1222

^1112 — (^1ш ) +

/ ^1133^1233

( 1 /С 3 3 3 3 )

^3333

'

■

и 3333

)

- '

С33З3

^1222 = (^1222) +

1

/

^2233

\ ^

Q1233

\

_ / С22З3С12З8

\

<1 /Сзззз)

'

С3333

/

С3333

'

'

Сзззз

'

1

/

Сизз

( 1 /С 3 3 3 3 )

аде

^1313^2323

^ 1323*

(1.27)

^1323/

\2

А

/ C 1 3 1 3

\

/ С 2323

\

1

\

d

) \

d

)

\ d

/

3 частности, если в каждом слое пакета материал однород­

ный, то

N

(Сцы) =

а,

(1.28)

раздела компонентов Г

[|[а,-3]] =0, i= l, 2, 3; Ы

= 0;

Ц/з = ± k [ [ui]], & = const,

/ = 1, 2,

(1.29)’

Йа3аз =

( - £ - + ( j ) )

1 1= !•

(Ь30)

§ 2. Задача в напряжениях

Решение задачи

В

для слоистого

упругого композита

ищется

в виде (4.3.72)

Ф„ =

i

<*"£

(2.1)

п=

0

р=О

6ik$6jzi [Jkluv + €k'p'aGl'3r’Jklk'yMp'r'uo]n= О,

(2.2)

H ljkl= (Jtjkl Ч" GmpZGnZqJiimnMpqkl) ,

(2.3)

где

Mdjklmn === Gpkm&qnl Mijpq,

(2.4)

(I) = Jijkl (£) + 6mpz€nZqJIjmn(|) M pqkl (g).

(2.5)

жения J0, нужно решить уравнения (2.2) и воспользоваться усло­

виями

0.

( W w Y )

= 0 ,

(Mijki) =

(2 .6 ).

Однако можно поступить

по

другому.

Эффективный

тензор

ругости нулевого приближения

(1.11),

воспользовавшись

форму­

лой

(4.6.36).

Решим систему уравнений (2.2), которую можно записать в

виде

GlKpJL (JxLpq — 6M P €N Q J K.LMN MpQpq)" =

0 .

(2.7)

Отсюда

J K L I J — GM P GN Q J K L M N MpQtj =

AxLtfe + BKUJ*

(2.3)

где. AKuj и BKuj — некоторые константы.

(2.6), доказать,

Упражнение 2.1. Воспользовавшись

условием

что

в (2.8)

АКи, = 0.

0

(2.9)

Из

(2.8) видно, что

eMpGNQMpQij= JM N K L

(JK L I J — B K L I J ),

(2.Ю)

где JMNKL

— элемент матрицы

2 x 2 ,

обратной к

матрице

с эле­

ментом J K L M N . Осредним теперь левую и правую часть

(2.10).

Тогда, используя условия

(2.6), имеем

В к щ =

( J K L M N )

1

( J M NPQJPQij) •

(2.И)

Подставляя

(2.11) в (2.10), получим

GMPe N QM pQ ij= JMNKb(JKLij—

{JIJPQJPQi f)),

(2.12)

j f j k l =

J ijk l + J I JMN J M N K L ( — J K L kl + ( J K L IJ ) 1 ( JlJP Q Jp Q kl) ) . (2 . 1 3 )

Отсюда

получаем эффективный тензор упругих податливостей

Hijkl =

(jfjkl) = (Jijkl) — {JijMNJMNKLJKLkl) +

+

{JHMNJMNKL) {JKLIJ) 1 (jIJPQJPQkl).

(2.14)

Из (2.12) можно найти локальные функции i№:

6

MpQif = £ (g — Л) DPQH (л) dr\ + 2g ( \DpQq) —

0

----- ^ ( ( I D PQU) +

{tfDpQij))’

(2.15)

где

DpQif =

GPMGQNJMNKL ( J KLij—

( JKLIJ) 1 ( jIJRsJRSij) ) ,

( 2 .1 6 )

(lnDpQif) =

j l nDpQii(l)dl.

