1222
.pdfV |
V |
0 |
0 |
0 |
|
~Ё |
~Е |
||||
|
|
|
|||
|
V |
0 |
0 |
0 |
|
Е |
1Г |
||||
|
|
|
|||
|
J _ |
0 |
0 |
0 |
|
|
Е |
||||
IJ] = |
|
|
(3.22) |
||
|
1 |
0 |
|||
|
|
0 |
|||
|
|
2G |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
2G |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
G j |
Заметим, что матрицы (3.20) — (3.22) можно записать и в компо нентах Jijkt- Для этого нужно в соответствующих матрицах (3.10), (3.12) и (3.15) заменить букву С на букву J, причем вместо (3.14) будем иметь
У — Л 122» W — ~ W im — ^uaa)• |
(3.23) |
Упражнение 3.8. Доказать, что матрицы [С] и [/], описываю щие один и тот же вид анизотропии (т. е. матрицы (3.10) и (3.20); (3.12) и (3.21); (3.15) и (3.22)), являются взаимно-обратными*):
[С ][/]= [/][С ]= [/], |
|
(3.24) |
где [/] — единичная матрица. |
(3.24) и |
(3.3) равно |
Упражнение 3. 9. Доказать, что условия |
||
сильны. 0 |
теории |
упругости в |
Статическая (квазистатическая) задача |
напряжениях (задача Б) заключается в решении шести обобщен ных уравнений совместности (2.28) или (2.26) (куда следует под ставить выражение деформаций через напряжения по формуле (3.2)) относительно шести независимых компонент симметричного тензора напряжений а при удовлетворении граничным условиям
(2-27). |
|
уравнения (2.28) |
Для изотропного однородного упругого тела |
||
иди (2.26) приобретают вид |
|
|
Aty/ + |
в ,£/ — еДвсг^ + а (сUk,kj + |
сг/м<) — |
-------- a k ik A f + Y if = о , |
(3.25) |
|
(1 + а) (Xi.i + Xj.i —
Заметим, что если убрать двойки в трех последних строках всех шести ул(7мянутых матриц (как это иногда делается в литературе), то взаимно-обрат- Ность матриц [С] и [/] нарушается.
где а и е — некоторые произвольные постоянные, от выбора кото рых не зависит решение задачи (3.25), (2.27), а
0 |
= 3a=tra=(Tftfe. |
|
(3.26) |
Упражнение 3.10. Доказать, что уравнения (3.25) можно за |
|||
писать в операторном виде |
|
|
|
Lijkfiki + Yi/ — 0, |
|
(3.27) |
|
где |
|
|
|
L ii k i = ~ Y ( S ik b ji + b t f i j k ) d f A , 4 - |
- ~ S h ie ld j — |
|
|
a[(1 + v) g — v] bijdkdi — s6ijbkidmdm+ |
|
||
1 — v |
|
|
|
+ — (Sikdjdi + |
6//<?A + Sudjdk + bjkdidi). |
(3.28) |
|
Упражнение 3.11. Показать, что оператор (3.28) становится симметричным Lijki = £kiii при условии
(1 + v ) [ v — е(1 |
(3.29) |
+ v ) ] |
|
Упражнение 3.12. Показать, что при |
|
а = е= 0 |
(3.30) |
уравнения ( 3 . 2 5 ) , а значит и ( 3 . 2 7 ) , |
превращаются в уравнения |
Бельтрами — Мичелла. £> |
|
Для плоской задачи теории упругости в напряжениях более удобной является формулировка задачи В. Она заключается в ре шении уравнения совместности
GIM GN J IJIJPQ ( х ) 0р<з],млг = 0 |
( 3 . 3 1 ) |
и двух уравнений равновесия |
|
GIJ ,J = Ф , / , Ф . / — — X i |
( 3 . 3 2 ) |
при удовлетворении на замкнутом контуре Г двух граничных ус ловий
|
cfu rij\r = S°i. |
|
( 3 . 3 3 ) |
В уравнении ( 3 .3 1 ) |
J )JPQ — компоненты плоского тензора упру |
||
гих податливостей, |
которые различны |
при плоской |
деформации |
и плоском напряженном состоянии. |
|
|
|
Упражнение 3.13. Показать, что если ввести функцию напря |
|||
жений Эри 'F: |
|
|
|
|
GlJ = GIK€JLY,KL + |
Фби, |
(3.34) |
то задача В заключается в решении одного уравнения относитель но W
€lM 6NjePKeQL (JIJPQ y .K lj.M N = e jM6NJ ( JIJPP Q>),MN |
(3.35) |
при выполнении двух граничных условий
