524

Изменение любого из факторов, определяющих обмен веществ, приводит к различным патологическим проявлениям [2]. Поэтому необходимо изучать строение и функции микроциркуляторного русла, что позволит предотвратить многие заболевания или быстро излечить их на начальной стадии, а значит, не нарушить функционирование важных органов.

Для того чтобы выяснить причины нарушения функций микроциркуляторного русла, необходимо построить математическую модель кровотока в тканевой области.

Математическое моделирование течения интерстициальной жидкости

Для оценки механических параметров артериальных стенок, костей и хрящей широко применяют обобщенную модель Био [3]. Согласно данной модели считается, что биологическая ткань состоит из пористого упругого матрикса, наполненного жидкостью. Для описания пороупругой ткани используют законы сохранения массы и момента для упругого матрикса, обобщенный закон Дарси для течения жидкости в пористой среде [4].

Ткань подчиняется линейному определяющему соотношению

121

где φ = const – объемная часть жидкости (пористость) в недеформированной

ткани; V – скорость течения интерстициальной жидкости относительно пор тканевого матрикса.

Используя (2), получаем

Относительная скорость интерстициальной жидкости и матрикса связываются с градиентом давления в порах ткани при помощи обобщенного закона Дарси:

где K – влагопроводимость ткани. После преобразования уравнений (5), (7) и (8), получаем

Рассмотрим математическую модель стационарного двумерного течения интерстициальной жидкости в ткани. Будем рассматривать конечную тканевую область, окружающую одиночный кровеносный капилляр (рис. 1).

Рис. 1. Капилляр и тканевая область

Поскольку стенки артериолы и венулы считаются непроницаемыми, значит, в ткани нет аксиального течения при x = 0 и x = L . Согласно закону Дарси (8), из отсутствия течения следует отсутствие изменения давления

122

в этом направлении. Таким образом, имеем условия на боковых границах

На границе между капилляром и тканью имеет место условие, которое описывает течение жидкости через стенку капилляра по закону Старлинга [5]:

где Rc – радиус капилляра; Rreg – радиус тканевой области; L – длина капилляра; φ – пористость ткани; Lp – гидравлическая проводимость стенки

давление в капилляре на артериальном и венозном концах соответственно; P0 – результирующее онкотическое давление.

Это смешанная задача Лапласа с граничными условиями второго и третьего рода. Ее решение находится с помощью методов математической физики [6] и имеет вид

123

в конечной тканевой области (рис. 2). При вычислениях использовались

Rc = 10 мкм, φ = 0,2.

Рис. 2. Распределение давления интерстициальной жидкости в конечной тканевой области

Распределение давления в тканевой области показывает, что давление вблизи капилляра в аксиальном направлении и на артериальном конце в радиальном направлении падает, а на венозном конце в радиальном направлении возрастает. На границе тканевой области в аксиальном направлении изменений практически не наблюдается.

Характер распределения скоростей течения интерстициальной жидкости (рис. 3) определяется с помощью закона Дарси:

Вблизи капилляра наблюдаются самые высокие скорости течения интерстициальной жидкости, которые способствуют наиболее интенсивному обмену веществ, а на границе тканевой области течение практически отсут-

124

ствует. По рис. 3 видно, что на артериальном конце капилляра происходит фильтрация, т.е. переход жидкости из внутрисосудистого пространства в интерстициальное, а на венозном – реабсорбция, т.е. движение жидкости из интерстициального пространства во внутрисосудистое.

Рис. 3. Поле скоростей течения жидкости для конечной тканевой области

Проследим, как изменяется объемная скорость фильтрации, определяемая формулой

Рис. 4. Объемная скорость фильтрации в зависимости от радиуса конечной тканевой области

По рис. 4 видно, что при увеличении радиуса тканевой области объемная скорость сначала резко возрастает, а после достижения определенной величины практически не изменяется. Таким образом, для органов с густой капиллярной

125

сетью необходимо использовать модель с конечной тканевой областью, окружающей кровеносный капилляр. При этом необходимо относиться очень внимательно к выбору размера тканевой области, используя для этого экспериментальные данные. Для органов, где расстояние между капиллярами на порядок превышает диаметр капилляра, можно использовать модель бесконечной тканевой области, представленную ранее [7].

