Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

524

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
9.49 Mб
Скачать

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный технический университет»

Вестник ПГТУ

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ИМЕХАНИКА

7

Издательство Пермского государственного технического университета

2008

УДК 539.3:621.3:678.6:622.834 В38

В сборник вошли статьи сотрудников факультета прикладной математики и механики. Тематика сборника охватывает широкий круг прикладных задач механики и смежных отраслей науки, проблемы численной и аналитической реализации их решения.

Предназначен для научных работников, аспирантов, студентов.

Редакционная коллегия: д-р техн. наук А.И. Цаплин, д-р физ.-мат. наук А.Р. Абдуллаев,

д-р техн. наук Г.Л. Колмогоров,

д-р физ.-мат. наук Л.Н. Кротов, д-р техн. наук Ю.И. Няшин,

д-р техн. наук В.П. Первадчук,

д-р физ.-мат. наук П.В. Трусов, д-р техн. наук Н.А. Труфанов,

канд. физ.-мат. наук О.Ю. Сметанников, аспирантка Ю.И. Лесникова (отв. за выпуск)

Рецензенты:

лаборатория моделирования термомеханических процессов в твердых телах Института механики сплошных сред УрО РАН; д-р техн. наук Н.А. Шевелев

Издано в рамках приоритетного национального проекта «Образование» по программе Пермского государственного технического университета «Создание инновационной системы формирования профессиональных компетенций кадров и центра инновационного развития региона на базе многопрофильного технического университета»

© ГОУ ВПО «Пермский государственный

технический университет», 2008

СОДЕРЖАНИЕ

 

В.Г. Беспрозванных, К.М. Перминов

 

Нестационарная модель гидравлического удара для течения

 

неньютоновской жидкости в трубопроводе .......................................................

5

А.М. Бояршинов

 

Оптимальное управление портфелем ценных бумаг: «Теория портфеля»

 

Марковица и ее современное развитие ............................................................

11

В.В. Бурдин

 

Модель, интерпретирующая данные векторкардиографических

 

исследований ......................................................................................................

20

Е.В. Варушкина, А.В. Перминов

 

Исследование устойчивости вибрационного конвективного течения

 

в плоском слое ...................................................................................................

24

Д.Н. Васильченко, Н.А. Рыбаков,

 

С.В. Мальцев, А.А. Коробейников

 

О гарантийном сроке хранения зарядов твердых ракетных топлив..............

32

О.Ю. Вологжанин, О.Ю. Вшивков, В.В. Ильин, Н.А. Рыбаков

 

Модели поведения панелей бронежилетов при ударных нагрузках .............

36

Г.Н. Вотинов, В.С. Постников

 

Моделирование процесса насыщения слоя лазерного модифицирования

 

элементами газовой среды.................................................................................

52

О.Ю. Вшивков

 

Критерий пробивной способности поражающих элементов .........................

59

О.Ю. Вшивков

 

Кинетическая модель образования и развития микроповреждений

 

в зоне откольного разрушения .........................................................................

65

М.Ю. Егоров, С.М. Егоров, Д.М. Егоров

 

Исследование переходных внутрикамерных процессов при выходе

 

на режим работы ракетного двигателя на твердом топливе ..........................

77

А.С. Каменских, Н.А. Рыбаков

 

Горение либо детонация зарядов высокоэнергетических материалов .........

89

А.А. Киченко, В.М. Тверье

 

О постановке задачи о перестройке трабекулярной костной ткани..............

93

3

А.Н. Козлов, Н.А. Рыбаков

 

Математическая модель для оценки воздействия сверхвысокочастотного

излучения на твердое ракетное топливо .......................................................

101

О.А. Коростина, М.С. Куюкина, М.А. Осипенко, Ю.И. Няшин

 

Математическое моделирование процесса очистки почвы от нефти

 

и тяжелых металлов под действием Rhodococcus-биосурфактанта............

106

С.Ю. Култышев, Л.М. Култышева

 

Идентификация линейных стохастических моделей

 

реальных объектов .........................................................................................

114

И.В. Кушнирева, К.В. Подъянова, Н.С. Шабрыкина

 

Стационарная модель течения интерстициальной жидкости в тканевой

 

области .............................................................................................................

120

В.С. Постников

 

Изменение электронного строения компонентов структуры

 

поверхностного слоя металлов при импульсной лазерной обработке .......

127

П.В. Марков, А.А. Головачёв, О.Ю. Сметанников

 

Об одной проблеме расчета многослойных анизотропных оболочек

 

в среде ANSYS ................................................................................................

135

А.А. Головачёв, П.В. Марков, О.Ю. Сметанников

 

Методика расчета напряжений на участке трубопровода с дефектами ....143

О.Ю. Сметанников, Н.А. Труфанов

 

Анализ технологических и остаточных напряжений в силовом стержне

 

оптического волокна .......................................................................................

151

Е.С. Тюленева, А.В. Перминов

 

О некоторых воздействиях акустических вибраций на движение

 

жидкости в полости .........................................................................................

165

Г.М. Трунов, А.П. Шаров

 

Идеальный эксперимент в механике .............................................................

173

4

УДК 532.135 + 621.643

В.Г. Беспрозванных, К.М. Перминов

Пермский государственный технический университет

НЕСТАЦИОНАРНАЯ МОДЕЛЬ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО УДАРА ДЛЯ ТЕЧЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБОПРОВОДЕ

Представлена феноменологическая модель гидроудара для ламинарного течения вязкой жидкости, подчиняющейся степенному реологическому закону, в трубопроводе с упруго деформируемыми стенками. Рассматривается методика расчета определяющих параметров задачи с учетом индекса течения, характеристик жидкости и материала стенок трубопровода. Результаты могут быть использованы для оперативной приближенной оценки и диагностики аварийных ситуаций при эксплуатации трубопроводныхсистем.

Вряде задач о моделировании одномерных неустановившихся течений жидкости в трубопроводе плотность ρ(x,t), давление p(x,t) и скорость v(x,t) как функции координаты и времени не являются непрерывными, а могут изменяться весьма быстро, скачкообразно как во времени, так и в пространстве. Примером такого процесса может служить гидравлический удар. При гидроударе за счет резкого закрытия или открытия задвижки, включения или отключения насоса нарушается стационарное течение жидкости в трубе, происходит резкое торможение или ускорение жидкости и ударное сжатие ее частиц. Фронт изменения гидродинамических параметров жидкости в виде волны давления распространяется по потоку. Ударное повышение давления даже при малых скоростях течения жидкости может достигать единиц мегапаскалей и приводить к возникновению аварийной ситуации. При наличии

втрубопроводе трения волна гидроудара постепенно затухает, в частности, уменьшается величина скачка давления на фронте волны с течением времени.

Вработе [1] рассмотрена задача о затухании амплитуды скачка давления

на фронте волны гидроудара без учета реологических свойств жидкости иупругих свойств стенки трубы. Однако эти факторы могут оказаться существенными при моделировании процессов трубопроводного транспорта нефти и нефтепродуктов, поскольку для таких течений нарушается линейная связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформации, изменяется величина гидравлического сопротивления по сравнению со случаем течения ньютоновской жидкости в трубе с жесткими стенками.

5

Рассмотрим ламинарное течение слабо сжимаемой вязкой жидкости, подчиняющейся степенному реологическому закону, в упруго деформируемой круглой трубе.

Условие слабой сжимаемости жидкости означает, что зависимость плотности от давления имеет следующий вид:

ρ( р) =ρ0 [1+( рр0 ) / K ] ,

где отклонение плотности ∆ρ = ρ0 ( рр0 ) / K от номинальной величины ρ0 при

увеличении давления незначительно (∆ρ << ρ0). Средние значения модуля упругостиK для нефти инефтепродуктов составляют (1,4…1,5)·109 Па.

При описании явления гидравлического удара используем модель упруго деформируемого трубопровода. Скорость распространения волн давления в трубопроводе радиусом R и толщиной стенки δ, заполненном жидкостью, находится по формуле

c =

c0

,

(1)

1+ξ

 

 

 

где c0 = Kρ – скорость ударных возмущений для абсолютно жесткого

трубопровода; ξ = 2EKRδ – безразмерный параметр деформации, Е – модуль

Юнга для материала стенок трубы (например, для стали Е = 2 1011 Па). Если ξ << 1, то, выполняя разложение в правой части (1) в ряд по малому параметру ξ и ограничиваясь линейным членом разложения, получим приближенную формулу:

c= c0 11 ξ .

2

Реологические свойства вязкой жидкости в значительной степени определяют характер ее течения в различных технических устройствах, влияют на гидравлическое сопротивление при транспортировке жидкости в трубах и каналах. Значительный класс веществ, относящихся к жидким нефтепродуктам, может быть описан степенным законом Оствальда [2]:

τ0 = k εn ,

где τ0 – касательное напряжение, действующее в плоскости соприкасания слоев жидкости; k – коэффициент кажущейся вязкости; ε – скорость деформации; n – индекс течения, который определяет степень отличия

6

течения неньютоновской среды от ньютоновской: при 0 < n < 1 имеем псевдопластичную жидкость, при n > 1 – дилатантную жидкость. Распределение скорости такого течения по радиусу трубы r выражается формулой [3]

 

 

 

r

n+1

 

 

 

 

1

n

 

 

 

v(r) = an vср

 

 

 

, 0 ≤ r R ,

(2)

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где vср = ρπQR2 – средняя скорость жидкости в трубе, Q – массовый расход

жидкости, величина an = 3nn++11 является коэффициентом индекса течения.

