524

УДК 517.977.58

А.М. Бояршинов

Пермский государственный технический университет

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ЦЕННЫХ БУМАГ: «ТЕОРИЯ ПОРТФЕЛЯ» МАРКОВИЦА

ИЕЕ СОВРЕМЕННОЕ РАЗВИТИЕ

Встатье сделан аналитический обзор моделей и методов управления инвестиционным портфелем, представляющих собой развитие классической теории портфеля Г. Марковица.

Представлены постановка и методика решения динамической многокритериальной задачи оптимального управления портфелем ценных бумаг путем сведения ее к задаче дискретного управления.

Формирование функций доходности и риска осуществляется на основе статистического анализа траекторий цен финансовых инструментов. Выбор критериев оптимизации осуществляется на основании исследования построенного множества Парето. Частные задачи условной оптимизации решаются с помощью методов нелинейного программирования.

1.Модели классической портфельной теории и современные модели в управлении инвестиционным портфелем

Математическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг впервые была предложена Гарри Марковицем в 1952 г. [1]. В статье «Выбор портфеля» представлена теоретико-вероятностная формализация понятий «риск» и «доходность», что позволило сформулировать задачу формирования оптимальной структуры портфеля как задачу оптимизации.

Пусть xi – доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг i-го вида; mi – средняя ожидаемая доходность бумаги i-го вида, Vij – ковариация

доходностей ценных бумаг i-го и j-го вида.

В классическом варианте задача Марковица формулируется следующим образом: найти xi , минимизирующие дисперсию доходности, называемую также риском портфеля,

Vp = ∑ xi xjVij

i, j

11

при условии, что обеспечивается заданное значение доходности портфеля

mp = ∑ximi .

i

В качестве ограничения на параметры оптимизации выступает условие

∑xi = 1 .

i

Сматематической точки зрения предложенная им стратегия относится

кклассу задач квадратичной оптимизации при линейных ограничениях.

В1963 г. Уильям Шарп [2, 3] предложил регрессионную модель рынка капиталов с одним индексом (the single-index model), названную однофакторной моделью, на основе которой оптимизация портфеля осуществляется при помощи решения линейной оптимизационной задачи.

Вэтой модели впервые были введены коэффициенты «альфа» и «бета»

вкачестве характеристик инструментов. К 1970-м гг. развитие программирования, а также совершенствование статистической технологии оценивания показателей «альфа» и «бета» ценных бумаг и индекса доходности рынка в целом привело к появлению первых пакетов программ для решения задач управления портфелем ценных бумаг.

Дальнейшее развитие «портфельная теория» получила в работах Джеймса Тобина [4], который проанализировал адекватность характеристик активов в теории Марковица, а также предложил включить в портфель безрисковые активы, например государственные облигации.

В1960-х гг. с опубликованием работ [5, 6] начался еще один этап

втеории инвестиций, характеризующийся моделью оценки капитальных активов (Capital Asset Price Model) CAPM, в которой было установлено соотношение между доходностью и риском активов для равновесного рынка. Связь между доходностью и риском предполагалась линейной, таким образом, было формализовано эмпирическое утверждение: «чем больше доходность, тем больше риск». В этих работах риск представлен двумя составляющими: систематической и несистематической. При выборе оптимального портфеля инвестор должен учитывать не весь риск, связанный с активом (риск по Марковицу), а только часть его, называемую систематическим, или недиверсифицируемым, риском. Эта часть риска актива связана с общим риском рынка в целом и количественно представляется коэффициентом «бета». Остальная часть (так называемый несистематический, или диверсифицируемый, риск) устраняется выбором соответствующего (оптимального) портфеля.

12

Портфельная теория использовала простейшие методы теории вероятностей и теории оптимизации: управление инвестициями осуществлялось посредством составления оптимального портфеля – набора ценных бумаг, взятых в пропорциях, обеспечивающих максимальное математическое ожидание дохода при заданном ограничении риска, определяемого как дисперсия дохода. При этом делались существенные допущения. Теория Марковица предполагает стационарную модель рынка с нормальным распределением характеристик инструментов и, как следствие, статичный алгоритм принятия решений: решение о структуре портфеля принимается один раз в начале периода управления.

Основными достижениями портфельной теории вместе с теорией рационального выбора Дж. фон Неймана, О. Моргенштерна [7] являются:

–положение о том, что факторы поведения финансового рынка имеют нормальное распределение;

–определение риска как дисперсии доходности инвестиционного портфеля;

–оптимальная одношаговая (однопериодная) стратегия управления инвестиционным портфелем, которая является решением задачи математического программирования с целью максимизации дохода или минимизации риска;

–открытие диверсификации – снижения риска портфеля при помощи инвестиций в отрицательно коррелированные инструменты.