Y|r = e;K {d *KJS?dr,
г
1г = е/дЯд J 5 /d f . |
(3.36) |
Упражнение 3.14. Показать, что для изотропной упругой среды закон Гука можно записать в виде двух скалярных соотношений, связывающих отдельно шаровые части тензоров напряжений и де формаций (а и 0) и отдельно девиаторы (s и е):
<т=Я0, |
(3.37) |
s=2Ge, |
(3.38) |
при этом модуль сжатия К и модуль сдвига G выражаются через введенные выше упругие постоянные следующим образом:
2G(1+v)l |
Q |
|
Е |
(3.39) |
|
* = A, + -f-l* = 3( 1 — 2v) |
* |
И = |
2 ( 1 + v ) . € |
||
|
При рассмотрении задач термоупругости пользуются обычно ги потезой Дюамеля — Неймана (1.24). Соотношения (3.1), (3.2) в этом случае могут быть записаны в виде
2 = С : (е — aft) |
(a{j = |
Сцк1(ekl — a^ft)), |
(3.40) |
е = aft + J : в |
(e,; = |
a„ft + Jijklokl). |
(3.41) |
Упругая среда является обратимой. Поэтому в уравнении притока тепла (2.31) следует положить №* = 0. При сохранении второго слагаемого правой части уравнения (2.31) задача термоупругости будет связанной. Наличие этого члена позволяет качественно опи сать некоторые наблюдаемые явления, например затухание упру гих волн. Однако чаще всего этим членом пренебрегают, и задача термоупругости становится несвязанной: можно отдельно решить задачу теплопроводности (2.31), (2.32), (2.33), а затем задачу теории упругости, в' которой температура считается известной.
Упражнение 3.15. Показать, что тензоры теплопроводности Хт и теплового расширения а в главных осях ортотропии могут быть представлены симметричными матрицами:
/ t f |
О |
О |
|
[Хг] = I |
Хт2 |
о |
(3.42) |
\ЯзТ
[а] = |
/ at О |
0 \ |
а , |
0 j. |
Упражнение 3.16. Показать, что для трансверсально изотроп ной среды с осью симметрии хз тензоры теплопроводности и теп лового расширения записываются в виде матриц (3.42) и (3.43),
причем |
|
%2 = kf, а2 = ctj. |
(3.44) |
Упражнение 3.17. Показать, что для изотропного тела матри
цы (3.42) и (3.43) имеют диагональный вид |
|
Хт= Хт1, а = а/, |
(3.45) |
где %т— коэффициент теплопроводности, а — коэффициент теп лового расширения.
Упражнение 3.18. Доказать, что закон Гука (3.1) для анизо тропного тела можно записать отдельно для шаровой части тен
зора напряжений а и отдельно для его девиатора s в виде |
|
|||||||
|
|
cr= _ L a°e + - L e> )> |
|
|
(3.46) |
|||
s = — ёЪ + |
— |
(36 — о) е — - ё (а) + — |
ё т + п :е, |
(3.47) |
||||
3 — |
5 |
|
|
7 |
7 |
— |
/w |
|
где дополнительно к обозначениям, введенным в приложении II, |
||||||||
введены тензоры |
|
|
|
|
|
|
|
|
е<°) |
(a .£ + |
е-а), |
= |
(£-е + |
е -0 , |
(3.48) |
||
eW = |
— |
~ |
|
e(a) = |
tre(a) = |
а : е, |
|
|
|
3 |
|
|
~ |
-------- |
|
||
е(Ь) = |
-^’ е{-Ь)/ + e{b)> e{b) = |
tr е(Ь) = |
b : е. |
(3.49) |
||||
Упражнение 3.19. Доказать, что закон Гука |
(3.2) для |
анизо |
||||||
тропного тела можно записать в виде |
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
= 3/7СГ + 1{р\ |
|
|
(3.50) |
||
ра + -L (3 q — p )s ~ — s iP) + — |
s{q) + N : s, |
(3.51) |
||||||
|
5 |
|
|
7 |
7 |
|
—■ |
|
где дополнительно к обозначениям, введенным в приложении II, |
||||||||
введены тензоры |
|
|
|
|
|
|
|
|
S<rt = i . (p.s + |
£.р), |
sW) = |
-i- (q-s -!- s-q), |
(3.52) |
||||
S<P) = — |
sip)I -f s(p), s №) = |
trs^> = |
p : s, |
3 |
~ ~ |
~ |
~ ~ |
s(«) = -1- stq)I -f- s^q\ s(<7) = tr sW = q : s.
