1222

Для определяющих соотношений линейной теории вязкоупру­

Дать конкретную запись эффективных определяющих соотно­ шений для упруго-пластического тела труднее. Об этом речь пой­ дет в гл. 7.

§ 2. Теория эффективного модуля

Поставим в соответствие каждой неоднородной среде (компо­ зиту) с определяющими соотношениями (1.1), (1.2) однородную среду, описываемую определяющими соотношениями (1.3) и (1.4).

Тогда каждой краевой задаче МДТТ с определяющими соот­ ношениями (1.1), (1.2) соответствует краевая задача МДТТ для однородной («размазанной») среды с определяющими соотноше­ ниями (1.3) или (1.4).

^Теория, основанная на решении задачи МДТТ для «размазан­ ной» среды вместо исходной задачи для неоднородного тела, на­ зывается теорией эффективного модуля (этот метод был прежде всего предложен для решения задач об упругих композитах).

Для решения задачи теории эффективного модуля необходи­ мо знать эффективные определяющие соотношения, которые на­ ходятся экспериментально или теоретически. Во втором случае Для этой цели требуется решить задачи МДТТ (А и Б), описан­ ные в предыдущем параграфе. Получить аналитическое решение этих задач удается только в простейших случаях. Применение численных методов, вообще говоря, не позволяет найти аналити­

Для каждой краевой задачи МДТТ существуют какие-то опера­ торы, связывающие средние деформации по компоненту а с средними деформациями по всему объему, занимаемому компози­ том. То же относится и к напряжениям

центрации. Если эти операторы стали бы из каких-то соображе­ ний нам известны, то мы бы сразу получили эффективные харак­

Сравнивая выражения (2.10) и (1.3), находим эффективные опре­ деляющие соотношения

Хотя операторы Аа (2.8) и Ва (2.9) заранее неизвестны, мож­ но, принимая некие гипотезы относительно этих операторов, по­ лучать приближенное выражение для эффективных определяю­ щих соотношений.

Пусть, например, требуется решить квазистатическую задачу МДТТ в перемещениях (1.2.11), (1.2.9):

т. е. найти вектор функцию перемещения иу решая векторное уравнение (2.14) при удовлетворении граничным условиям (2.15). По теории эффективного модуля мы ставим в соответствие зада­ че (2.14), (2.15) задачу

Приближенный подход (3.1) для определения эффективных опре­ деляющих соотношений называется подходом Фойгта, а сами определяющие соотношения (3 .2)— определяющими соотношения­ ми Фойгта У (е). Если для каждого компонента композита «каса­

тельный модуль» положителен, то он будет положителен и для определяющих соотношений (3.2). Скалярный оператор, соответ­ ствующий определяющим соотношениям Фойгта, обозначим через WF (WF(0) = 0). Тогда

В самом деле, из вариационного принципа Лагранжа следует, что из всех кинематически допустимых систем действительная от­

(1.7). Но таким же граничным условиям удовлетворяет и одно­ родная Деформация (3.1), а потому вектор перемещений, ей соот­ ветствующий, является кинематически допустимой системой, отку­ да и следует (3.5).

Предположим теперь, что в композите, каждый компонент ко­ торого описывается однородными определяющими соотношениями

~а=1

Приближенное определение эффективных определяющих соотно­ шений, основанное На предположении (3.6), называется подходом

компонента композита. Обозначим скалярный оператор, соответ­ ствующей соотношениям Рейсса (3.7), через wR {wR(0) = 0):

dwR(a)

В самом деле, из вариационного принципа Кастильяно следует, что из всех статически допустимых систем действительная отли­

эквивалентности задач Б и В является статически допустимой си­ стемой, откуда и следует (ЗЛО).

Неравенства (3.5) и (3.10) играют большую роль при иссле­ довании упругих композитов. Используя их, можно получить так называемую «вилку» Фойгта— Рейсса, т. е. ограничения сверху и

где Ca — тензоры модулей упругости a-го компонента композита, Н* — тензор упругих податливостей Рейсса, т. е. тензор, соответ­

зита. Пусть тензор четвертого ранга hR является обратным по от­ ношению к Ня:

Упражнение 3.2. Показать, что для двухкомпонентного упру­ гого композита, каждый компонент которого является изо­

Упражнение 3.3. Показать, что для двухкомпонентного упру­ гого композита, каждый -компонент которого является изотроп­ ным с модулями сжатия

модули сжатия по Фойгту KF и Рейссу KR выражаются следую­ щим образом:

Упражнение 3.4. Показать, что вилка Фойгта — Рейсса в усло­ виях упражнений 3.2 и 3.3 изображается в виде

Упражнение 3.5. Показать, что для двухкомпонентного вязкоупругого композита, каждый компонент которого является изо­ тропным с нерелаксирующим объемом, для модуля сжатия вы­ полняются неравенства (3.28), где^/Сн и KF определяются в (3.26),

а для оператора вязкоупругости ю* с эффективным ядром со*(/) выполняются неравенства

Упражнение 3.7. Показать, что для упруго-пластического ^-компонентного композита, каждый компонент которого описы­ вается модулем сжатия Ка и функцией зависимости интенсивно­ сти тензора напряжения от интенсивности тензора деформации

Упражнение 3.8. Показать, что зависимость KF и KR от у мо­ жет быть изображена графически в виде рис. 12 для случая Ki> > К 2, причем эффективный модуль К* лежит в заштрихованной области (вилка Фойгта— Рейсса).

§ 4. Вилка Хашина— Штрикмана

Вилка Фойгта— Рейсса для многих упругих композитов оказы­ вается достаточно «широкой» (см., например, рис. 12). В ряде случаев эту вилку можно несколько сузить, если воспользоваться вариационным принципом, сформулированным в § 4 гл. 2. Для этой цели рассмотрим функционал (2.4.22), который можно за­ писать в виде

упругого тела, находим Аи Л2> Аз как функции от тензора поляри­ зации р. Для того чтобы Ал выразить в виде функции от р, нуж­

но найти е' из решения задачи (2.4.16), (2.4.17). После этого не­ обходимо "найти экстремум функционала А(р, Сс), который зави­ сит от тензора Сс как от параметра.

Согласно вариационному принципу Хашина— Штрикмана экс­ тремальная точка этого функционала будет точкой максимума, если

Если каким-либо образом определены эффективные опреде­ ляющие соотношения исследуемого композита (взаимно-обратные операторы ? и g)

эффективного модуля, т. е. с теми же входными данными, что у

где индекс min означает, что экстремум соответствующих функ­ ционалов вычислен при условии (4.5), а индекс шах — что экстре­ мум этих функционалов берется при условии (4.4).

Рассмотрим р-компонентный композит, каждый компонент ко­ торого имеет определяющие соотношения (2.1), и предположим, что граничные условия (2.4.2) и (2.4.5) краевых задач, рассмат­ риваемых в § 4 гл. 2, имеют вид (1.7), т. е. такой, какой мы вы­ бирали при определении эффективных определяющих соотноше­ ний. Если бы мы смогли решить точно задачу (2.4.1), (2.4.2) при

также, что для задачи (2.4.1), (2.4.2) средняя деформация будет