1222

где постоянные векторы агопределяют период структуры. Не

ограничивая общности, векторы а* можно направить по осям ко­

размер неоднородности, например наибольшая из компонент век­ торов а*. Тогда, совершив преобразование

па— произвольные целые числа. Как и прежде, мы будем предпо­ лагать, что I много меньше характерного размера тела (компози­ та) и что можно ввести безразмерные координаты, отнесенные к

Будем считать, что тензор модулей упругости С зависит от быст­

рых координат £ и обозначим производные по координате £* чер­ той перед индексом, оставив запятую для обозначения производ­

ной по медленной координате х{. Дифференциальный оператор V ,

который относится к медленным координатам х, будем обозначать

через V ', если он относится к быстрым координатам £:

(2.2) в виде асимптотического разложения по малому параметру а, используя технику осреднения, описанную в предыдущем пара­ графе.

а также второго градиента перемещений

+NlZjkfLk^ \l\(l)^i,kl...kq+1n (x) +

+Nmitl.lkq+1 \n(I) VjA-.-kq+11 (x) +

+Nm]ki...kq (l)Vj,ki...kqZn] ) *

В(2.14) считается, что все локальные функции отрицательного уровня тождественно равны нулю, кроме того, равны нулю сред­ ние значения локальных функций положительного уровня

Условие (2.15) ликвидирует некоторый произвол*) в выборе ло­ кальных функций, которые в регулярных структурах будут непре­

рывными, и проясняет смысл векторного поля и, ибо после усред­ нения (2 .П ) имеем

Подставни разложения (2.11), (2.13), (2.14) в уравнения равно­ весия (2 *8 ). получим (в индексной записи)

оо

J ] aQ{Ciiml\i [Nmrtki)..kq+2\lVn,kt---bq+2+

Q=—1

С теМ Чтобы свести задачу (2.1), (2 .2 ) к задаче однородной теории упругости, приравняем в (2.17) коэффициенты при каждой

* Уел0*11* единственности для локальных функций будут сформулированы ниже.

Г~

где nr — единичный вектор внешней нормали к границе ячейки периодичности, а для того, чтобы можно было единственным спо­ собом отыскать решение уравнения (2.18) для (^ + 2 ) -го уровня, непрерывное и периодически продолжимое, считая, что все локаль­ ные функции уровня ниже q+ 2 таковыми свойствами обладают, нужно, чтобы левая часть (2.24) обращалась в нуль, т. е.

( £ (,+,,+ c-£/«>) = h<*>

£tfhW : d<*+2h>+ X = О

<7=0

<7=0

а граничные условия (2 .2 ) — в виде

Для решения задачи (2.27), (2.28) воспользуемся методом малого параметра, который заключается в том, что решение за­

дачи v ищется в виде асимптотического разложения по малому параметру

Р = о

Заметим, что метод осреднения, основанный на разложении (2.9), существенно отличается от широко применяемого в механике и физике метода малого параметра (или метода возмущений) (2.29). При применении метода малого параметра величина, стоящая в разложении при этом параметре (например, относительная раз­

ность между модулем упругости некоторого компонента компози­ та и «средним» модулем), считается малой величиной. Поэтому и решение, разыскиваемое этим методом, должно в некотором смысле мало отличаться от решения исходной задачи. В методе осреднения (2.9) все обстоит иначе. Здесь модули компонентов композита могут как угодно отличаться от средних модулей, лишь бы исследуемое тело было составлено из достаточно большого чис­ ла ячеек периодичности.

