлива |
формула |
||||
Остроградского— Гаусса |
|
|
~ |
|
|
J divadV = |
Ja-ndS, jD iv M V = |
Jb-ndZ. |
(1.47) |
||
V |
2 |
V |
~ |
2 ~ |
|
Поэтому для rii (1.46) справедливо |
|
|
|
||
|
|
jn ldV= 0. |
|
|
(1.48) |
|
|
V |
|
|
|
Легко доказать, используя |
(1.45), что |
|
|
|
|
(«/"/> = |
- у j ninidv = - у |
*«/. |
(!-49) |
||
|
|
V |
|
|
|
{П/П^П,) = |
-JJ- (б,/б*г + |
bikbH+ б,-,6/4). |
(1.50) |
||
4. Пусть г — радиус-вектор в трехмерном евклидовом, прост ранстве и пусть функциями
г = rQ/1, У2>У3)
задается криволинейная система координат у\ у2, у3, причем яко биан преобразования (1.51) в каждой точке отличен от нуля. Тог да можно ввести локальный базис (ковариантный)
% = К |
(1.52) |
ду1
и фундаментальную матрицу
gij = ki-kj, det|gt /|= g ^ 0 . |
(1.53) |
313
Матрицу, обратную к фундаментальной, обозначим через g<7 и введем контравариантный базис по формуле
|
|
|
(1.54) |
Тогда каждый |
вектор а(у\ у2, у3) |
может быть представлен в ви |
|
де |
|
|
|
|
а = afki = |
a}kf, |
(1.55) |
где а* — контравариантные, а а,- — ко&ариантные |
компоненты |
||
вектора а. |
Кристоффеля второго рода называются величины |
||
Символами |
|||
Г1тп (у\ У2, У3), |
определяемые следующим образом: |
|
|
rL = 4 - W |
\ |
- ^ - + - ^ — |
* ? - ) . |
(1-56) |
||
2 |
|
дуп |
дут |
ду1 ) |
|
|
С их помощью вводятся так называемые ковариаитные произ |
||||||
водные ковариантных и |
контравариантных |
компонент |
вектора а |
|||
и тензора b: |
|
|
|
|
|
|
Via's |
-^- + r V , |
(1.57) |
|
ду1 |
|
V<a/--g[----- Г?Л , |
(1.58) |
|
V>6'7 = - f r |
+ r'*bW+ |
(1.59) |
причем |
|
|
|
b |
<1И) |
В криволинейной системе координат ковариаитные производ ные компонент вектора образуют некоторый тензор второго ран га, т. е. объект, инвариантный относительно преобразований пе рехода от одной криволинейной системы координат к другой. (Частные производные компонент вектора, вообще говоря, тензо ра не образуют.)
Путем операции симметрирования по двум индексам |
|
|
а(Ч) == [a^](f/) Е= |
(ail -f- a!i) |
(1.61) |
формулу (1.59) для симметричного |
тензора Ъ можно |
переписать |
в виде |
|
|
V/6" = -7ГГ + 2r/*fc,)* |
(I-62) |
Аналогично (1.61) вводится операция альтернирования по двум индексам
avn = lan h n = - ^ ( ац — аи)- |
(I-63) |
В частности, для того, чтобы тело, в котором введены криволи нейные координаты у *, у2у г/3, принадлежало трехмерному евкли дову пространству, необходимо выполнение условий
[ т р - ^ + г ' Ч . Г 0' |
О'61’ |
Если криволинейная система координат является ортогональной, то
g '1 = g n = 0, если £ Ф j ; V g aa = llV g a a . |
(1.65) |
Физическими компонентами вектора Ь или тензора а в орто гональной криволинейной системе координат называются величи ны bfi, а4*//, отнесенные в каждой точке к ортонормированному
базису
Ь% = bal)fg a a — Ь gaa, |
(1-66) |
4 * = a*elVg^g»» = a“ p V ga«gw = 4 \[ |
g pp |
f |
П р и л о ж е н и е II
Симметричные тензоры четвертого ранга
Рассмотрим два взаимно-обратных тензора |
четвертого ранга С |
и J. |
|
С : J = J : С = A |
(II.1) |
[CliklJklmn ~ JiiklCklmn = ~ №/и»б/л + |
birfiim)j • |
|
Оба тензора обладают следующей симметрией: |
|
|
С ц ы — Cjiki — С nik = |
С/ип* |
( 4 - 2 ) |
Л/м = Л ш == Л /'/fe = |
Л*,/» |
|
так что в самом общем случае имеют 21 независимую компонен ту.
Подобно тому как всякий симметричный тензор второго ранга
а может быть разложен на шаровую часть а/ и Девиатор а (см.
