1222
.pdfЕсли соотношения (1.1) и (1.2) являются инвариантными отно сительно преобразования времени
(1.21)
то они называются склерономными. В противном случае опреде ляющие соотношения называются реономными.
При рассмотрении неизотермических процессов в МДТТ обыч но принимают гипотезу Дюамеля — Неймана, которая заключает ся в том, что соотношения (1.3) записываются в виде
а = Jf (е7*, Г); |
в* = |
| (<т, Т), |
(1.22) |
где |
|
|
|
ег ==е — «0 , |
й = 7 |
— Г0. |
(1.23) |
Здесь а — тензор теплового расширения, Ф — так называемый
перепад температуры, Т0 — температура недеформированного (ак туального) состояния.
Введение гипотезы Дюамеля — Неймана оправдывается тем, что для материалов, свойства которых не зависят от температуры, определяющие уравнения имеют вид
о = & ( £ ) ; |
гт= §(&), |
(1.24) |
т. е. отличаются от соотношений |
(1.1) и (1.2) |
формальной заме |
ной e -^ e 7". |
|
|
§ 2. Постановка задачи МДТТ
Считаем деформации малыми (|Gradw|<d), так что тензор
деформации е выражается через вектор перемещения и соотно шениями Коши:
в = Def и (г0 = -у(и<./ + “ /.<)) • |
(2.1) |
На соотношения (2.1) можно смотреть как на систему дифферен циальных уравнений относительно вектора перемещения, если компоненты тензора деформаций считаются заданными. Для одно связного тела необходимым и достаточным условием интегрируе мости этой системы будет обращение в нуль симметричного тен зора второго ранга ц, называемого тензором несовместности
(Inkompatibilite): ~
Т]=1пКе= 0 |
['f\ij^=€ikl6jmn£hn,lm= 0). |
(2.2) |
Уравнения (2.2) называются также уравнениями совместности (Сен-Венана).
Упражнение 2.1. Доказать, что, для того чтобы выполнялись условия (2.2), необходимо и достаточно, чтобы
Я = д + ( | — | - / ) 4 = 0. |
(2.3) |
где использовано разложение тензора т| на шаровую часть т) и девиатор т]:
т] = т) Н— т]/; |
т] = tr г|, |
(2.4) |
причем I — единичный тензор 2 ранга. |
|
|
В предположении, что объемные |
и поверхностные |
распределе |
ния моментов отсутствуют, тензор напряжений а будет симмет ричным. Три уравнения движения сплошной среды имеют вид
Div су+ X = р и "Г = рUt), (2.5)
где X — |
вектор объемных сил, р — плотность вещества. |
|
Если |
рассматривается равновесие среды, то силами инерции |
|
можно пренебречь, и мы имеем |
|
|
|
Div а + X = 0 (otu + X t = 0). |
(2.6) |
Пусть заданы граничные условия контактного типа на части 2? границы 2:
|
|
[а«> •ог-п + 6Й) •а Ц = Nm, |
(2.7) |
||
где |
aSq\ ЬМ — |
некоторые |
положительно |
определенные тензоры |
|
2-го ранга, п — |
единичный |
вектор нормали, |
— вектор кон |
||
тактных усилий. |
|
|
|
|
|
2i |
В частности, если поверхность 2 состоит только из двух частей |
||||
и 2г, причем |
|
|
|
|
|
|
|
а<» = 0, *0» = kl, N{i) = |
ku\ |
|
|
|
|
|
|
|
(2.8) |
ат= /, 6(2) = о, Jv<2) = S°,
где k — размерная постоянная, и0 — заданный на границе век
тор перемещения, a S0 — заданная поверхностная нагрузка, то из (2.7) имеем
и \2| = u°, a-n\xt = 5°. |
(2.9) |
Если в соотношения (1.1) вместо деформаций подставить пере мещения по формулам (2.1), а полученный результат — в урав
нения (2.5) или (2.6), то получим, три уравнения движения в пе ремещениях, которые в сокращенном виде запишем так:
Div & (и) + X = ри" ф ц ,1 (ы) + X t = раГ), |
(2.10) |
где стоящее в скобках (и) означает, что проделана описанная выше процедура использования (1.1) й (2.1). Аналогично, уравне ния равновесия имеют вид
Div & Й + |
X = 0 (ёц,} (и) + X t = 0). |
(2.11) |
Динамическая задача |
МДТТ в перемещениях |
заключается |
в отыскании поля перемещений и из решения трех уравнений с тре мя неизвестными (2.10) при удовлетворении граничных условий:
[<&>■& (и).п + Ь(,)- и Ц = Nm |
(2.12) |
и начальных данных:
при t = 0 : Z = U , и' = V, |
(2.13) |
где U и V — заданные в начальный момент времени векторы пе ремещений и скорости соответственно.