Идея многошагового динамического хеджирования появилась в работах по теории расчета опционов Блэка – Шоулса [8]. В основе лежит теория эффективного рынка и связанная с ней модель «случайного блуждания» рыночных цен активов [9, 10]. Модель построена на возможности осуществления сделки с одновременным использованием акции и выписанным на нее опционом. На основе этих идей впоследствии сформировалась новая наука – финансовая математика.

Основные допущения, использованные в указанных работах: рынок описывается случайными процессами типа броуновского движения; на рынке можно осуществить безрисковые инвестиции.

Современное развитие методологии управления инвестициями происходит в двух основных направлениях. В рамках первого из них авторы реализуют формальные математические постановки и методы решения задач оптимального управления динамическими системами [11], опираясь на предположения классической теории «оптимального портфеля» или уточняя их

спомощью современных статистических методов обработки данных [12, 13].

13

В качестве второго направления можно назвать тенденцию к использованию для принятия решений качественных методов анализа поведения рынка, например технического анализа [14]. Стоит отметить также методики управления инвестициями, сочетающие математические модели с неформализуемыми методами, как, например, метод экспертных оценок [15].

Традиционная статистическая методология основывается на предположении, что множество текущих значений доходностей является реализацией случайного стационарного процесса, следовательно, будут неизменными во времени моментные характеристики: математическое ожидание и дисперсия доходности (риск).

Современное развитие классической теории в направлении статистических и эконометрических методов представляют концепция измерения риска Value-at-Risk, опирающаяся на статистические свойства траекторий цен финансовых инструментов [16, 17, 18], а также эконометрические модели, например ARCH и GARCH [16], учитывающие отличие распределений цен рыночных активов от нормального.

2. Постановка задачи управления инвестиционным портфелем

Предлагаемая модель управления инвестиционным портфелем определена на дискретной шкале времени; в качестве единицы измерения времени принят один день.

Решение задачи управления проводится на отрезке времени [0,T ] ,

разбитом на несколько «периодов инвестирования» одинаковой длины ∆. Управления применяются к структуре портфеля в начальной точке каждого периода инвестирования.

Для описания модели определим следующие величины:

x(t) = (x1(t), x2 (t), ..., xn (t)) – вектор, компоненты которого представ-

ляют собой количественные объемы позиций портфеля по соответствующим инструментам в момент времени t (компоненты вектора x в любой момент времени могут принимать только неотрицательные значения);

n– число инструментов (видов акций), допущенных к включению

впортфель;

p(t) = ( p1(t), p2 (t), ..., pn (t)) – вектор, компонентами которого являются

значения рыночных котировок соответствующих инструментов в момент времени t;

C(t) – остаток свободных денежных средств в портфеле в момент времени t;

14

Σ(t) = S(x(t), p(t),C(t)) – денежное выражение стоимости портфеля в момент времени t;

U (x(t),C(t), p(t + ∆),Y (t + ∆), R(t + ∆)) = (u1 (t + ∆), ...,un (t + ∆)) = u (t + ∆) –

вектор управления;

Y (t) =Y (x(t −∆),C(t −∆), p(t − k), ..., p(t)) – функция доходности; R(t) = R(x(t −∆),C(t −∆), p(t − k), ..., p(t)) – функция риска;

k – временной интервал статистической выборки исторических данных для расчета параметров управления.

Считаем, что значения вектора p определяются рыночной конъюнктурой (внешней средой).

Денежное выражение стоимости портфеля задается следующим образом:

где ∆ – длина периода инвестирования, как определено выше. Экономический смысл управления u(t) – приращения объемов

позиций по инструментам на начало периода инвестирования [t;t + ∆] .

В системе присутствуют следующие ограничения, накладываемые при расчете управления u(t + ∆) :

Содержательный смысл ограничения (3) состоит в том, что устанавливаемая на период инвестирования структура портфеля должна по стоимости в точности соответствовать рыночной оценке стоимости портфеля на момент принятия решения (с учетом свободных наличных денег).

15

Ограничения в виде неравенств (4) и (5) являются ограничениями, устанавливаемыми контролирующими органами.

В качестве критериев оптимизации служат две функции: функция доходности Y (t) максимизируется и функция риска R(t) минимизируется.