приложение I), тензор четвертого ранга С, обладающий симмет рией вида (II.2) может быть представлен в виде комбинации двух симметричных тензоров второго ранга а и Ь, а также тен
зора четвертого ранга п, имеющего в самом общем случае |
де |
|||||
вять независимых компонент и поэтому называемый нонором: |
||||||
Сцы = |
б |
, |
4- -уу (3b — а) (б/Л6/, 4~ б{fijk) 4- |
|
||
+ |
+ atfiki) ------ |
— (Ьц Ьы 4- б / А |
/) |
|
||
------ --- |
(aikbji + |
a / A f t + |
а / А * 4- Qjfiik) |
4- |
|
|
4- -у- (btkbji 4- btlbik 4- bj/fin 4- bjfiltl) 4- |
|
(H-3) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
aii = |
Cijkfiki — |
ai i » Q^ati> |
( ^ - ^ ) |
|||
bii= Cikil6 ^ |
= |
— bbt j 4 - btj, |
|
( H - 5 ) |
||
а нонор п удовлетворяет тождествам |
(Н.б) |
|
ntikfikt = Ot |
nim6/Л=0. |
|
Точно так же можно разложить и тензор J: |
|
|
Jllkl = I F ^ р ~~^ |
(3q— P) |
+ 6,/6/Л) + |
+ -y^uPki + &kiPи) — |
j- (ЬцЯи + ЬыЯц — |
||||
Y |
(P t^ ii + Pifiih + Pitfiu + Pifit к) + |
||||
+ ~ |
|
+ Яifijk + <7/А/ + Я/f i i k ) + N t j kh |
|||
где |
|
|
|
|
|
P a = |
Jijkfiki |
+ — p b i i + P a , |
p ^ p u , |
||
|
|
|
JO |
— |
0 |
4 i i = J ikifiki |
= — |
+ Яи* |
Я = Я и * |
||
а нонор N удовлетворяет тождествам |
|
||||
|
N t jk f ik i |
— 0 » |
N n k fijk = |
Q. |
|
Между тензорами а |
и р |
существует зависимость |
|||
|
J |
о о |
_ _ |
|
|
|
“ а Р + a t i P i i = a ii P i i — 3 , |
||||
(П.7 )
(11,8)
(II.9 )
(11.10)
(Н.11)
хотя они, вообще говоря, взаимно-обратными не являются. Выберем в качестве девяти компонент нонора следующие:
^1111» |
^2222» |
^1122* |
|
Л1112» ^1113* ^2212» |
(Н.12) |
||
^2223» ^3313* ^3323- |
|
||
Остальные компоненты (с учетом симметрии (II.2 )) выражаются через них следующим образом:
Я3333 = |
^1111 |
^2222 Н- 2^1122* |
|
ЯцЗЗ = |
П1313 = |
(^1111 |
^1122)* |
^2253 = |
^2323 = |
(^2222 "Ь ^112г)» |
|
^1212 = |
Л1122* |
|
(11.1 3 ) |
|
|
||
^2213 = |
^1223= |
(Л1113 “Ь Л3313). |
|
^3312 = |
^1323= |
(Л1112 “Ь Л221г)* |
|
Л11|8 = |
Я121з= |
(^2223 “Ь П 332з)- |
Обозначим компоненты тензора С для ортотропного случая в- главных осях анизотропии
^ 1111 |
= |
^ 1 » |
^ 2222 = |
^ 2 » ^ 3333 |
“ |
^ 3 ! |
|
|
^ 1122 |
= |
^ 4 » |
^2233 |
= |
^ Б * ^ 1133 |
= |
^ в > |
(11.14) |
^ 1212 |
= ^ 7 » ^ 2323 |
— ^ 8» ^1313 |
— ^ 9 ' |
|
||||
так что матрица (1.3.10), соответствующая этому тензору, имеет вид
|
Х2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
[С] = |
А,3 |
0 |
0 |
0 |
(11.15) |
|
2Х7 |
0 |
0 |
||
|
|
|
|||
|
|
|
2Х9 |
0 |
|
|
|
|
|
2Х8 J |
|
Для трансверсально изотропного случая в (11.14) и (11.15) нужно положить (главная ось трансверсальной изотропии — хз):
Xl = Х2= Х4+ 2^7,
(11.16)
Яб= Хб, Xe= Хд,
а для изотропного случая к (11.16) добавляются соотношения
Хб= Х4 = Х, Хд = Х7=р,
(11.17)
Х3= Х4+ 2X7 = X+ 2р.