Квазистатическая задача МДТТ заключается в решении трех уравнений равновесия (2.11) относительно трех компонент векто
ра перемещения и при удовлетворении граничным условиям (2.12) (задача А ).
В обоих случаях при разыскании «классического» решения его |
||
«гладкость» зависит от вида |
оператора |
гладкости «входных |
данных», т. е. векторов X, |
U, V, а также гладкости поверх |
|
ности 2. |
|
|
При решении упомянутых вышё задач МДТТ для композитов, |
||
в силу разрывности материальных функций, описывающих опера
тор |
необходимо |
разыскивать обобщенное |
решение соответст |
вующих задач. |
|
|
|
|
Рассмотрим, например, квазистатическую задачу МДТТ с гра |
||
ничными условиями |
(2.9) при условии и°= 0. |
Обобщенным реше |
|
нием этой задачи называется такое непрерывное векторное поле м,
что для произвольного достаточно гладкого вектора v, удовлетво ряющего однородным кинематическим граничным условиям, т. е.
|
vkt= 0 , |
|
(2.14) |
|
выполняется тождество |
|
|
|
|
|
& (и) : е (V) dV = |
J X-vdV + |
-ZdZ. |
(2.15) |
V |
~ |
V |
2 , |
|
Для композиционного материала можно дать другое определение обобщенного решения. Разобьем область, занимаемую телом, на
подобласти, внутри каждой из которых материальные функции непрерывны (т. е. существует классическое решение). Решим соответствующую задачу внутри каждой подобласти, а на границе контакта этих подобластей удовлетворим условиям сопряжения:
Щ\) = Щ2)\ 0(1) ‘ ^(1) = — 0(2)-Я(2), |
(2.16) |
где индексом (1) помечены величины, относящиеся к одной под области, а индексом (2) — к другой.
Условия (2.16) называются условиями идеального контакта. Упражнение 2.1. Доказать, что для композита обе формули
ровки обобщенного решения задачи МДТТ эквивалентны. Упражнение 2.2. Показать, что тождество (2.15) с использова
нием определений (1.5) и (1.17) может быть записано в виде
DO (и, v) = A*(v), |
(2.17) |
где Ae(v) — работа внешних сил на перемещении v:
Ae(v) = J X-vdV + f S° •wE. |
(2.18) |
v i,
Сформулируем теперь квазистатическую задачу МДТТ в на пряжениях. Для этого в уравнениях совместности (2.2) выразим деформации через напряжения, используя соотношения (1.2). За пишем сокращенно полученный результат в виде
Л (0 )= О . |
(2.19) |
Квазистатическая задача МДТТ в напряжениях в классической постановке (задача В) заключается в решении шести уравнений совместности (2.19) и трех уравнений равновесия (2.6) относи тельно шести независимых компонент симметричного тензора на,- пряжений о при удовлетворении граничным условиям, например (2.9) или
£ -n | z= S , ( « „ « , ! ! = S?). |
(2.20) |
Разумеется, и в этом случае для существования классического решения (обладающего достаточной гладкостью) необходимо на ложить ограничения на материальные функции оператора (1.2),
на «входные данные»: X, 5°, на гладкость поверхности 2. Для композитов можно дать определение обобщенного решения зада чи В. А именно: обобщенным решением задачи В называется тен зорное поле а, удовлетворяющее уравнениям равновесия (2.6) и
статическим граничным условиям (2.9), которое для всякой глад кой тензор-функции т, удовлетворяющей однородным уравнениям
равновесия и однородным статическим, граничным условиям
D iv x = 0 , т.я|2| = 0, |
(2.21) |
удовлетворяет еще и тождеству
J О (о ): тdV = |
Azt(т, и0), |
(2.22) |
v ~ ~ ~ |
~ |
|
где ЛГ1(т, и0) — работа внутренних сил на заданном перемеще
нии и0:
А еДт, w°) = J u°-x-nd2. |
(2.23) |
z,
Упражнение 2.3. Выполнить задание упражнения 2.1 примени тельно к обобщенному решению задачи В.
Упражнение 2.4. Показать, что тождество (2.22) с использова нием определений (1.5) и (1.17) может быть записано в виде
ЯФ (tf, т) = Axt(т, и0). С |
(2.24) |
Пусть R(a) — невырожденный линейный оператор от неко
торого вектора а (см. приложение I). Построим линейный опера тор — симметричный тензор второго, ранга Ё по правилу
В (a) s= 2 Def R (а) — div R (a) g
|
(2.25) |
(Bij (a) == Ri.i (a) + Rj.i (a) — |
(a)), |
Дадим так называемую «новую» постановку второй краевой квазистатической задачи МДТТ в напряжениях (задачи Б). Она заключается в решении шести уравнений
Н (а) + В (Div а) + Ъ(Х) = 0 |
(2.26) |
относительно шести независимых компонент тензора напряжений о при удовлетворении шести граничных условий
[Div о + Х]л = 0; а-п |2 = S°. |
(2.27) |
Первое слагаемое в уравнении (2.26) получено |
подстановкой в |
уравнения совместности (2.3) выражений деформаций через на пряжения по формуле (1.2).
Упражнение 2.5. Доказать эквивалентность задачи Б (2.26), (2.27) и задачи В (2.19), (2.6), (2.20).
Упражнение 2.6. Доказать, что решение задачи Б не зависит
от выбора оператора R и тензора-константы g.
Упражнение 2.7. Доказать, что уравнения (2.26) можно запи сать в дивергентном виде
£j/*,* + ^ / = 0, |
(2.28) |
где тензор У определяется через объемные силы |
|
|
||
|
|
Г = Д ( Х ) , |
|
(2.29) |
а тензор третьего ранга Ецк выражается через |
деформации (ко |
|||
торые являются оператором от напряжений в виде (1.2)): |
||||
Ецк= &ij.k+ bki |
— |
— |
+ |
|
|
+ & /(e«,i + |
0.fc) + i3i/ (Diver). С* |
|
(2.30) |
Если |
рассматриваются |
неизотермические |
процессы,тоформу |
|
лировки |
соответствующих |
задач термо-механикидеформируемого |
||
твердого тела (ТМДТТ) могут быть получены из описанных выше путем использования определяющих соотношений (1.3) вместо (1.1) и (1.2). В силу появления новой неизвестной — температу ры Т — следует к системе уравнений МДТТ добавить уравнение притока тепла
рсрТ = div (Хт -grad Т) — Т0 [ а : & (е ■— ад)]' + pq + W , (2.31)
где ср — теплоемкость, V — тензор теплопроводности (положи
тельно определенный), q — массовый приток тепла, W* — функ ция рассеивания, для обратимых сред тождественно равная нулю.
Кроме того, следует добавить граничные условия. Например,
на части 2^ границы тела 2 задается |
|
|
|
|
аМ Я 'У -grad Т + ЬМТ = |
т<«>, |
(2.32) |
где aW, |
— некоторые размерные величины, а т(?> — |
заданная |
|
на 2? функция. |
|
|
|
Если рассматривается нестационарная задача (в |
уравнении |
||
(2.31) |
левая часть отлична от нуля), то |
нужно задать еще и на |
|
чальные данные, например: |
|
|
|
|
при t = 0: Т=Т°(х). |
(2.33) |
|
Вид функции рассеивания W* конкретизируется при выборе модели ТМДТТ.
Вопрос о единственности решения задач А, Б и В будет обсуж даться в следующей главе.
§ 3. Упругое тело
Наиболее простой моделью МДТТ является модель линейного упругого тела. Почти все деформируемые твердые тела (а иногда даже и жидкости) в той или иной степени обладают упругими свойствами, хотя бы при кратковременных нагрузках.