Упражнение 3.20. Доказать, что для изотропного упругого тела «касательный модуль» будет положительным (т. е. будет удовлет воряться условие (1.10)), если
G >0, — l < v d / 2 . |
(3.54) |
Упражнение 3.21. Доказать, что для трансверсально изотроп ного упругого тела «касательный модуль» будет положительным, если
б ' > 0 , |
£ > 0 , * = |
> 0 , — 1 < - v < 1 — 2xv'2 |
(3.55) |
(см. приложение |
II). |
|
|
Упражнение 3.22. Доказать, что для упругого тела из положи тельности «касательного модуля» следует положительность «ка сательной податливости» и обратно, из положительности «каса тельной податливости» следует положительность «касательного модуля».
§ 4. Вязкоупругость
Всякое деформируемое твердое тело, проявляющее реономные свойства, называется вязкоупругим. В зависимости от того, линей ны или нелинейны операторы (1.1) и (1.2), различают соответст венно линейную и нелинейную вязкоупругость.
Запишем для простоты одномерные соотношения между напря жением о и деформацией е (обобщение на трехмерный анизотроп ный случай не составит труда):
t |
л |
|
cr= \ T(t, т) е (т) dx= Ге, |
(4.1) |
|
6 |
|
|
t |
|
|
е = J/C(^,T)of(T)dT = |
Xof, |
(4.2) |
о |
|
|
где в ядрах Г(/, т) и K {t,x), характеризующих операторы |
Г и Ry |
|
можно выделить аддитивную составляющую в виде дельта-функ ций Дирака:
Г (/, т) = £ б ( / — т ) — Г (/, т), |
|
|
1 |
~ |
(4.3) |
* ( ^ ) = “L 6 ( * - т ) + |
/С(*,т); |
|
Е — модуль Юнга. В интегралах (4.1) и (4.2) нижний предел интегрирования понимается как предел слева на прямой времени.
Кроме того, напряжение, деформация и все их производные счи таются равными нулю в отрицательные моменты времени. Поэто му записи интегралов
эквивалентны между собой.
Сокращенная запись интегральных операторов (4.1) и (4.2) позволяет обращаться с операторами Г, R как с числами. Напри мер, из (4.1) и (4.2) следует, что
К = 1/f, Г = ЦК, |
(4.4) |
имея в виду, что l/R=R~l. Это обстоятельство используется при решении квазистатических задач линейной теории вязкоупруго сти (принцип Вольтерры). Решаются соответствующие задачи тео
рии упругости, причем на величины Г, R смотрят как на модули упругости, а после решения расшифровываются функции от опе раторов.
Умножение операторов Г и R не коммутативно (что учиты вается при решении упругих задач). Если же свойства материала инвариантны относительно сдвига по времени, т. е. отсутствует старение, то ядра Г(£, т) и К(£, т) являются ядрами разностного типа r ( f —т), R(t—т), и соотношения (4.1) и (4.2) могут быть записаны в эквивалентном виде с помощью интегралов Стильтьеса:
сг= |
^R (t — x )d e(T )= i?e, |
(4.5) |
|
|
о |
|
|
|
t |
v |
(4.6) |
е = |
J П {t — т) da (т) = |
Пег. |
|
|
о |
|
|
При этом |
|
|
|
f ( t ) = - ~ - R ( t ) , т 0 )= Е, |
|
||
|
|
|
(4.7) |
* ( 0 = - J - r (0. П (0 )= |
ЦБ. |
|
|
Величины Г(*, т) и R(t) называются соответственно ядром и функцией релаксации, ибо они отражают свойство вязкоупругого материала уменьшать напряжения при постоянной деформации. Величины К (^ т) и П(^) называются соответственно ядром и функцией ползучести, и они отражают свойство вязкоупругого
материала увеличивать деформацию под действием постоянной нагрузки.