Для ортотропного случая симметричная матрица [а], соот ветствующая тензору а, имеет вид
/Х4 + Х4 + Хв |
|
о |
0 |
\ |
(11.18) |
[а] = | |
Х2 + Х4 + Х5 |
о |
I, |
||
|
|
^3 + |
кь + |
^в, |
|
так что a = tr а: |
|
|
|
|
|
а— X) + Хг+ Хз+ 2X4+ 2 X5+ 2 Хб. |
|
|
(11.19) |
||
Матрица [6 ], соответствующая |
тензору Ь, в ортотропном |
случае |
|||
запишется в виде |
|
0 |
0 \ |
|
|
/Х4 Х7"f- Х9 |
(11.20) |
||||
М= ( |
Х2+ Х7+ Х8 |
0 |
. |
||
\ |
|
+ |
^-8 + |
^9/ |
|
Поэтому для b= tvb имеем |
|
|
|
|
|
b — Хх + Х2 + |
Х3 + 2Х7 -f 2Х8 + 2Xe. |
|
|
||
Для ортотропной среды нонор имеет только три отличные от нуля независимые компоненты
л11и = (8^i + ЗА 2 + ЗА 3 — 8А 4 + 2А 5 — 8А 6 — 1бХ7 4- 4А 8 — 16А 9),
Л2222= — (ЗА,! + 8Я2+ ЗА,3—8А,4—8А,б+ 2А,6—1бА,7—1бЯ8+ 4Л9),
лпм = ~^г (— 4А ! — 4Я2 + А3 + 9А 4 — А5 — Хв + 18А.7 — 2А 8 — 2Лв).
(11.21)
Для трансверсальной изотропии в (11.18) — (11.21) нужно вос пользоваться соотношениями (11.16). В частности,
«и= Оя= |
(-а,+ 2Я,4- Я5+ 2*,), |
(II.22) |
||
азз = |
|
(?-з' |
(2Я7), |
|
|
а — А3 -f- 4А 4 + |
4А 5 + 4А 7, |
(11.23) |
|
= |
^22 = ~ |
(— А3 + |
А4 4- ЗА 7 — Аэ), |
|
Ь33 = |
2641 —; |
(А,3 |
Х4 — ЗА,7 + Я9), |
(11.24) |
|
Ь= А.3 + |
2А,4 + |
6А,7 + 4кд. |
(11.25) |
Для трансверсальной изотропии существует единственная отлич ная от нуля независимая компонента нонора:
^ii22 = “j r (X. + А4 — 2А 5 + 2А.7 — 4А 9), |
(11.26) |
ибо
^1111 “ ^2222 3^1122* (11.27)
Для изотропной среды все компоненты нонора тождественно рав ны нулю, тензоры а и b являются шаровыми, причем
а = 3(ЗА,+ 2ц), A = 3(X + 4|i). |
(11.28) |
С помощью представлений (II.3) и (II.7) можно ослабить ог раничения, накладываемые на компоненты тензоров С и J при доказательстве положительной определенности этих тензоров. Например, чтобы выяснить условия, при которых
7 в CijkieijEki ^ 8» |
(11.29) |
где С — произвольный симметричный тензор, нужно тензор б разложить на шаровую и девиаторную части, а затем восполь-
зоваться представлением (II.3). При |
этом |
следует |
иметь в виду |
||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
«S3 = — (еи + е2г), |
еп |
= |
ги — у |
Щ ,, в = |
(11.30) |
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
I = — б2 н----— (36 — а ) (е \\ |
+ |
6 22 |
+ |
^1 1 ^ 2 2 + е \2 + |
^13 + £23) + |
||
+ —0[^11( 2 ° Ц + а 22) |
+ ^22(2^22+ ап)] +~ {(36ц— |
||||||
— 2ап ) (е \2 — 4з — ^22 — 2 еп е22) |
+ (3622 — 2а22) (£12 — £?з — |
||||||
£ц 2£n e22) "I" 2 ЦЗЬ1Я |
2а12) {в1Хе12 + в12е2з + |
||||||
~Ь ^1з^2з) + (З613 |
2а13) {в12в2з |
^13^22) “I- (З623 |
|||||
— 2а23) (е12е13 — епе2^\) + л1Ш (4е\\ + е\2 +
+ 4 еп е22 — 4 е2э) + л2222 (4^2 + |
е п + 4 еп е 22 — |
||
— 4^2з) + tl1122(^e2\\+ 4f?22 + |
10^11^22 +4^12 — |
||
— 4в)з — 4^2з) + Я1111 (0вп ^ 12 + 2£ 22£ 12 — 4е13е23) + |
|||
+ ^шз (4^11^13 — 2 е22е13 |
4е12е23) + ^2212 (^^11^22 + |
%ei i ei2 |
|
4 е13е23) |
+^2223(4^22^23 |
|
|
— 2 еп е 23 — 4е12е13) — Л3313 (6в22в13 + 4 е 1 Хе13 + 4е12е2з) |
|||
^ззгз (^ 1 1 ^ 2 3 “Ь 4е22г23 |
+ 4 е 12е 13) . |
(11.31) |
|
Для выяснения условий, при которых /> 0 , нужно выражение (11.31) записать в виде суммы полных квадратов. Одно из усло вий, при котором справедливо неравенство, устанавливается сразу: