1222
.pdf£ ,;м (£ (Р}) + Z<p = 0 , |
(3.27) |
|
s ';4 k = s H |
( iP] + X<’ >)|*=0, |
(3.28) |
Здесь левая часть уравнения |
(3.27) образуется по формуле |
(3.25), |
где вместо деформаций следует подставить |
|
|
|
|
(3.29) |
а правые части уравнений (3.27) и (3.28) определяются из пре дыдущих приближений.
Итак, задача Б для упругого композита (3.2), (3.3) свелась к двум рекуррентным последовательностям задач. Первая из них (задачи ДБ (р), р = 0, 1 , 2 ) сводится к соответствующим краевым задачам по теории эффективного модуля с начальными данными,
полученными в предыдущих приближениях. |
|
задач (задачи |
||||
Вторая |
рекуррентная |
последовательность |
||||
Ж б (<7)> Я=— 2 , — 1, |
0, 1 , |
...) |
заключается в |
решении неоднород |
||
ной задачи Б в ячейке периодичности (3.18) |
для |
определения ло |
||||
кальных |
функций |
координат |
из условий |
(3.15) — (3.17), |
||
(3.19) — (3.21).
Сформулируем теперь задачу теории упругости в напряжениях
для неоднородного тела |
(композита) |
в |
классической |
постановке |
(задача В). Будем считать, что объемные силы X обладают, по |
||||
тенциалом |
|
|
|
|
Х = — |
gradO ( X i = |
— |
Ф(1). |
(3.30) |
Тогда уравнения равновесия удовлетворяются тождественно, если
ввести симметричный тензор функций |
напряжений ф по |
правилу |
G ii — eik leimnVbn.lm + |
Ф & ih |
(3.31) |
Тогда уравнения совместности (1.2.2) после подстановки в них соотношений (3.1) и (3.31) приобретут вид
(3.32)
(3.33)
|
(3.34) |
где |
|
S i = S°i — ф л , |i. |
(3.35) |
111
Тогда решение задачи В теории упругости неоднородных |
сред |
в напряжениях заключается в решении системы уравнений |
(3.32) |
при выполнении граничных условий (3.34).
Если бы в уравнениях (3.32) тензор податливостей был по
стоянным Hpqij, то мы имели бы |
|
|
Brsknlmu№kti'lmut = 'Чгз' |
(3.36) |
|
где |
|
|
Brsknlmut== ^rpu^slq^ikl^imn^pqii- |
(3.37) |
|
Применяя описанную выше технику осреднения, будем искать |
||
решение задачи (3.32), (3.34) в виде |
|
|
Ф! / = £ |
а "* ,/, |
(3.38) |
п=0 |
|
|
T i? - «$ ■ /'* ...»„ |
(|) 'И -.,, ...,„ (*). |
(3.39) |
Локальные функции п-го уровня Mf/ry'? ,...? (!) |
являются пе |
|
риодическими функциями, причем |
|
|
м ®Т = Y (6,,-6/г + Si/'б/с), |
(3.40) |
|
т. е. это единичный тензор четвертого ранга, а все М<п) с верхни ми индексами п< 0 равны нулю.