(2.17)

0

Упражнение 2.2. Показать, что для упругого слоистого ком

позита, каждый компонент которого — изотропный,

Jijki = Mbijbki +

И-* fietfin + 6ifijk) =

=

[— 2v6fy6w +

(1 +

v) (б/Лл + б/Д -ft)],

(2.18

где

X

V

(2.19)

датливостей нулевого

приближения

выражаются в виде

7(0 )

r(0)

<(V +

2H/)/ii' (V

+ p')>

__

1~

(£ /( 1 — v2) >

«/lilt == J 9000 =

■■■■■

,

^ -—

~

-

<1/|*'><1/(Л/ +

ю >

<fi/(l

+ v > ( £ / ( l - v ) >

/зззз = к '

+

2 р / +

хг

(У/(У + рО)

{XV

* '+ ц /

<l/(V+p')>

X' +

р'

(1 + v) 0 — 2у)

+

2v

(v /(1 -

■v)>

( 2.20)

Е(1 - v )

1 — v

(£/(1 — v)>

7(0)

__

т(0)

__

< У /(* /+ Р #)>

(v /(l-v ))

«4133 —

«/2233 —

<1/(А/+р')>

< £ /(! - v)>

’

7(0) _

7(0)

_

«73311 —

«7 3322 —

<1/(Я' + р '))

Я ' + р '

V

1

1 - v

< £ /(!_ V »

4°2I2 — — («^lUl —

4 °1 й ) =

1

2<5/(l+v)>

<I / P '>

7(0) _

7(0)

1 +

v

«7 1313 — «7 2323 —

^

---- •

#1111 =

#2222 =

^1П1 =

«^2222,

# 3 3 3 3 = ( к ' + 2 р ' ) +

.(Я'/(Я' +

р')>2

(1/(Я'+р')>

_ (Я Т _ \

/

( l + v ) ( l - 2 v )

\

2<у/(1-у))2

- ( • Я' + р'' /

\

ЕЕ{(11 - V" ')

'/

■

<5/(1 — v))

#1133 =

#2233 =

«^1133 =

«^2233

(2.21)

#1212 =

~

(# 1111

#1122) — «^1212,

п

— П

—

Г

Я742ц/_____ 1

I

1111

2222

2

[ р ' ( Я ' + р')

<1/10

+

+

-

<я//р/(я/+ Ю>

1

р '

1 _ 1,

(2.22)

(i/p'> <1/(Я' + р'>

Я' +

I

( Я '/р '^ ' +

р'))

1122

2211

2

[ “<1/ц'Х1/(Я' +

Ю>

Я' +

р'~

Я'

J ____ I

Р'(Я ' +

Р')

<1/р')L P >

Г

д

: #21

- ■

и

( Я Ж + jO )

____ L

<1/(Я/ +

р'))

(Я '+р')

Я' + р'

°1212 = А ш

=

7>Ш. =

Al21 =

" у

[

’ 1 ] •

(А.33Я/ + Я]з)' = о,

(3.2)

после чего находится эффективный тензор

теплопроводности Л

(4.6.39)

Л „ = (ЯГзРГ+яГ,).

(3.3)

кратному решению

соответствующей задачи теплопроводности

для однородной среды.

Решим уравнение

(3.2), учитывая условия

(Pi) = 0,

<р;> = о.

(3.4)

Пусть А,- — некоторые постоянные. Тогда из (3.2) имеем

^ззР] + кр = Aj.

(3.5)

Удовлетворяя второму из условий

(3.4), находим

после чего из (3.5) имеем

Обозначим

Pt' = Qi(i)-

(3.8)

Тогда, удовлетворяя

первому из условий (3.4),

получим выраже­

ние для локальных функций Р,:

Л

( 0 = f 0«(л) * ! + < « « ) .

(3-9)

6

ния А,т<°>:

Эффективный тензор теплопроводности

находится

осреднением

этого выражения

Л</= <tf/) + { - ф

- ) ( - $ - }

I ( —^

)

(3.11)

лзз

лзз

/

л33

л33

Г ,/ = Я,тб,7,

(3.12)

Ли = л22 = {Хт), Л33= i / ( i r )

с

{313)

(Сц,т!1Н'т — Pf/)’ = 0

(3.14)

(pf/) + (^зтз^тз/з) (Clilb^iCpZqfiqs)

(^///пЗ^тЗГЗР/з) •(3.15)

i

€ ю еи (JlJklAkV + CLи )" = 0

(3.16)

+ {JIJMNJM'NKL) {JKLIJ) " 1 (JlJPQaPQ) •

(3.17)*

ф = £ « « £

d)xfг ? * , w .

(4-‘ )

«7=0 р = 0

Для отыскания функций

необходимо

решить

рекуррентную

последовательность задач Д в(р):

€т €jN e^pGLR^IJKL^PRMNW =

(х)*

№$)

^lKeJL^KLnj\r = 5/^

(4.3)

(Яик,...К,+2 +

2вмк,+2^1МК,...К?+1)' +

=

=

(4.4)

где использовано

обозначение

(4.8.32)

и верхние

индексы у

всех

величин опущены.

Тогда обозначения (4.8.22) и (4.8.23) приобретают вид

Тик,...Кд+, =

е,РЬп ГpKt...Kq+2 +

eIpeJKqw r PKt...Kq+1,

(4.5)

Грк,...к?+1 = Мк,...к?+16р2 +

MKl...KqSPK?+1.

(4.6)

Правые части уравнений (4.4)

определяются по

формуле

(4.8.25)

H K , "

K q+ 2 =

( R i J K , . - K q

>,

(4.7)

причем величины HIJKL связаны с эффективным тензором упругих

податливостей формулой (4.8.26).

и ус­

Упражнение 4.1. С помощью решения задачи Ж в(0) (4.4)

ловий

(Мдак.) =

0, Мк.Кг> = 0

(4.8)

показать, что

М к,кг (1) = e1K,eJK,

| J(g — ц) B ,j (i\) di\ +

о

+

E<|fl«) + Y « | B « > - < P B M» ] .

(4.9)

где

^

_____ Лш(£)

(4 . 10)

^цц(£)

J U K L (5) = JIJKL (£ ) +

о / / ; ш )

W £ ) W ^ >

Am il)

'ии(£)

(4.11)

< w m i)

'

Л111

Упражнение 4.4. Используя обозначения (4.5), (4.6), (4.8.32),

показать, что из

(4.9), (4.10) следует

С

Гркхкг(S) = Sp2 ^MKt^NKi [ j

BMN (л) dr\— {%BMN) ],

(4.13)

T'илхкг(£) — GMK2GNKX[б/м б/л/ +

8I \8J2BM N (£)]*

( 4 . 1 4 )

RiJKtK,^) = GMK^NKI [JJJMN(Q+ JIJU(QBMN(Q].

©

( 4 . 1 5 )

Эффективные

характеристики

слои­

стого композита в плоском случае

при­

2 Г,к

\ .

/>

ведены в приложении V.

в

виде

2

Рассмотрим теперь композит

упругой слоистой полосы (рис. 17). Бу­

-«

-г 4

. - г .

дем предполагать, что длина полосы 21

много больше 1, материал полосы

изо­

Рис. 17.

тропный и

упругие податливости

явля­

х2 с

периодом а =

ются периодическими функциями

координаты

= 1 /N, где

N —

число «пакетов»,

т. е. ячеек

периодичности:

JIJKL (хг) =

—■[— 2v (х2) бд/б/сд +

(1 + v (х2)) (8/K6JL -f 8IL8jk)],

2 Е ( * а ) '

(4.16)

х2= а ( п — 1 + | ) — у ,

п = 1,2,

,N,

(4.17)

причем £ изменяется в пределах ячейки периодичности

от 0 до 1.

Будем считать, что «объемные» силы отсутствуют, а на грани­

це полосы заданы усилия. При этом на границе Гг:я2 = ±

1/2

<%|r,= f

° i

2|r, =

® (*i).

(4.18)

а на

границе Г) : Х 1 = ± /

выполняются

интегральные

граничные

условия:

1/2

1/2

audx2 = Q,

1/2

M„,

f andx2= Р,

f

j x2andxt =

(4 .19).

- 1/2

—

1/2

- 1/2

(P

растягивающая

сила,

Q —

перерезывающая

сила,

Л4И

изгибающий момент).