Определяющие соотношения (1.1) для упругого тела записы ваются в виде
(У—С 18 (СУ//—Cijkl£kl)i |
(3.1) |
где тензор 4-го ранга С — тензор модулей упругости — для ком позита является разрывной функцией координат.
Определяющие соотношения (1.2) для упругой среды имеют вид
е= J : а (е// = / ijkiOki), |
(3.2) |
где тензор 4-го ранга J — тензор упругих податливостей — для композита также является разрывной функцией, причем тензоры С и J взаимно-обратны
С : J = J : С = А (СiiklJklmn = Jijkfiklmn = ~ №*mfyn+ ^Irfiim))- (3.3)
Соотношения (3.1) и (3.2) описывают так называемый обобщен ный закон Гука для анизотропного упругого тела.
Операторы (3.1) и (3.2) являются потенциальными, т. е. вы полняются условия (1.4), причем функции Щ е) и ш(а) для ли нейной упругой среды имеют вид
е : С :е ^ = - у |
, |
(3.4)
=J :o (w = ± -J tlkp „o kiy
Упражнение 3.1. Доказать, что из соотношений (3.4) вытекает, что в самом общем случае тензоры С и J имеют 21 независимую компоненту. £>
Вслучае анизотропии общего вида тензор С можно изобразить
ввиде симметричной матрицы бХ б, составленной из его неза висимых компонент:
|
' ^1111 ^1122 ^1133 )^2 С1112 V^2 Сщд 1/2 С1123 |
||
|
С2222 ^2233 V^2 С2212 ]/2 С2213 V 2 С2223 |
||
[С] = |
^3333 V 2 Q 312 V 2 С3313 ]/2 |
С3323 |
|
2CI2I2 1^2 С1213 )/2 |
(3.5) |
||
|
С1223 |
||
|
2^1313 |
]/2 |
С1323 |
|
|
2С232з ) |
|
Из-за симметрии матрицы (3.5) ее элементы ниже главной диа гонали не выписываются.
Упражнение 3.2. Показать, что для упругого тела, обладаю щего симметрией относительно плоскости Х\Х2, после преобразова
ния координат |
(3.6) |
х[ = xlt х' = х2, х’ = — х3 |
компоненты тензора деформаций преобразуются так:
е П = еИ> 622 = |
£ 22* |
633 “ |
£33*. |
|
|
|
(3.7) |
8 12 = е12> е 13 — |
е13> |
е23 = |
е23> |
и поэтому тензор С имеет 13 независимых компонент:
|
^1133 У% С’1112 |
0 |
0 |
|
^2233* У% C2212 |
0 |
0 |
[С] |
Сзззз V 2 Сззы |
0 |
0 |
2Ci2i2 |
0 |
(3.8) |
|
|
0 |
||
|
|
2^1313 у |
2 Сх |
|
|
2С232з |
|
Упражнение 3.3. Используя преобразования координат |
|||
|
х\——хи х2 = —х2, хз'=—*з, |
(3.9) |
|
показать, что для ортотропного упругого тела, обладающего сим метрией относительно плоскостей Х\Х2г_ Х\Хг (а значит, и х2хз) , тензор С имеет 9 независимых компонент
64Ш Ql22 ^1133 |
0 |
0 |
0 |
^2222 ^2233 |
0 |
0 |
0 |
^3333 |
0 |
0 |
0 |
|
2C12i2 |
0 |
0 |
|
|
2^1313 |
0 |
2С2323 )
Упражнение 3.4. Показать, что для трансверсально изотроп ного упругого тела, не изменяющего своих свойств при преобра зовании координат вида
х[ = хгcos а + х2sin а, х’2= — хх sin а + х2cos а, х'3= х3, (3.11)
где а — произвольный угол, тензор С имеет 5 независимых ком понент
Q n i Q 122 |
Q l3 3 |
0 |
0 |
0 |
^1111 |
^1133 |
0 |
0 |
0 |
[С ] = |
^8833 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
(3.12) |
|
|
|
264.212 |
0 |
0 |
|
|
|
264313 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 С 232з |
1 |
|
|
|
|
причем в матрице (3.12) следует положить
Q 212---------- |
(64111 О ш а )- |
(3.13) |
