1222

Mi Is, =

[ ° 4 - (o ’M — ?•)n36si + ( у P// + 2 -5 -<?„) n,J ^ = S?,

и =

(ut.j+ Щл)-

(3.51)

а р ( р . д ) = 2 а с п р , д )

( 3. 52),

dq

dp *

V '

1.5.6).

трансверсально несжимаем

(3.48),

функции:

Пусть материал

Р и Q имеют вид

Р (р, q) =

£

с3н p*Vx. Q(Р, ?) = Y, C4« P V K,

(3.53).

X

X

где &х, /х, ix, /х — неотрицательные числа, причем

kK2+ lK2-фО, iK2+

+ Ь2Ф0 для каждого х, Сзх^О,

с4х=5^0, а суммирование

произво­

дится по таким х, что

&с+/х=*х+/к=г=^0.

(3.54)

Пусть, кроме того, объемные силы X и поверхностные

силы 5°

возрастают пропорционально одному параметру jx(£),

заданные

перемещения и0 — пропорционально другому

параметру Я(/):

х , (о =

и (о х ? ,

s? (о = и (о s T ,

(3 55)

и°(0 =

МО “ Г -

причем эти параметры связаны

между собой соотношением

ji(i)= A r(0 -

(3.56)

рассматриваемой

среды будут простыми (во всех смыслах).

В самом

деле,

предположим,

что

решение

задачи (3.48) —

(3.51), (3.53)

имеет вид

и, (х, t) =

X(t) uf>(х),

a „ (x, t ) = p (t)

(x),

e,/ (x, t) =

X (t) el/1 Й ,

pi;- й

/) = A,(0 pi/’ Й .

Щ (<*) |z, =

\^ni ~Г (о’зз — tf)n3$3i + (Рц + 2Qij) nj] Ь2= Si* (3.62)

е =

0* +

( ? -

o') -

(сзэ - о у

,

8 ,3

~ 8д3

■~jp~ (О

« О +

- j r (О*, - о ;з),

(3.63)

Я3 = Е’ (1 - v)//,

Я4 =

£ (v

+ £v'2)/[(l +

v) /], ЯБ= Ev'll,

Я, =

G = ЕЦ2 (1 +

V)],

Я, = О', / =

1 — v — 2v’\

(3.64)

k =

E/E'

В упругой

области

можно пользоваться

соотношениями

(3.63),

h,i = а,7

+

+

+ М?,

(3.65)

где

htj = — Я (6//

б3/63/),

2Я,-уЯ^/ =

Я2,

hfj = h3363i-83j,

M? = Л33,

(3.66)

« hit - hu + Я[у3) -

(Я3Д,- +

s (^(p) )2, (3.67)

h\f = Я31-63/ +

Я3/631- — 2Я}з>,

М

/3) = О,

Ь М ? = 0,

htih[f = О,

(3.68)

А«>Л<?> = 0,

h^h\f = о,

h\fh\f = 0 .

С

Заметим, что

всякий

симметричный тензор

второго ранга

координат. В

этих

осях

можно

записать

тензор

напряжений

в виде

°ii=

+

^22^21^2] Н~ О'зз^з^з/ + °12 (6ii62/ +

баД/) +

+

° 1з (бцбз/ +

63/61;) +

о'2з (62163/ +

63i62j),

(3.69)

оГц =

A,jen +

Я,4е22

+

Хве 33, сг12 = А,7е12,

О'гг =

^4е11 +

^2е22 “Ь ^б633»

°23 =

^8е23>

(3.71)

О’зз =

^ве11 "Ь

^Бе 22

+

Х3в>33’

<*13 =

^ве13*

•<тар, а < р , — инварианты тензора

напряжений, которые совпадают

по виду с компонентами только

в специально выбранной системе

е!/2) =

ei2 (6ii62/ -+• 62f6i/)»

ejj3>=

е13(6lf63/ -f-

бз А /)*

(3*72)

8J/3) S

623 (62i63/ -p M W ) ’

где

Ц 12)g(12) =

2eJ2,

e<»3)e(i3) =

2efr

ej^ejf3)== 28^,

(3.73)

и аналогичные тензоры

для

напряжений. Тогда (3-69)

можно за­

писать в виде

сгц =

вц&гА,- + 0^2262162/ +

М з А / +

+ -21*. е(12)

. _£1»_е(13)

е(23)

(3.74)

612

И

е13

"

«23 "

ец=0, 6 2 2 = 0 , езз=0.

(3.75)

<*/ = 2 М Л . . О />!,“>.

(3.76)

а = 1

_

Р\V

(3.77)

р\?’

=

б«р,

Зец

/а

Как уже упоминалось, число п

(а,

р = 1,

п)

не

может

быть

больше шести.

если

существует

такой

Назовем / к линейным инвариантом,

тензор-константа а(х), что

ах=(а1;‘Ч-)),/2. У

4 Т =«//.

(3-78)

**

Х=1

где т < ц . В противном

случае

инвариант / т

называется

нелиней­

ным. Тогда соотношения

(3.76)

можно представить в виде

4?

2

- о

р\Т (3.79)

<*!/ = £

Л)-

Х=1

V = m + 1

что

индексы

Не оговаривая этого каждый

раз, будем считать,

а, р пробегают значения от 1 до п, индекс к — от 1

до т, а у —

от т + 1 до п.

У а = У а (/,.

Л ) = £ АхрП — М Л ........I „ ) ] I f

(3.80)

Р=1

ЗдесьАар— некоторая квадратная матрица пХп с постоянными

коэффициентами, причем

ctiu d fW

(3.81)

— т р ^ ~ ’

п

гружение), т. е.

0цс1&ц = £

Yadla > 0

или,

например,

d<р > 0,

а= 1

Если же с какого-то мо­

го справедливы соотношения (3.80).

мента

начинается разгрузка

(пассивный

процесс), т. е.

—

п

У а ^ а < 0

или, например, Лр<0,

то вместо

(3.80)

нужно

= £

а=1

разгрузки,

которое должно

быть

согласовано

записать условие

У а -У 'а= £ Л«р (/э— /р),

(3.89)

p=i

где величины, помеченные штрихом, соответствуют

напряжениям

Ф(КЬ

УЛ)< Ф 0.

(3.90)

п

Тогда

при разгрузке

зз ^

/ adKa < 0

или ^Ф <0) вместо

(3.89)

имеем

а=1

Р=1

(3.91)

Уравнения равнозеси

ou,i + Xi = 0,

(3.92)

используя (3.80), можно записать в виде

Пуств заданы граничные условия

и, |i, =

U°,

(3.94)

U

^ д у

^а’ G a = Y a

п

j

О “С] ^ у

^

у

*

а

Р=1 (а*Р)

*

(3.103)

о < « » < - ^ r - G a < - ^ - + Ga,

(3.104)

Y a

то материал обладает положительной касательной

податли­

востью.

нии выполняется, если функции

(3.80)

имеют вид

В Д .

Л ) =

£ < ^

а1/

/> ■ .

(3.105)

/

где kan — неотрицательные числа, са}Ф0 ;

i, / = 1 ,

nt а сумми­

рование производится по всем таким у, что

£ * и / - £ * * / =

= ^ К ц = гф о.

(злое)

i=l

i=l

i=l

Упражнение3.16. Доказать,

что

теорема опростом

нагруже­

нии выполняется

для анизотропно

несжимаемогоматериала

(3.96), если

YAIn,+u-. /„) =

t

e

+l '■■■•/ nvn/'

(3107)

/

где &7I-/ —

неотрицательные числа, cT/=^0; i,

y = m + l ,

я, а сум­

мирование производится по всем, таким у, что

2

^m-И (/ =

^т+2 £ /=

—

J]

Ьпц = г Ф®-

(3.108)

i=m+l

i=m+l

i=m+l

делением,

вообще говоря, шести функций шести аргументов

(3.80) или

(3.82).

версально изотропной среды. В общем случае

нужно эксперимен­

тально определить четыре функции четырех

аргументов (3.31)

или (3.32).