Характерные графики функции релаксации R(t) и функции ползучести 11(f) показаны на рис. 1 и 2. Участок кривой ползу чести (рис. 2) называется участком установившейся пол
зучести, а участок t> t2 — участком неустановившейся ползу чести.
Вязкоупругие материалы иногда в литературе называют мате риалами с памятью, так как материал как бы помнит, что с ним происходило раньше, и ведет себя в зависимости от этого про шлого.
В самом деле, если, например, деформация образца происхо дит так, что начиная с некоторого момента времени t=t\ она по стоянна, а напряжение в этот момент равно нулю (рис. 3)
при t>ti : e(f) =ei = const>0, a (fi)= 0 , |
(4.8) |
то в случае справедливости соотношений (4.5), (4.6) |
возможно, что |
при t>t\ <j(f)>0. |
(4.9) |
Как показал П. Мазилю, единственным исключением является материал Максвелла, т. е.
R (t)=E e~Eti\ т]>0, |
(4.10) |
для. которого при t>t\ всегда a (f)= 0 .
Другим примером, выясняющим специфику поведения вязкоупругого материала, может служить процесс напряжений и соот ветствующий ему по формуле (4.6) процесс деформаций (рис. 4).
Упражнение 4.1. Доказать, что всегда найдется такой момент
времени t0 (рис. 4), что |
|
П ( # К * 0 - ^ - 1 +, |
(4.11) |
at |/=о+
и кривая е(0 при t> t0 убывает, несмотря на то что в момент to произведена догрузка.
Упражнение 4.2. Доказать, что для кривой ползучести, пока занной на рис. 2, при выполнении соотношений (4.5) и (4.6) обя зательно Roo= 0 (рис. 1).
Упражнение 4.3. Показать, что, для того чтобы ^«>=7^0, необ ходимо, чтобы кривая ползучести (рис. 2) имела горизонтальную асимптоту П = Поо при t->оо, причем
|
г и |
? . = |
1 (J?. = |
lim £ ( * ) ) . С |
(4.12) |
|||
|
|
|
|
|
t~*оо |
|
|
|
Рассмотрим колебания |
вязкоупругого тела. Положим |
|
||||||
|
|
|
( е0еш |
при t > |
О, |
(4.13) |
||
|
|
|
I |
0 |
при t < |
О, |
||
|
|
|
|
|
||||
где i — |
комплексная |
единица, |
ео — амплитуда, со — |
частота |
ко |
|||
лебаний. |
Действия с |
экспоненциальными |
функциями |
проще, |
чем |
|||
с тригонометрическими, а поэтому при линейных процедурах мож но использовать запись (4.13), имея в виду, что в конце этих процедур от полученного выражения может быть взята действи тельная или мнимая часть.