2.1. Определение функции риска

Методы определения риска подробно рассмотрены и проанализированы встатьях [19, 20]. По результатам исследования был сделан вывод, что для расчета риска инвестиционного портфеля на российском фондовом рынке наиболее подходящимявляется методвариаций-ковариаций(параметрическийVaR).

Функция риска R(t) определяется как значение Value-at-Risk для

портфеля, рассчитанное параметрическим методом с экспоненциально взвешенной ковариационной матрицей при временном горизонте, равном длине одного периода инвестирования:

где q1−α – квантиль нормального распределения уровня α; Mc – матрица

ковариации доходностей инструментов портфеля; L – вектор-столбец эластичностей (чувствительностей абсолютных изменений доходности портфеля по отношению к изменению доходностей инструментов).

Подход Value-At-Risk дает прогноз потенциального снижения стоимости рыночной позиции на текущий период инвестирования.

2.2. Определение функции доходности

Функция доходности Y (t) определяется как математическое ожидание

доходности портфеля на периоде, соответствующем длине периода управления.

Доходность портфеля за период управления y∆ (t) рассчитывается в соответствии с формулой (1) следующим образом:

Функция доходности определяется равенством

где k – объем выборки исторических доходностей портфеля.

16

С помощью данной функции производится прогнозирование ожидаемой доходности портфеля на один период инвестирования.

Окончательно задача управления инвестиционным портфелем на отрезке времени [0,T ] может формулироваться следующим образом.

Найти управления u(t) , обеспечивающие соответственно min и max

функциям риска (6) и доходности (7) при выполнении уравнений связи (2) и ограничений типа равенств (3) и неравенств (4) и (5).

3. Методика решения задачи управления

Предлагаемая методика сводит решение поставленной задачи оптимального управления к последовательному решению ряда задач условной оптимизации.

Первым шагом решения является определение набора ценных бумаг для включения в портфель. Здесь можно руководствоваться различными принципами: такими, какие описаны в статье [20], или иными, по усмотрению лица, принимающего решение.

Следующий шаг после выбора инструментов состоит в нахождении множества Парето [21].

Начальный этап приближенного построения множества Парето – определение структуры портфеля, соответствующей минимальному риску Rmin (условие оптимизации R(t) → min ) и структуры, соответствующей

максимальной доходности Ymax (условие −Y (t) → min ).

Следующий этап – выбор точности расчета множества Парето. Выбирается желаемое число точек множества и на основании этого выбора

заданной доходности.

Каждая из задач условной оптимизации решается методом штрафных функций с использованием метода Нелдера – Мида [22].

Итогом данного этапа будет построенное с заданной точностью множество Парето, с помощью которого может приниматься решение относительно критерия формирования портфеля на текущий период инвестирования.

17

Оптимизация структуры портфеля производится с помощью решения следующей задачи условной оптимизации:

где R0 , Y0 – предельно допустимый риск и наименьшая желаемая доходность соответственно. В реальных задачах к ограничениям задачи (8) добавляются ограничения вида (3)–(5). Параметры γ, Y0 , R0 выбираются

лицом, принимающим решение, на основании анализа построенного множества Парето.

В результате решения данной задачи формируется оптимальная структура портфеля на текущий период инвестирования. С наступлением следующего периода инвестирования вся последовательность шагов повторяется. При этом критерий оптимальности для формирования портфеля пересматривается на каждом частичном периоде инвестирования.

Список литературы

1.Markowitz H.M. Portfolio Selection / H.M. Markowitz // Journal of Finance. – 1952. – № 7(1). March. – P. 77–91.

2.Шарп У.Ф. Инвестиции / У.Ф. Шарп, Г.Дж. Александер,

Дж.В. Бэйли. – М.: Инфра-М, 1997. – 1024 с.

3.Sharp W.F. Portfolio Theory and Capital Markets / W.F. Sharp. – N.Y.: McGraw-Hill, 1970. – 176 p.

4.Tobin J. The Theory of Portfolio Selection / J. Tobin // F.H. Hahn and F.R.P. Brechling (eds). The Theory of Interest Rate. – London: Macmillan, 1965. – P. 3–51.

5.Mossin J. Equilibrium in a Capital Asset Market / J. Mossin // Econometrica. – 1966. – October. 34(4). – P. 768 –783.

6.Sharp W.F. Capital Asset price: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk / W.F. Sharp // Journal of Finance. – 1964. – September. 29(3). – P. 425–442.

7.Фон Нейман Дж. Теория игр и экономическое поведение / Дж. Фон Нейман, О. Моргенштерн. – М.: Наука, 1970. – 709 с.