Из соотношений (3.38), |
(3.31) и (3.1) |
следует, что |
|
|||
|
|
• « /= £ ; |
of, /= |
£ |
a"xW, |
(3.41) |
|
|
п=0 |
|
n=0 |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
Yi? = |
Л/Л/ (£) 7 ® /'fll...?/I+a (£) фй'Г, ...вл+а (*), |
|
|||
|
тЬ->= ^>t'/4i...<7n+2 (E) |
|
.gn+2 М» |
(3.42) |
||
|
Tk^..qл+4 = |
eftW/i+3 |
|
. -<7л+2 + |
|
|
+ ( екРЯп + 4 |
elm r + ekp m eiqn + ir) |
.<7n+3|m + |
^ps^/m i-M p ^,.!.«„+4|ms* |
(3 -4 3 ) |
||
Подставив соотношения (3.38) в (3.32), получим |
|
|||||
|
оо |
|
|
|
|
|
|
5] |
а"^7^А«...<7л+4 (6) ^'У'.?1...<7л+4 М = Л»/» |
(3.44) |
|||
|
п= —3 |
|
|
|
|
|
|
^ i q [ )..qn = ^ ikPe jrl l(J klk’ |
|
. .qn+J\pr + |
|
||
+ |
(Л/Л'/'Тл'Г17)1...? я+з ^ я+4)|р + ( /Ш |
'/' |
^ П,Г а....<7л+3^ л+4)|г + |
|
||
+ ^ m w '^ V fll...,n+2 6,^ +36pW ]. |
(3.45) |
Все величины, снабженные верхним индексом (/г), являются тен^ зорами ранга 4 + /г, причем индекс п= 0 можно опускать. Соотно-- ния (3.44) можно переписать следующим образом:
|
£ a " [ / " + '') d " + S|) = |
Ti. |
(3.46> |
|
п=—3 |
~ |
|
Приравниваем |
U<n> тензорам-константам |
Н<п), которые |
по анало-. |
гии с (3.36) примем такими: |
|
|
|
Т7(п+4) |
_ |
|
(3.47)- |
n 4i'i'(h.-.qn+i = eikqn. |
|
||
здесь Н(л> — |
тензоры-константы (тензоры эффективных |
податли |
|
востей п-го уровня) |
|
|
|
|
U(n)= H (n)> „ ^ 4 |
|
(3.48) |
|
U(n) = 0. л < 4. |
|
(3.49) |
Потребуем теперь выполнения следующих равенств для усреднен^ ных величин:
|
|
Тг(п+2) |
( (<?i4l+3 e«n+4' |
|
|
|
> |
2, |
(3.50), |
||
|
|
|
1 |
0 , n < 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(П':,...,„+1> = о , |
л > |
2 . |
|
|
|
(3.51), |
||
Из |
(3.43) |
вытекает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( T\jklqiq |
|
(т (л,) = о , |
« < 2 . |
|
(3.52) |
||||
Из формул (3.38) и (3.44) следует, что средние значения |
напря |
||||||||||
жений и деформаций имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
<£) = *<0) |
«<*(/> = |
т$’ |
u |
|
t |
q |
f i |
(3 -53) |
|
(е> - £ |
<х"Н(п) а- (a) |
(<e(/) = |
£ |
|
|
(««> * ...,„). |
(3.54) |
||||
|
п=0 |
|
|
п=0 |
|
|
|
|
|
|
|
На |
соотношение |
(3.54) |
можно |
смотреть |
как |
на |
связь |
между на |
|||
пряжениями и деформациями в моментной теории упругости одно родных сред. Задача теории упругости в напряжениях для сред них величин сводится к решению уравнений
a nH\j'itlq\...qn+itykl,qt...qn+ i— ^ ij |
(3.55) |
|
п=0 |
|
|
при выполнении граничных условий |
|
|
еШ Ътп£ |
А /m ni Is = Si, |
(3.56) |
л=0
где правые части равенств задаются соотношениями (3.33) и (3.35).
Таким образом, исходная задача В неоднородной упругости (3.32), (3.34) сведена к задаче (3.55), (3.56) моментной теории однородной упругости.
Для определения величин Н<п) необходимо рассмотреть рекур рентную последовательность задач Ж в(л), п = 0 , 1 , 2 , ..., каждая из которых заключается в решении неоднородной задачи теории упругости для элементарной ячейки и состоит в определении ло кальных функций М(Ч Как следует из (3.45) и (3.48), (3.49),
eikp e!rl еk'p's^l'mr' {Jklk'l' Mpy'qt'.tqn+^ms)|pr =
|
= |
.).<7л+4 |
[eikp eJrl(ek'P'qn+t el'mr' + |
|
|
||
|
+ |
Gk'p'm€ l’qn+ir(Jklk'r M p’t'q^... |
q^\m)\pr + |
|
|||
+ |
( €lkQn+ ieiPl + |
e ibpe ton+Al) Gk'P's e l'mr' (Jklk'l' M p 't,]qt...qn+S\ms)\p + |
|
||||
|
+ eikpGirlek'p'qn+3 elqn+ir' ( ^ т ,/'Л1р'1г',71...<7л+2)|рг + |
|
|||||
|
+ |
(eikp^iqn+il + |
e ikqn+^ jpl) (ek'p'qn+3 e Vmr' |
+ |
|
||
|
+ |
ek'p'mGl'qn+3r') {Jklk’l' Mpv'<7l...<7n+2im)|p + |
|
||||
|
eiketn+3eiqn+il ek'PSel'mr' Jklk’l' Afp'r'<7i...<7rt+2lms + |
|
|||||
+ |
(e ikqn+ie Jpi + |
eLkpejqn+il ) ek’p’qn+tei'qn+3r' (Jklk’ V |
г '? ,.. .qn+1)\P + |
|
|||
|
+ eikpejrl(ek’p’qn+26l’mr’ + ^'p'/n^'^^r') Jklk’l' Мр'г'Ц,..qn+1\m+ |
||||||
|
+ |
eikpejrl6k’p’qn+iei'qn+2r’ Jklk'l' Mp'r'q\...</J, |
(3.57) |
||||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ink (J Inkr M(n+2)) = Q(n), |
n > — 1, |
|
(3.58) |
|
где Q<n) представляет собой заданный тензор, определяемый пра вой частью равенства (3.57).