Выделим теперь в функции релаксации величину /?«>, если она
отлична от нуля: |
|
R (t)= R 00+ R (t). |
(4.14) |
Подставим (4.13) в (4.5) и, используя выражение (4.14), получим
ст(/) = e(t) [#□. + id) J R (х) e~i(*xdx^. |
(4.15) |
Величина в квадратных скобках (4.15) называется комплексным модулем
E *(ia)= R 00 + Rs+ iRc, |
(4.16) |
|
где |
|
|
Rs (со) = CDj |
R (T) sin сотdx, |
(4.17) |
0 |
|
|
00 |
|
|
Rc(со) EEECOj |
R (T) COS CDTdx. |
(4.18) |
о |
|
|
Упражнение 4.4. С помощью преобразования Фурье (прило жение IV) показать, что можно восстановить R(t) по заданной функции R*(со) из (4.17):
R (t)= — |
С— —- sin Qaida, |
(4.19) |
Л |
J CD |
|
о
|
R (t) = — |
Г — ^ |
cos соt da. |
|
|
|
||||
|
|
|
Л |
J |
G) |
|
|
|
|
|
Упражнение 4.5. |
Показать, |
используя |
(4.19) |
и |
(4.20), |
|||||
между |
функциями # s(co) и Rc(a) существует зависимость |
|
||||||||
|
R‘ (а>) = |
\ — 8Ш — |
d\. |
|
|
(4.21) |
||||
Упражнение 4.6. |
Показать, |
что |
процессу деформации |
(4.13) |
||||||
соответствует процесс напряжения |
ПрИ |
0, |
|
|
|
|||||
|
a(t) = |
|
|
|
|
(4.22) |
||||
|
о |
|
при t < |
0, |
|
|
||||
|
|
|
I |
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с0 = |£ • |
(((D) |е0, |
ф (©) = |
arctg |
|
|
|
(4.23) |
||
Упражнение 4.7. Показать, что для комплексной податливости |
||||||||||
J*(ia) |
справедливы соотношения |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Г (ia) е е — I |
ч |
= J <X+Js + ijct |
|
|
|
||||
|
|
|
Е* (to) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
go,+gJ |
|
|
|
Ec |
|
|
(4.24) |
|
|
(E „+ E S)2+ (E C)2 ’ |
|
(£oe+ £ s)a+ (£ <r)2 |
|||||||
|
|
|
||||||||
|
Г = \ Г \ е -1*, |
\Г\ = - ф - . |
© |
|
|
(4.25) |
||||
Нетрудно теперь дать обобщение определяющих уравнений на |
||||||||||
трехмерный случай. |
Для этого |
нужно в соотношениях (4.1) — |
||||||||
(4.7) |
и во всех последующих произвести замену |
|
|
|
||||||
с-*-в, в - » е , Г -* Г , |
Я->-К. R-^R, |
П -*П , |
£-*■С, |
|
(4.26) |
|||||
Например, вместо (4.5) нужно записать |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
t |
|
|
_ |
|
|
|
|
|
а = |
j* R (t — т ) : de (т) еэ R : е |
|
|
|
|||||
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
(4.27) |
|
(а(/ = |
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
j |
Rm (t — т) d&k, (т) = tfiy/uew) . |
|
|
||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Число независимых компонент тензора функций релаксаций |
R (t), |
|||||||||
так же |
как и тензора |
функций |
ползучести |
П(/)> |
Для |
различных |
||||
классов анизотропии может быть получено аналогично тому, как это сделано в § 3. В частности, для изотропной упругой среды :имеем
<т= j ^ (< - 1 )4 0 (1 0 = |
Я Д |
s = |
$ R (t— x)de(T) = Re, |
|
О |
|
|
|
(4.28) |
t |
_ |
|
t |
|
|
|
|||
6 = J Щ / — т) da(т) = |
Цст, |
е = |
|П ( < — |
t)d s (T )= fis . |
о |
|
|
О |
~ |
На основании введенных коммутативных операторов R, Ru П, III (из которых только два могут быть независимыми) можно строить другие. Например,
3 tfi |
£ р е |
(4.29) |
3 |
l+Pco |
где p — некоторое число.
Уравнения равновесия для линейной вязкоупругой среды полу
чаются подстановкой определяющих соотношений (4.6) в |
(2.6): |
||
Div [R: у ® w] + X = |
О |
|
|
W W |
M ] ./+ * < = |
0). |
(4.30) |
Тогда квазистатическая |
задача теории вязкоупругости |
(зада |
|
ча А) заключается в решении уравнений (4.30) при удовлетво рении граничным условиям, например (2.9):
и |2l = |
и0, |
С : у ® и •л|г, = 5° |
|
(Щ|st = |
u° I |
Сijkiuk,inj |г, = 5?). |
(4.31) |
В частности, для изотропной однородной среды уравнения
(4.30) приобретают вид |
|
|
Аи + |
grad div и = — 2П1Х. |
(4.32) |
|
Заз |
|
Из соображений размерности решение задачи (4.32), (4.31) может быть записано в виде
и = R [<Pi (со) X + ср2 (со) 5°] + фз (со) и0, |
(4.33) |
где ф/(со), /= 1 , 2, 3, — функции безразмерного оператора со |
(4.29) |
и линейные функционалы от величин, стоящих справа от опера торов. Если соответствующая упругая задача решена, то решение вязкоупругой задачи может быть дано С помощью метода аппро ксимаций А. А. Ильюшина. Этот метод заключается в аппрокси-