1222

В силу

того что оператор & {г, х)

имеет

положительный

«каса­

тельный модуль», а оператор &р{ъ), а значит

и &р(р),

в

силу

предположения — отрицательный касательный

модуль,

то

нера­

венство

(4.43)

очевидно, а

потому

справедливо неравенство-

(4.39)

, чем и заканчивается доказательство утверждения

2.

Упражнение 4.5. Доказать, что для упругой среды, когда опе­

ратор

^ (в , х)

имеет вид

(е,

х) =

С(х):е,

(4.44>

функционал (4.22) выражается следующим образом:

<f =

Д - j [tf7: е' + 2р: ег + р: е ' — р: У : p]dV,

(4.45)

V

где

Л'»— [С^]—», СР = С — СС.

(4.46).

Упражнение 4.6. Показать, что для упругой среды функционал

(4.40) имеет максимум, если

С*< С(х),

(4.47>

и минимум, если

Сс >С(х).

(4.48>

Упражнение 4.7. Доказать, что для упруго-пластической сре­

ды, когда оператор & (е, х)

имеет вид

& (е, х) =

s +

ст/,

s = q“ (e"'* ) е,

в =

К й

е,

(4.49)

w (р) =

------------------- +

f eu (pu, х) dpu,

(4.50>

IS (К й - X е)

у

где ев (Р«> х) —функция,

обратная к функции

Ри(®и. х) = (Г„ (е„,х) — 2р% ,

ец(р„, *) =

[cf„(е„, х) — 2|»ceJ_1. P = tri>.

Pa = t r ( p - - l - p / ) 2

(4.51 >

Кс <

К (х),

^ < ц Й

[ 1 -

со (е„, х ) ------dM(dee“J-v)-

е, ],

(4.52)

где со(еи, х)

— функция пластичности Ильюшина, и минимум, если

К с>

К (*),

ti'> Ц (X) [ l -

0) (е„, х ) ------da,^ ’ x)

виj •

(4.53)

Н Е К О Т О Р Ы Е Л И Т Е Р А Т У Р Н Ы Е У К А З А Н И Я

§

1, § 2. Вариационные принципы теории

упругости

имеются

по­

чти в каждом

учебнике по теории

упругости,

например

в

[58, 71]. Вариационный принцип Лагранжа для

теории

ма­

лых упруго-пластических деформаций изложен в [33], вари­

ационные принципы теории вязкоупругости имеются в [92].

Вариационные принципы для определяющих соотношений в

$

операторном виде описываются в [84].

84],

3. Новый

вариационный

принцип описан в работах [83,

причем в работе [83] имеется ошибка, в результате которой

теоремы пункта 4 нельзя считать доказанными.

перемещениях, т. е. три уравнения

(1.2.11)

относительно трех пе­

ременных щ:

& / . /( « ) =

О

(1.6)

(без массовых сил) при выполнении трех граничных условий

ЩU = е?,х,-,

(1.7)

щенное решение задачи (1.6), (1.7)

(задачи

А) единственно. Тог­

да, найдя решение и(х)у по соотношениям Коши

находим тензор

деформаций е(х)

и по формуле

(1 .1)— тензор напряжений

а(я),

а также средние по объему этих тензоров

~

<е> =

-L j е й

dV,

<tf> =

J в(х) dV

(1.8)

V

V

Упражнение 1.1. Доказать, что из соотношений

Коши (1.2.1) и

теоремы Остроградского— Гаусса следует, что

= ~ W ^ u‘ni + uini)<®-

(1-9)

2

Упражнение 1.2. Доказать, что из формулы (1.9) для гранич­

ных перемещений (1.7) справедливо равенство

<б) =

е».

С

(1.10)

Из формулы (1.10) вытекает, что решение сформулированной

выше задачи А каждому тензору е° ставит

в соответствие

тензор

< а > . Закон, по

которому

осуществляется

это

соответствие, и

(а) = /(£ » ).

(1.11)

Рассмотрим теперь

квазистатическую задачу МДТТ в напря­

жениях (без массовых

сил), которая заключается в решении ше-

3*

67

кие скалярные

операторы № (е, х) и w(cf, х), что

выполняются

условия (1.1.4)’

~

ЗЩе, х)

~

dw(a, х)

(1.19)

^ (е ,х ) =

=—

де

— ,

8 (о ,х ) =

— =------

------

-----

да

Кроме того, согласно (1.1.17)

Ф(е) =

] W(e, x)dV==V (W(e, х)),

( 1.20)

Ф (cr) =

J* w(а, х) dV = V {w(а, х) ) ,

~

v

~

~

где V — объем, занимаемый телом

(композитом).

Обозначим

(W7 (в, я)) = № 0« е )),

( 1.21)

(ку(а, х)> = ш 0(<а>).

Из сравнения

(1.19)

и (1.3), (1.4) видно, что

< #(*.*)>

=

= / « ! ) > .

( 1.22)

idW{ej7)

v _ а г 0((е>)

'

де

•

д(е)

0.23)

I dw(a, х)

\

dw0((<y))

'

да\

'

а(а)

W0 + w0= (а: е). с

(1.24)