Далее определяем |
величины Н<п> или Н<п>. Из (3.50), |
(3.47) и |
(3.43) следует, что |
|
|
Grk'qn+1 ePqn+2 l'H klrPq1...qn — err’u€pvp' {Jklrp (Mr'p'fe'/'?,.. .qn+2\uv + |
||
Mr'p'fe)'/'a1...pn+1\u6t,<7n+2 + Mrpk'l'q1...qn+1\vbUqn+2-}- |
|
|
+ |
M r)p'k’l'q1...qn6u<7n+1 ^<7„+2) ) ‘ |
(3.59) |
Решение задачи (3.55), (3.56) может быть получено методом
малого параметра. Ищем ее решение в виде |
|
|
ф |
= £ с Л {*>. |
(3.60) |
~ |
к= 0 |
|
Подставив это выражение в соотношения (3.55), (3.56) и прирав няв величины при одинаковых степенях а, получим рекуррентную, последовательность задач теории упругости для анизотропной
однородной среды (задач Дв (/), / = 0, 1 , 2 , ...) |
|
||||||
|
77(4) |
|
|
y(i) |
и \ |
(3.61). |
|
|
n 4i,rqlqiqa. |
|
\ |
’ |
|||
|
|
|
|
|
= S !'> , |
|
(3.62). |
•Л«/. 1 = 0 . |
|
|
|
(3.63) |
|||
|
2U |
111 |
1 |
--^+4 Ki'i'.q\... |
1' |
||
|
U’ |
||||||
|
k=l |
|
|
|
|
|
|
( S „ 1 = |
0 , |
|
|
|
|
(3.64) |
|
sil) = . |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
k=l |
|
|
|
|
|
|
Итак, мы свели |
решение |
неоднородной |
задачи |
(3.32), (3.34У |
|||
к последовательности задач теории упругости анизотропных одно
родных сред (3.61), (3.62) с тензором |
податливостей нулевого |
||||
уровня Н(°>: |
|
|
|
|
|
|
Hi/i'i'qiQiMt = eibqteiqtlek'i’q2Gl'qJ' Hklk’l'• |
|
(3.65). |
||
Для его |
определения |
из задачи (3.57) |
получаем три уравнения, |
||
первое из которых имеет вид |
|
|
|
||
|
Gikp6}rl€k'p's€l'mr' |
j'ql\mi)\pr — О* |
|
(3.66), |
|
Очевидно, что тривиальное решение для |
М(1> удовлетворяет усло |
||||
виям задачи. Для М<2>имеем |
|
|
|
||
|
Gikp GjrlGk'p'sGl'mr' (Jklk’Г^p'r'i'j'qiq2\ms)\pr— |
|
|
||
|
= |
^ikpGjrl€k'i'ql^l’q2j,Jklk’l’\pr' |
|
(3.67) |
|
Наконец, из (3.59) получим |
|
|
|
||
Grk’qt^pq2l' Hklrp — (^rk'ql^pq2rJklrp H- Grr’uGpvp’ Jklrp M.r’p'k'l’qxq2\uv)• (3.68) |
|||||
У тензоров упругих податливостей нулевого уровня |
Н<°) в |
(3.65) |
|||
и (3.68) |
мы не зря |
опустили верхний |
индекс (0). |
Этот |
тензор |
в действительности является эффективным тензором упругих по датливостей.