8.Black F. The Pricing of Options and Corporate Liabilities / F. Black,

M. Scholes // Journal of Political Economy. – 1973. – May/June. 81(3). – P. 61–80.

18

9. Cootner P.H. The Random Character of Stock Market Price / P.H. Cootner. – Cambridge (Mass.): MIT Press, 1967. – 232 p.

10.Samuelson P.A. Proof that properly anticipated prices fluctuate randomly / P.A. Samuelson // Industrial Management Review. – V. 6. – 1965. – P. 28–40.

11.Жижилев В.И. Оптимальные стратегии извлечения прибыли на рынке FOREX и рынке ценных бумаг / В.И. Жижилев. – М.: Финансовый консультант, 2002. – 280 с.

12.Ширяев В.И. Модели финансовых рынков. Оптимальные портфели, управление финансами и рисками / В.И. Ширяев. – М.: КомКнига, 2007. – 216 с.

13.Solojentsev E.D. Scenario Logic and Probabilistic Management of Risk in Business and Engineering / E.D. Solojentsev. – Springer, 2004. – 391 p.

14.Томас Р. Демарк. Технический анализ – новая наука / Томас Р.

Демарк. – М.: Евро, 2008. – 280 с.

15.Бершадский А.В. Статистическая модель рыночных событий / А.В. Бершадский // Исследовано в России. – 2002. – 132. – С. 1476–1488.

Режим доступа: http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/132.pdf.

16. Энциклопедия финансового риск-менеджмента / под ред. А.А. Лобанова и А.В. Чугунова. – М.: Альпина Паблишер, 2003. – 786 с.

17.Gordon J.A. Active portfolio management with benchmarking: Adding a value-at-risk constraint / J.A. Gordon, A.M. Baptistab // Journal of Economic Dynamics & Control. – 32 (2008). – P. 779–820.

18.Hung-Hsi Huang. Comment on «Optimal portfolio selection in a value- at-risk framework» / Hung-Hsi Huang. // Journal of Banking & Finance. – 29 (2005). – P. 3181–3185.

19.Бояршинов А.М. Математическое моделирование оценки

рыночного риска в условиях российского фондового рынка / А.М. Бояршинов // Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика /

Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь. – 2006. – С. 43–50.

20. Boyarshinov A.M. Mathematical methods of market risk valuation in application to Russian stock market / A.M. Boyarshinov // Society for Computational Economics: Economics and Finance 2006, article no. 127. Режим доступа: http://econpapers.repec.org/paper/scescecfa/127.htm.

21. Ногин В.Д. Основы теории оптимизации / В.Д. Ногин, И.О. Протодьяконов, И.И. Евлампиев. – М.: Высшая школа, 1986. – 384 с.

22. Реклейтис Г. Оптимизация в технике: в 2 кн. Кн. 1 / Г. Реклейтис, А. Рейвиндран, К. Рэгсдел. – М.: Мир, 1986. – 351 с.

Получено 22.09.2008.

19

УДК 612.17

В.В. Бурдин

Пермский государственный технический университет

МОДЕЛЬ, ИНТЕРПРЕТИРУЮЩАЯ ДАННЫЕ ВЕКТОРКАРДИОГРАФИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Основными показателями метода векторкардиографических исследований (ВКГ) являются величина и направление суммарной ЭДС сердца. До сих пор динамика изменения этих показателей не достаточно хорошо изучена и результаты ВКГ-исследований редко применяются на практике. На примере простейшей модели фазы возбуждения миокарда интерпретированы формы графиков зависимости суммарной ЭДС сердца и ее производной от времени. Показано, что два максимума производной ЭДС за период возбуждения могут быть обусловлены геометрией распространения фронта возбуждения. Полученные выводы актуальны в связи с перспективой улучшения диагностики оценки структуры миокарда методом ВКГ или на основе комбинированного применения методов ЭКГ и ВКГ.

Изучение электрической активности сердца является ведущим методом оценки состояния сердечной мышцы (миокарда). Чаще всего применяются электрокардиографические методы (ЭКГ). Однако существует мнение о «методическом насыщении» ЭКГ, т.е. достижении им как методом предельно возможной, не улучшаемой далее диагностической информативности. Векторкардиографический метод исследования сердца (ВКГ) имеет большие возможности в количественной оценке электрической активности миокарда при патологии. Он позволяет судить о динамике изменения величины и направления суммарного дипольного момента, генерируемого в сердечной мышце на фазе возбуждения (деполяризации), и оценивать структуру миокарда [1]. Несмотря на то, что метод не новый, в литературе практически отсутствуют данные об интерпретации полученных данных и тем более о диагностике на основе этих данных. До

20