Подставляя (2.29) в уравнения' (2.27) и граничные условия (2.28) и приравнивая выражения при одинаковых степенях а, получим рекуррентную последовательность задач однородной тео­ рии упругости

где обобщенные входные данные для каждой задачи (2.30), (2.31) (задачи Да (р ), Р= 0, 1, 2, ...) определяются по рекуррентным фор­ мулам

Если помножить левую и правую часть (2.13) на тензор мо­ дулей упругости, осреднить результат, воспользовавшись форму­ лой (2.26), то получим

<tf> = £ a,h<«) : а<«+» v

0=0

00

Я= о

Пусть теперь нам требуется определить эффективные модули композита, для которого решается задача (2.1), (2.2). Согласно методике, изложенной в § 1 гл. 3, для этого нужно решить урав­ нения (2 .1 ) без объемных сил со специальными граничными усло­ виями (3.1.7)

Задаче (2.1), (2.36) соответствует задача для однородного тела, решение которой имеет вид

Поэтому все градиенты вектора перемещений v выше первого тож­ дественно обращаются в нуль, и мы получаем из (2 .3 5 )

Сравнивая этот результат с (3.1.29), заключаем, что эффективные модули теории упругости нулевого уровня и есть настоящие эф­ фективные модули упругого композита

Заметим, что для отыскания эффективных модулей не обязатель­ но знать локальные функции первого уровня. Для этого достаточ­

к решению двух рекуррентных последовательностей задач. Пер­ вая из них (задачи Да (р ), Р= 0, 1, ...) заключается в многократ­ ном решении краевой задачи (2.30), (2.31) по теории эффектив­ ного модуля. Входные данные для решения задачи JXA (P) форми­ руются из решения задач Да (О, г=0> 1» 2 , ..., р— 1 . Результатом

решения каждой задачи служит вектор w<p); комбинация этих век­

торов (2.29) представляет собой усредненный вектор v исходной задачи. Решение этой исходной задачи (2.1), (2.2) получается на

вой, а для нахождения единственного решения используются усло­

Упражнение 2 .2 . На основе разложения (2.43) провести осред­ нение задачи (2 .1 ), (2 .2 ), используя вариационную постановку Лагранжа (2.1.9).

§ 3. Статическая задача теории упругости в напряженяих

Рассмотрим линейное неоднородное упругое тело (композит), для которого связь между тензорами деформаций е и напряже­

ний а имеет вид (1.3.2)

где Jijmn — компоненты тензора четвертого ранга упругих подат­ ливостей, зависящих от координат. Пусть задано упругое одно­ связное тело, занимающее область V с замкнутой границей 2. Тогда статическая задача теории упругости в напряжениях (зада­ ча «Б») заключается в решении шести дифференциальных урав­ нений относительно шести компонент симметричного тензора а

(1.2.28):

при выполнении шести граничных условий на 2 (1.2.27):

Здесь Eijk — компоненты тензора третьего ранга, симметричного по первым двум индексам:

причем величины С;/тПй и Вцтпм вычисляются по формулам:

где X — вектор объемных сил; 5° — вектор поверхностных сил; 1и — компоненты симметричного тензора-константы; Ra — ком­ поненты симметричного произвольного положительно определен­

ного тензора, зависящего, вообще говоря, от координат, ^-вектор:

Тензор У определяется по заданным объемным силам (1.2.29):

Заметим, что все величины, снабженные верхним индексом, обра­ зуют тензор (4+ <7)-го ранга.

Приравняем теперь QW некоторым тензорам-константам К(,):

где тензоры HW определяются через заданные тензоры К(<7+2) по формулам (3.9), в которых вместо J нужно подставить Н<?), а вме­

в моментной теории упругости для однородных сред. Задачу тео­ рии упругости в напряжениях для средних величин можно сфор­ мулировать в виде

вместо деформаций подставлены их средние значения по форму­ лам (3.23), причем выполняются граничные условия (3.3).

Таким образом, исходная задача теории неоднородной упруго­ сти (3.2), (3.3) сведена к задаче (3.24), (3.3) моментной теории однородной упругости. Для решения задачи (3.24). (3.3) вос­ пользуемся методом малого параметра. Ищем решение в виде

Подставим это выражение в соотношения (3.24), (3.3) и, прирав­ няв величины при одинаковых степенях а, получим рекуррентную последовательность задач теории упругости для анизотропной однородной среды (задачи Д б (р), р = 0, 1 , 2 , ...):