В самом деле, если мы попытаемся найти эти податливости методом, изложенным в § 1 гл. 3, то нам понадобится решить уравнения ( 3 . 3 2 ) без объемных сил (т. е. T ] r s = 0 ) при специаль
ном выборе граничных условий: |
|
<*,;"/Ь = о?/»/. |
(3.69) |
|
где а0 — тензор-константа. Задаче (3.32), (3.69) соответствует
.задача для однородного тела, решение которой имеет вид
|
|
* = 2 ° (*// = <$,) |
(3-70) |
|
Поэтому из формулы |
(3.54) |
вытекает, что |
|
|
<е) |
= |
Н |
( ( е / / ) = Я , /и 4 ) . |
(3.71) |
откуда и вытекает сформулированное выше утверждение. |
сводит |
|||
Итак, задача В для |
упругого композита (3.32), (3.34) |
|||
ся к решению двух рекуррентных последовательностей задач. Пер
вая из |
них (задачи Дв(&), £ = 0, |
1 , 2 , ...) заключается в много |
кратном |
решении краевой задачи |
(3.61), (3.62) по теории эффек |
тивного модуля с входными данными, определяющимися из пре дыдущих приближений. Результатом решения каждой задачи Дв(&) служит тензор функций напряжений х(Л), из которых фор
мируется тензор функций напряжений ф (3.60) для усредненных напряжений т°, а из них и сам тензор о (3.41). Правда для этого
нужно еще решить вторую рекуррентную последовательность за дач (задачи Ж в(л), л —0, 1, 2 , ...) (3.57), при решении которой находятся локальные функции М<п) и эффективные податливости л-го уровня Н(Ч
Упражнение 3.1. Доказать, что эффективные тензоры упругих
податливостей нулевого уровня |
(3.29) в задаче Б совпадают с эф |
||||
фективными тензорами |
упругих |
податливостей |
Н, определяемых |
||
из решения задачи (3.1.12), (3.1), (3.1.13). |
|
|
|||
Упражнение 3.2. Показать, что разложение (3.38), (3.39) |
с уче |
||||
том (3.60) можно записать в виде |
|
|
|||
Ф// = |
^ |
J ] ML\ii'j'qt...qk (£) |
(*). |
(3.72) |
|
|
п=0 |
k=0 |
|
|
|
Упражнение 3.3. На |
основе разложения (3.72) провести |
техни |
|||
ку осреднения для задачи В (3.32), (3.34), используя вариацион ную постановку Кастильяно
6 «Я* (ф, 6 ф) = 0 ,
==z Gikl Gjmn Gprs Gquv j Jijpq (£) фkn.lm (-^) фго.ви (я) dV. (3.73)
V
Упражнение 3.4. На основе разложения (ЗЛО) провести техни ку осреднения для задачи Б (3.2), (3.3), используя «новую» ва риационную постановку (3.3.4), (3.3.3).
§ 4. Теплофизические характеристики композита
Квазистатическая нестационарная задача термоупругости за ключается в решении четырех уравнений: трех уравнений равно весия
|
|
[C jki(uk,i — a.klT)\tj -f- X t- = 0 |
(4.1) |
|
и уравнения теплопроводности |
(1.2.31) |
|
||
pj |
Тдт |
т |
а |
(4.2) |
Рcp~Qf~ ~ |
|
\.ач^чк1 (Uk>1— akiT)\ + р<7 |
||
при выполнении некоторых граничных условий и начальных дан ных. В этом параграфе под Т мы будем понимать разность меж ду текущей температурой и температурой Т0 актуального со стояния.
Как было уже отмечено ранее, связанная задача термоупруго сти представляет чаще всего только академический интерес. Пре небрегая связанностью, запишем уравнение (4.2) в виде
рср- ~ = (tf/T.i), + pq. |
(4.3) |
Чтобы решить несвязанную задачу термоупругости, достаточ но определить температуру из задачи теплопроводности, а затем решить задачу теории упругости с измененными объемными и по верхностными силами.
Таким образом, составляющим звеном в решении задачи терМоупругости является задача теплопроводности, которая заклю чается в решении уравнения (4.3) при выполнении граничных Условий
* Т /? > /| * = ч (Г | * -Г ,) |
(4.4) |
Или более общих (1.2.32) и удовлетворении |
начальным данным |
(1.2.33) при t= t0: |
(4.5) |
Т=Т°. |
Здесь г] — коэффициент теплоотдачи, Тс — температура окру жающей среды.