Следует отметить, что объемную скорость фильтрации можно использовать для сравнения модели с экспериментальными данными, полученными методом компьютерной капилляроскопии.

В данной работе рассмотрена математическая модель биологической ткани, окружающей кровеносный капилляр, с учетом транскапиллярного обмена. Решена задача стационарного двумерного течения интерстициальной жидкости в ткани.

Список литературы

1.Физиология кровообращения: физиология сосудистой системы / под ред. Б.И. Ткаченко. – Л.: Наука, 1984. – 652 с. – (Руководство по физиологии).

2.Старцева Ю.В. Микроциркуляторное русло человека при заболеваниях, требующих хирургического вмешательства / Ю.В. Старцева, В.А. Черкасов, И.В. Долгалева. – М., 2004. – 21 c.

3.Peter J. Basser. Interstitial Pressure, Volume, and Flow during Infusion into Brain Tissure / Peter J. Basser. – 1992. – 160 с.

4.Darcy H. Les Fountaines Publiques de la Ville de Dijon, Dalmont / H. Darcy. – Paris, 1856. – 160 p.

5.Starling E.H. On the adsorbtion of fluid from interstitial spaces / E.H. Starling // J Physiol. – 1896. – No. 19. – P. 312–326.

6.Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов,

А.А. Самарский. – М., 1990. – 200 с.

7.Шабрыкина Н.С. Математическое моделирование микроциркуляторных процессов / Н.С. Шабрыкина // Российский журнал биомеханики. – 2005. – Т. 9. – № 3. – C. 70–88.

Получено 16.09.2008.

126

УДК 583+620.5

В.С. Постников

Пермский государственный технический университет

ИЗМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО СТРОЕНИЯ КОМПОНЕНТОВ СТРУКТУРЫ ПОВЕРХНОСТНОГО СЛОЯ МЕТАЛЛОВ ПРИ ИМПУЛЬСНОЙ ЛАЗЕРНОЙ ОБРАБОТКЕ

На основе анализа интенсивности рентгеновских дифракционных максимумов показано изменение распределения электронной плотности в элементах структуры поверхностного слоя стали 45 после импульсного лазерного модифицирования. Установлено повышение локализации электронов на атомах твердого раствора, связанное с двойным характером растворения бора в сплавах на основе железа. Делокализация электронов в бориде Fe2B обосновывается вакансионным пересыщением решетки борида.

Структура слоя, получаемая в результате лазерного модифицирования поверхности металлов и сплавов, по своим характеристикам значительно отличается от структур металлических сплавов, полученных традиционными способами [1–3]. Это обусловлено тем, что процесс формирования структуры протекает с очень высокими скоростями нагрева и охлаждения. При этом образуются твердые растворы, значительно пересыщенные легирующими элементами, интерметаллидные соединения, а также карбиды, бориды и другие химические соединения, состоящие из металлических и неметаллических атомов.

Высокие скорости охлаждения, ограниченный временной интервал кристаллизации накладывают отпечаток на строение структурных компонентов лазерного слоя. Структурные компоненты, формирующиеся в пределах зоны легирования модифицированного слоя, отличаются очень высокой дисперсностью. Твердые растворы в модифицированных слоях сильно пересыщены. Кроме того, значительная степень пересыщения твердых растворов сочетается с высокой концентрацией дефектов кристаллической решетки, остающихся в структуре твердых растворов вследствие высокой скорости охлаждения из жидкого состояния.

Интерметаллидные и химические соединения, несмотря на почти стехиометрический состав и близкие к табличным значениям параметры кристаллической решетки, также должны отличаться от соединений, образо-

127

ванных в равновесных условиях. Все эти отличия заставляют более внимательно подойти к изучению структурных компонентов поверхностных слоев, образующихся в результате лазерного воздействия на поверхность металлов

исплавов.