Упражнение 3.5. Показать, что для изотропной упругой средьг тензор С имеет только две независимые компоненты (постоянные Ламе)
^ = Qm* И1= |
“ |
(Сип |
Q m )i |
(3.14)- |
|
X -f- 2р |
X |
X |
0 |
0 0 |
|
X + |
2(i |
X |
0 |
0 0 |
|
|
|
X -{- 2(i |
0 |
0 0 |
|
|
|
|
2(1 |
0 |
(3.15> |
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
2р |
0 |
|
|
|
|
|
2р |
Для анизотропной неоднородной упругой среды уравнения дви
жения (2.10) имеют вид (см. приложение I) |
|
|
Div (С : у ® и) -f X = ри" |
(3.16> |
|
|
|
|
([C*/JHMM ]./+ |
Xt — Рui )» |
|
а уравнения равновесия — вид |
|
|
Div (С : у ® и) + Х = 0 |
([ClJkluktlU + Xt = 0). |
(3.17) |
Граничные условия (2.12) имеют в данном случае следующий вид:
|
|
[а^-С : у ® |
и-п + |
biq)-u\^q = Niq) |
|
|||
|
|
([ей* СШтщ.тпк+ |
|
= |
N]»). |
(3.18) |
||
В |
частности, |
граничные |
условия |
(2.9) запишутся в виде |
|
|||
|
|
и |2 = |
ы°, |
С : у ® |
и•п Ь = |
5° |
(3.19) |
|
|
|
11 |
|
V |
|
’ ’ |
|
|
|
|
(tii |2t = u°i, CijklUk,in} |£t = |
S°i). |
|
||||
В |
уравнениях |
(3.16) — (3.19) |
ввиду |
симметрии тензора С, |
возни |
|||
кающей из существования упругого потенциала, выражение Defw
заменено на V®w .
Для композитов решение динамической и статической задач теории упругости нужно понимать в обобщенном смысле.
Упражнение 3.6. Дать определение обобщенного решения ста тической (квазистатической) задачи теории упругости (3.17) ^ (3.19).
Упражнение 3.7. Дать определение обобщенного решения ди намической задачи теории упругости (3.16), (3.19), (2.13).
Тензор упругих податливостей также можно представить в ви де матрицы [/]. Например, для ортотропного упругого тела эта матрица в так называемых технических постоянных имеет вид
( 1 |
V! |
v3 |
0 |
0 |
0 |
|
Ег |
Ег |
E3 |
||||
|
|
|
||||
|
1 |
v2 |
0 |
0 |
0 |
|
|
Ег |
Яз |
||||
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
^3 |
||||
[J] = |
|
1 |
0 |
(3.20) |
||
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
2Gi2 |
|||
|
|
|
|
|
0
~2Gi3
1
2G23
где Еи Е2, Ег — модули Юнга в трех главных направлениях ортотропии, т. е. направлениях, ортогональных к плоскостям сим метрии материала; vb v2, v3 — коэффициенты Пуассона, харак теризующие сокращение в плоскостях, ортогональных к направле нию растяжения; G12, Gi3, G23y — модули сдвига, характеризую щие искажение углов плоскостей симметрии.
Для трансверсально изотропного материала в (3.20) следует
положить vi= v, v2 = v3= v ', El=E 2=E, Е3=Е', Gla = G = |
-----------, |
, |
2 (1 + v) |
G13 = G23= G Поэтому для трансверсально изотропного мате риала матрица [/] имеет вид
|
|
V |
v ' |
0 |
0 |
|
£ |
"F |
0 |
||
|
F~ |
|
|
||
|
|
1 |
v ' |
0 |
0 |
|
|
£ |
0 |
||
|
|
Ё7 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
||
|
[J] = |
|
E' |
|
(3.21) |
|
|
1 |
0 |
||
|
|
|
0 |
||
|
|
|
2G |
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2G' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
I |
|
|
|
2G' j |
Наконец, для изотропного случая имеем |
Е’ |
Е, v' = v, G' = G = |
|||
= |
E |
|
|
|
|
------------, и поэтому |
|
|
|
|
|
|
2(1+ V ) |
|
|
|
|