В композите плотность р, теплоемкость ср, тензоры теплопро водности %т и теплового расширения а являются разрывными
функциями координат. Покажем, как можно решить задачу теп лопроводности для композита, используя методику осреднения.
Ищем решение в виде асимптотического разложения |
|
|
т = m + |
w . |
(4.6) |
<7=1 |
Р |
|
*\це суммирование по р происходит от (3= 0 так, чтобы все верхние Индексы были положительны. Оператор дифференцирования по Времени отрицательного порядка тождественно равен нулю, а ну левого порядка — единичному оператору.
Вычислим производные от функции Т (4.6): Т,ml T tmn и d T J d t И подставим разложения этих производных в уравнение теплопро водности (4.3), которое можно записать в виде
РСр — — ^тпл Т ,mn Н------ ^>тп\п Т tm + PQ- |
(4.7) |
р dt |
а |
Тогда, приравнивая некоторым постоянным величины, стоящие при одинаковых степенях а и производных от Ф одинакового строе ния, получим рекуррентную последовательность уравнений для определения локальных функций Р(я)Ф)
& L |
,т)ш + ( |
» ^ |
п(<7+1)(Р) |
+ |
|
|
i?+i_2p)|п |
||||
nfo+lXP> |
^ |
|
р(<7)(Р) |
|
|
+ ^■q+2-2ргаr h...iq+i _ 2pl |
% + 2 - 2 Р |
*<7+1-2? / *|...*<7-2р |
|||
— ос Р |
^ ' 1)’ |
а !:)(.^+2_ 2Р. |
(4.8) |
||
? = - 1 , 0 , |
1,2, |
Р = 0, |
1, |
,[9/2]а, |
|
причем все локальные функции и тензоры-константы Л(<7)(Р) хотя бы с одним отрицательным индексом равны нулю:
|
P(,,(W = О, ЛЙ)<Э) = О для q < |
0 |
или р < 0; |
Р,0)(0> = |
1 . |
(4.9) |
||||
Для нахождения постоянных величин Л(<7)(Р) имеем |
|
|
|
|||||||
|
д(<МР> |
— 1 \Т |
|
pfo+WP) |
|
|
|
|||
|
iV»f.^+2-2P — \Atr7+2-2p//^t'f - I'<7+l-2pl/“ |
|
|
|||||||
|
+ К**<7+2. |
рШРГ |
|
__ nr pWMP—и |
\ |
(4.10) |
||||
|
-2? lq+ 1 -2 Р г |
*i ■•-‘ <7-2? |
^ Р * * » ••-‘ <7+2-2? I ’ |
|||||||
|
|
|
<7 = 0 , 1 , |
|
0 = 0 , 1 . |
|
|
|
||
Упражнение |
4.1. Показать, |
|
что из (4.10) при <7=0, |
0 = 0 |
сле |
|||||
дует выражение |
для эффективного |
тензора теплопроводности Л: |
||||||||
|
|
л .,** л и г = { & ! * № + $ ) . |
|
(4.11) |
||||||
причем |
локальные |
функции |
P0W |
определяются из |
(4 .8) |
при |
||||
Я = — 1, |
Р = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ^ „ Р /!Г |
+ Л .[Х = 0 . |
|
(4.12) |
||||
Упражнение |
4.2. Показать, |
|
что |
из |
(4.10) при |
<7= 0, |
0 = 1 |
сле |
||
дует выражение для эффективной теплоемкости (рср) *: |
|
|
||||||||
|
|
|
(рсрГ = - Л |
<0)(1>= |
(рс„) с . |
|
(4.13) |
|||
Таким образом, |
уравнение |
|
теплопроводности |
(4.7) |
после |
вве |
||||
дения условий (4.10) можно записать |
в виде |
|
|
|
||||||
2 - E |
* « W |
» + * . .... |
» - * . |
(4.14) |
||
<7=0 |
Р |
|
|
|
|
|
а граничные |
условия (4.4) |
и |
начальные |
данные (4.5) |
— в виде |
|
S |
^ |
Л(|. Р>'в+2- 2Э |
*•«'.• •-^+1—2ВЛ‘'в-|-2—2Р |з = |
|
||
1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
Ч ( £ |
S |
|
|
, Is - Тс) . |
(4.15) |
|
|
|
|
|||
<7=0 Р
|
7 1 |
n q |
n WO) |
A |
•lq-2Э U=0 . |
(4.16) |
|
T ~ L |
a |
|
|
||
|
q=0 |
|
|
|
|
|
Будем, как |
и прежде, |
решать задачу (4.14) — (4.16) |
методом ма |
|||