Внастоящей работе методом анализа интенсивности рентгеновских дифракционных максимумов проводилось исследование особенностей электронного строения структурных компонентов поверхностных слоев, полученных импульсным лазерным модифицированием поверхности стали 45 на лазерной технологической установке «Квант-15» с использованием композиций, содержащих бор и углерод. Дифрактограммы поверхностных слоев были получены на рентгеновском дифрактометре ДРОН-2 в монохроматизированном медном Kα-излучении. Интенсивность дифракционных максимумов усреднялась по трем дифрактограммам с одной поверхности. Оценочные расчеты распределения электронной плотности в элементарной ячейке были выполнены для твердого раствора на основе α-Fe и для борида железа Fe2B, интенсивность дифракционных максимумов которого по сравнению с другими структурными компонентами можно было измерить на дифрактограммах лазерного слоя наиболее достоверно. Центросимметричное кристаллическое строение этих структурных компонентов позволяет использовать для вычислений наиболее простую процедуру, при которой в суммировании участвуют только действительные части структурной амплитуды.

Анализ дифрактограмм лазерных слоев показывает, что в пределах одной фазы меняется соотношение интенсивностей рентгеновских дифракционных максимумов (таблица). Для α-твердого раствора в структуре углеродистой стали в исходном состоянии соотношение интенсивностей отражений от различных плоскостей практически не отличается от стандартного

соотношения для чистого α-Fe. На рентгенограммах α-твердого раствора

вповерхностном слое стали 45, полученного лазерным модифицированием

с помощью легирующих составов 100 % В4С и 50 % В4С + 50 % Cr, заметно увеличение относительной интенсивности рефлексов (200), (211) и (220) при некотором уменьшении относительной интенсивности рефлексов (310). В то же время лазерное модифицирование поверхности стали с помощью карбида хрома Cr3C2 не приводит к существенным изменениям относительной интенсивности линий α-твердого раствора. Это свидетельствует о том, что бор,

вотличие от углерода, довольно значительно изменяет распределение электронной плотности в элементарной ячейке твердого раствора.

128

Изменение интенсивности рентгеновских максимумов α-твердого раствора при лазерном модифицировании

* – табличные данные.

Распределение электронной плотности в элементарной ячейке α-Fe (рис. 1) показывает, что основная часть электронов атома сконцентрирована вблизи базисных узлов кристаллической решетки. В то же время в соответствии с конфигурацией поверхности Ферми некоторая часть электронов вытягивается вдоль базисных направлений {100}, образуя тем самым непрерывный электронный каркас кристаллической решетки. При этом в центре октаэдрической поры имеется небольшое увеличение электронной плотности.

Рис. 1. Распределение электронной плотности вдоль направления [100] (а)

ипроекция распределения электронной плотности на базисную плоскость (б) в α-Fe

Вкристаллической решетке борида железа Fe2B, типичном представителе фаз внедрения, распределение электронов в пространстве элементарной ячейки значительно более сложное (рис. 2), а плотность

129

электронов в центре октаэдрической поры значительно выше, чем в элементарной ячейке α-Fe. Вследствие более жесткой s-p-гибридизации и, как следствие, высокой локализации электронов на атомах непрерывность электронного каркаса сохраняется только вдоль базисного направления [001] (рис. 3). При этом вблизи центра тетраэдрической поры возникают небольшие максимумы электронной плотности. Очевидно, что и максимумы вблизи центра тетраэдрической поры, и повышенная электронная плотность в центре октаэдрической поры связаны со структурно ориентированным бором в кристаллической решетке Fe2B.

Рис. 2. Распределение электронной плотности вдоль направления [100] (а)

и проекция распределения электронной плотности на базисную плоскость (б) в Fe2B

Рис. 3. Проекция распределения электронной плотности на плоскость (110)

в α-Fe (а) и Fe2B (б)

130