С учетом модели (1), (2) построим функцию

Φ(ξ,п) = ∆рН / ∆р0 ,

(3)

выражающую отношение максимальных скачков давления, возникающих при гидроударе, соответственно для случая неньютоновской жидкости (n ≠ 1) и упруго деформируемого трубопровода и для случая ньютоновской жидкости (n = 1) и абсолютно жесткого трубопровода. При этом использована известная формула Жуковского, которая для указанных случаев дает соотношения:

p Н = ρ c v , ∆p 0 = ρ c0 v0 .

(4)

Величины скачкообразного изменения скорости ∆v

и ∆v0

определяются исходя из распределения скорости (2), что приводит к следующим зависимостям:

v = vmax (r) = an vср , ∆v0 = 2vср .

На рис. 1 представлен вид функции (3) для трех значений индекса течения, соответствующих дилатантной, ньютоновской и псевдопластичной жидкостям. Видно, что при увеличении параметра деформации максимальный скачок давления уменьшается, поскольку часть энергии волны гидроудара идет на деформацию стенок трубопровода.

7

Рис. 1. Зависимость функции, определяющей максимальный скачок давления при гидроударе, от параметра деформации

Уравнение, отражающее нестационарный процесс затухания головного скачка давления на фронте волны гидроудара, может быть получено путем интегрирования уравнения характеристик, являющегося основой для решения задач о неустановившихся течениях жидкости [1]. Находим решение с учетом начального условия, выражаемого первым уравнением (4), которое имеет вид

 

 

 

λvср

 

 

 

p(t) = ∆pН

exp

 

t

,

(5)

8R

 

 

 

 

 

 

т.е. скачок давления на фронте волны гидравлического удара затухает экспоненциально с течением времени. Из полученной формулы (5) следует, что в трубопроводах большого диаметра интенсивность волны, вызванной гидравлическим ударом, затухает медленнее, чем в трубопроводах малого диаметра. Это обусловлено разницей в объеме жидкости, в котором происходит диссипация энергии.

Коэффициент гидравлического сопротивления λ для ламинарного течения неньютоновской жидкости в круглой трубе находится по формуле

λ = λ(n) =

8

 

6n + 2 n

 

 

 

 

 

,

(6)

 

 

 

Ren

n

 

 

где Ren = ρ· (vkср )2n (2R)n – обобщенное число Рейнольдса. Вид функции (6)

для vср = 1м/с, ρ= 870 кг/м3 , R = 0,5 м, k = 1Па cn показан на рис. 2. При увеличении индекса течения жидкости n увеличивается коэффициент гидравлического сопротивления λ, что обусловлено перестройкой структуры неньютоновской жидкости, являющейся неоднородной, и возрастанием трения на стенке трубы.

8

Рис. 2. Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления (λ · 10 2 ) от индекса течения

Величину, входящую в уравнение (5) и имеющую размерность времени:

τ = 8R ,

λvср

можно рассматривать как характерное время затухания скачка давления. Зависимость τ = τ(n) в рассматриваемом диапазоне значений индекса течения будет монотонно убывающей, что обусловлено соответствующим характером изменения коэффициента гидравлического сопротивления λ= λ(п) . Отсюда вытекает, что скорость экспоненциального затухания

волны гидроудара будет наиболее значительной для дилатантных жидкостей, для которых характерное время затухания будет наименьшим. Данный вывод подтверждается расчетными графиками (рис. 3), построенными в соответствии с уравнениями (5), (6) для того же тестового примера, что и зависимость (см. рис. 2).

Рис. 3. Затухание волны давления

Представленные в статье расчетные данные могут быть использованы для приближенной оценки возможного превышения допустимых норм ударного давления в трубопроводе, что может привести к необратимым повреждениям и возникновению аварийной ситуации.

9

Разработанная модель может быть уточнена и дополнена рядом факторов, которые, как показывают оценки, являются менее существенными по сравнению с рассмотренными выше. К таким факторам следует отнести учет присоединенной массы, обусловленной тем, что в нестационарных процессах инерционные свойства жидкости в трубопроводе характеризуются измененным значением плотности ρ(x,t), которая возрастает на некоторую добавочную величину. При этом амплитуда ∆p гидравлического удара, как показывают

расчеты, увеличится в α раз. Коэффициент присоединенной массы для ламинарных течений α≈ 1,33, таким образом, поправка составит 15 %.

Список литературы

1.Лурье М.В. Математическое моделирование процессов трубопроводного транспорта нефти, нефтепродуктов и газа / М.В. Лурье. – М.: Изд-во РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2003. – 336 с.

2.Знаменский В.А. Течения неньютоновских жидкостей: учеб. пособие / В.А. Знаменский. – Воронеж: Изд-во Воронеж. гос. ун-та, 1980. – 56 с.

3.Беспрозванных В.Г. Модель диссипации энергии в неньютоновской жидкости / В.Г. Беспрозванных, А.В. Юрин // Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика. – 2007. – № 8(10). – С. 84–89.

Получено 28.08.2008.

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]