лого параметра в виде разложения |
|
|
|
|||
|
|
|
й = £ а |
р0<р>. |
|
(4.17) |
|
|
|
р= о |
|
|
|
Подставляя |
(4.17) в |
(4.14) — (4.16) |
и приравнивая выражения при |
|||
одинаковых степенях а, получим рекуррентную последовательность задач теплопроводности для однородной среды
|
Ajreg> + Q<'>= <|*р>ае(р> |
Р = о, |
1, |
(4.18) |
|||||||
при t = |
0 : |
|
|
(A JT ay)», - |
ле^>) ь = |
is, |
(4.19) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
е И |
= |
г ( р}, |
|
|
(4.20) |
где входные |
данные |
задачи (4.18) — (4.20) при |
фиксированном р |
||||||||
определяются |
из |
решения |
этой |
задачи при г = 1 ...... р— 1 : |
|
||||||
|
«<р}= £ |
|
|
|
e. t a+2_2fl |
р > °; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
а>+э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0(р- г> _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a/i+p |
'г-20 |
|
|
|
- |
s |
s |
A ^ |
^ |
. - 2P| |
3 |
- e. t x |
+1- 2P" / i ' р > ° . |
<4-22) |
|
гИ |
= |
- |
У |
Y р['тс |
а'+Р |
е<Гг>. |
|(=0, р > 0; т(°> = г». |
||||
|
|
|
Z J Z J |
1" г~2Р a/i+p |
.*!••• —2р r |
г ^ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.23) |
После того как задача теплопроводности решена, можно при купить к решению задачи теории упругости. Заметим, что в урав нения (4 .1 ) температурные члены входят в качестве входных дан ных, так что особых хлопот неоднородность тензора теплового Расширения а не вызовет. Однако для того, чтобы метод осред-
Нения позволял найти решение поставленной задачи достаточно точно, нужно позаботиться о том, чтобы входные данные задачи мало менялись в пределах ячейки периодичности. Выражение же аТ, входящее в (4.1), содержит быстро-осдиллирующую состав
ляющую. Поэтому при решении задачи термоупругости к урав нениям (4.1) также следует применить технику осреднения.
Рассмотрим только частное решение уравнений (4.1), соответ ствующее изменению температурного поля. Обозначим
|
|
С,ш (1) |
(I) = |
(i). |
(4.24) |
Тогда уравнения (4.1) |
можно записать в виде |
|
|||
— Cijki\j (|) uk,i + |
Cijkl (|) uk,ij----- — pi/i/T — puTj = 0. |
(4.25) |
|||
a |
|
|
|
a |
|
Будем искать их решение в виде |
|
|
|
||
и, = |
2 |
a ’ +W S+l'.^d) О.*,...*, « . |
(4.26)', |
||
Г |
= |
£ с М ? |
. . . * |
, ( I ) « . |
(4.27). |
|
|
<7=0 |
|
|
|
Производя дифференцирование разложений (4.26), (4.27) и под
ставляя результат в |
уравнения (4.25), получим систему |
уравне |
|
ний однородной моментной теории термоупругости |
|
||
Ё |
а *© !£ \ +Д * ,..* ,+2М |
= 0, |
(4.28), |
<7=0 |
|
|
|
где тензоры-константы 6 ^+2) определяются |
из осреднения: |
|
|
Q % t\ z= ( C lb ^ nN « X \ +1<n + |
|
||
+ |
|
|
(4-29); |
а локальные функции из рекуррентнойпоследовательности урав нений:
+ Cikq+2mn NmtiLk^in + Cikq+2mkq+lN^nk}.. ,kq
|
n(<7+l) |
= Qfkt^k |
, q = — 2 , — 1 , 0 , 1 , |
|||||
|
гь, k |
|||||||
|
2 |
Ki---Ka■ |
*K‘ -- ’K<7+2’ |
4 |
’ |
’ ’ |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.30) |
При этом в |
(4.30) |
|
|
|
|
|
|
|
N<") = |
0 (,) = 0 при |
q < 0 , |
P<,rt = 0 |
при |
q < |
0, P,0, = |
1:. |
(4.31 > |