1222

Для решения системы уравнений (4.28) можно применить стан­ дартную технику малого параметра. Обратим внимание на то, что

Итак, если эффективная теплоемкость определяется по фор­ муле (4.13) для любого композита, то эффективный тензор тепло­ проводности Л и тензор р* могут быть определены только после

решения уравнений (4.12) и (4.33), т. е. они будут различными для различных типов ячеек периодичности.

Решим теперь задачу термоупругости в напряжениях, напри­ мер задачу В. Для этого нужно решить уравнения равновесия

уравнения совместности

при соответствующих граничных условиях. Рассмотрим решение только «температурной» части этой задачи. Для этого восполь­ зуемся представлением

где а* — эффективный тензор теплового расширения.

Заметим, что из результатов предыдущего параграфа следует (см. также (4.29), (4.30)):

T . e. если зафиксировать в (4.40) индексы р, q, то задача (4.40) будет отличаться от задачи (4.38) только «объемными силами».

Упражнение 4.3. Доказать, что для двухкомпонентного компо­

зита, характеристики каждого композита которого постоянны, справедливо

До сих пор мы рассматривали периодические структуры, ко­ торые можно составить из плотно прилегающих друг к другу оди­ наковых ячеек периодичности. Однако часто в практически важ­ ных задачах условие «одинаковости» ячеек нарушается. Напри- >, рассмотрим составную трубу, сечение которой показано на рис. 14. Пусть тензор модулей упругости зависит только от радиуса г и обладает

свойством

диуса Rn и толщины 6 для каждого п-го слоя, а ее площадь Sn увеличивается с ростом номера:

Может случиться, что в рассматриваемой трубе модули упру­ гости зависят от номера ячейки (кольца), но имеют и осцилли­ рующую составляющую (некоторую «регулярность»)

Дадим теперь определение. Назовем регулярной структурой сре­ ду, для которой в некоторой криволинейной системе координат (у1, У2*У3) справедливо следующее равенство:

3 f(e; у\ у2, уъ\у1+ п\а1, у2 + п2а2, у3 + п5а?) =

где 2Г — оператор связи между напряжениями и деформациями ( 1.1 .1 ), а1, а2, а3 — постоянные, характеризующие период регу­ лярной структуры (размеры ячейки квазипериодичности), а пь я2, /г3 — целые числа. В частности, регулярная структура называет­

Разумеется, периодические структуры также являются частным случаем регулярных.

Если после того как задача решена и быстрые координаты заменены на медленные (2 .6 ) оказалось, что в решение не входит параметр а, значит, решение годится для нерегулярной структуры.

Вследующей главе будут приведены примеры таких решений. Рассмотрим теперь криволинейную систему координат я1, х2, х?.

где а — малый геометрический параметр.

Будем частную производную по медленной координате обозна­ чать запятой, а по быстрой координате— чертой. Тогда уравне­

где ковариантную производную в (5.11) можно расписать в виде

Рассмотрим регулярную структуру и будем считать, что тен­ зор модулей упругости обладает свойством (5.9) для медленных координат, которые условно обозначим х. Тогда уравнения рав­ новесия (5.12) после подстановки в них соотношений (5.13) запи­ шутся в виде:

мулирована в некоторой криволинейной системе координат, соот­

причем локальные функции N^p) зависят как от быстрых, так и от медленных координат и

Тогда, подставляя разложения (5.18) и (5.19) в уравнения рав­ новесия (5.15), получим

Приравняем теперь выражения в (5.21) при одинаковых сте­

пенях а и производных от v одинакового порядка некоторым ве­ личинам /1(<7)(Р), являющимся функциями только медленных коор­ динат:

( С 1,тП N (<7+ 2) Рр+2)т|п)|/ + (С 1 Р+2А /(д + \) ?р+1)т) / +

Упражнение 5.2. Показать, что для квазипериодической струк­ туры

.дическую структуру, необходимо решить две рекуррентные после­ довательности задач. Первая из них (задачи Да (р ), Р= 0, 1, ...) состоит в решении краевых задач однородной теории упругости, вторая (задачи Ж а (<7, Р), q—— 1, 0 , 1 , р= — 1 , 0 , q) — ре­ шении задачи неоднородной теории упругости на некоторой ячей­

вия (2.15), (2.22) и условия (5.23), (5.35), из которых опреде­

получить формулы для регулярной структуры в прямоугольной декартовой системе координат.

Упражнение 5.4. Считая всюду, что выполнено (5.4) и что мо­ дули упругости не зависят от медленных координат, показать, что полученные таким образом формулы совпадают с соответствую­ щими формулами § 2 .

§ 6 . Теория нулевого приближения

При применении техники осреднения во всех задачах, рассмот­ ренных в предыдущих параграфах, параметр а играл формальную роль. Его введение облегчало проведение выкладок, но никакой информации в решение задачи не вносило. Его присутствие толь­ ко напоминало нам: метод работает, когда число ячеек достаточ­ но велико. В дальнейшем мы проверим это положение на конкрет­ ных задачах, а сейчас заметим, что при практическом решении задач теории упругости число членов рядов асимптотического раз­ ложения должно быть конечным. При этом чем больше число ячеек периодичности (или квазипериодичности), тем лучше вы­ бранное приближение описывает решение исходной задачи.

Если в асимптотическом разложении (2.11) или (5.16) оставить

только v{x) (т. е. положить <7= 0 ), то мы получим теорию эффек­ тивного модуля, разобранную в § 2 гл. 3. Как уже говорилось, с помощью теории эффективного модуля нельзя описать эффекты разрывов в тангенциальных напряжениях при переходе от одного

компонента к другому, нельзя найти микроперемещения и микро­ напряжения. В то же время для применения теории эффектив­ ного модуля необходимо знать эффективные характеристики ком­ позита, а для определения этих характеристик, как Мы видели, необходимо найти локальные функции координат первого уровня. Но коль скоро эти локальные функции найдены, мы можем к ре­ шению, найденному по теории эффективного модуля, добавить член, состоящий из произведения локальных функций первого уровня на градиент этого решения. Найденное таким образом ре­ шение назовем решением по теории нулевого приближения.

Теория нулевого приближения для этой задачи дает нам решение в виде

в теории нулевого приближения больше никаких уровней не су­ ществует, индекс, соответствующий номеру уровня, опущен) опре­ деляются из решения задачи Ж а (— 1) (2.40)

и условия отсутствия разрывов локальных функций перехода из одной ячейки периодичности в другую

Тензор эффективных модулей упругости по найденным локальным функциям получается простым осреднением

Итак, тензор напряжений аэ по теории эффективного модуля вы­ числяется по формуле

Заметим, что если при вычислении перемещений в (6.3) положить а= 0 , то будут выполняться кинематические граничные условия (6.2), а перемещения по теории нулевого приближения будут сов­ падать с перемещениями, вычисленными по теории эффективного модуля (без учета микроперемещений).

Пусть требуется решить задачу теории упругости в напряже­

В (6.14) считается, что тензор Ецк (3.25) выражен через напря­ жения с помощью закона Гука (3.1), а тензор У выражается че­

рез объемные силы X по формуле (3.8).

Решение задачи (6.14), (6.15) по теории нулевого приближе­ ния имеет вид

причем в тензоре Eijk (3.25) деформации е выражены через на­ пряжение а с помощью эффективного тензора упругих податли­ востей

и выполнены граничные условия