524

моля. Линейный размер области взрывчатого вещества, содержащей 1 моль, не превышает 1 см, что по порядку величины совпадает сэкспериментальными значениями предельного диаметра взрывчатого вещества [2]. На рис. 2 изображена зависимость скорости детонации D от диаметра прутка заряда взрывчатого вещества. При d ≥ dпред детонация стационарная и скорость детонации D = const. При d < dкрит детонация не возбуждается и D = 0. При увеличении диаметра прутка от 0 вплоть до d = dкрит впервые возникает устойчиваядетонация. Этозначениедиаметраназываюткритическим. В интервале dкрит ≤ d ≤ dпред скорость детона-

ции плавно возрастает до постоянного значения. Из опытов известно [2, 3], что

4. При взрывчатом превращении обязательно должны произойти разрывы некоторых связей в молекулах. Для типичных штатных взрывчатых составов значение энергии разрыва связей составляет несколько электронвольт на связь или несколько десятых долей мегаджоулей на моль [4, 5]: n · 105 Дж/моль, 1 < n < 10, по-прежнему. Следовательно, плотность энергии, необходимой для разрыва связей, w = n·108 Дж/м3. Более детальная проработка такого подхода позволяет разработать [6] двухпараметрический критерий возбуждения взрыва в заряде высокоэнергетического материала:

wтепл ≥ 5 108 Дж/м3;

d ≥ 1v ; [v] = мс,

где wтепл – объемная плотность тепловой энергии, Дж/м3; d – размер области материала, в которой возбуждается взрыв, м; v – скорость распространения фронта выделения энергии, м/с.

Если либо wтепл < 5 · 108 Дж/м3, либо dv < 1, то вместо устойчивой детонации в материале происходит возгорание. Последнее, в частности, экспериментально подтверждено [7] при облучении образцов твердых ракетных топлив СВЧ-излучением.

91

Список литературы

1.Рыбаков Н.А. Материалы при воздействии чрезвычайно интенсивных и кратковременных нагрузок / Н.А. Рыбаков // Вестник ПГТУ. Аэрокосмическая техника. – 2004. – № 20. – С. 35–40.

2.Андреев К.К. Теория взрывчатых веществ / К.К. Андреев, А.Ф. Беля-

ев. – М.: Оборонгиз, 1960. – 596 с.

3.Жуков Б.П. Энергетические конденсированные системы. Краткий энциклопедический словарь / Б.П. Жуков. – Москва: Янус – К, 1999. – 596 с.

4.Мищенко К.П. Краткий справочник физико-химических величин / К.П. Мищенко, А.А. Равдель. – Ленинград: Химия, 1983. – 182 с.

5.Cubota H. Rockets propellants and explosives / H. Cubota. – Tokyo: Nikkau Kodyo Press, 2001. – 250 p.

6.Двухпараметрический критерий возбуждения взрыва либо горения зарядов высокоэнергетических материалов / В.В. Ильин [и др.] // Пожаровзрывобезопасность. – 2008. – Т. 17.

7.Экспериментальное исследование воздействия СВЧ-излучения на образцы топлива твердотопливных ракетных двигателей / А.Н. Козлов [идр.] // Известия Челябинского научного центра. – 2007. – № 4(38). – С. 14–18. –

Режим доступа: http://www.csc.ac.ru/ej/issue/ru/45.

Получено 17.09.2008.

92

УДК 51.001.57+611-018.4

А.А. Киченко, В.М. Тверье

Пермский государственный технический университет

О ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧИ О ПЕРЕСТРОЙКЕ ТРАБЕКУЛЯРНОЙ КОСТНОЙ ТКАНИ

Трабекулярная костная ткань является неоднородным, анизотропным материалом, при этом ее механические свойства также анизотропны и зависят от внутренней структуры губчатой кости. Структурные особенности трабекулярной костной ткани можно описать посредством тензора структуры. Получено соотношение, позволяющее описывать напряженно-деформированное состояние губчатой костной ткани с учетом ее структуры. Рассмотрены эволюционные уравнения, описывающие адаптационные процессы, происходящие в кости. Полученные результаты в дальнейшем будут использованы при описании процессов перестройкикостнойткани.

Одной из основных целей современных исследователей в области скелетной биомеханики является интеграция анатомии и физиологии со структурой и поведением материалов. Многие задачи биомеханики требуют описания напряженно-деформированного состояния губчатой костной ткани

сучетом ее структуры. В частности, при постановке задач об определении напряженно-деформированного состояния в нижней челюсти человека необходимо учитывать не только неоднородность свойств твердых и мягких тканей, но и их внутреннюю структуру. Таким образом, необходимо иметь способ количественного описания формирующейся под воздействием изменяющегося биомеханического давления структуры костной ткани для различных отделов зубочелюстной системы [1].

Вданной работе будут рассмотрены соотношения, позволяющие описать напряженно-деформированное состояние губчатой костной ткани

сучетом ее структуры. Также будут рассмотрены эволюционные уравнения, позволяющие учитывать перестройку костной ткани под воздействием изменяющихся нагрузок и описывать адаптационные процессы, подчиняющиеся закону Вольфа.

Согласно закону Вольфа для костной ткани [2] трабекулы в живой губчатой кости располагаются закономерно, сообразно тому, какие внешние нагрузки испытывает данная кость. В связи с этим возникает необходимость

93

количественного описания микроструктуры кости. Однако прежде, чем говорить о математической интерпретации закона Вольфа, необходимо ввести специальную величину, позволяющую охарактеризовать структуру губчатой костной ткани, о чем будет сказано ниже. В настоящее время общепризнано, что для этого лучше всего подходит симметричный, положительно определенный тензор второго ранга: тензор структуры H [2].

Для построения тензора структуры необходимо определить среднее расстояние между порами (mean intercept length) L на полированной поверхности шлифа губчатой кости. В стереологии L позволяет описать степень анизотропии материала. На практике среднее расстояние между порами принято вычислять по следующей формуле:

где ∑l – суммарная длина тестовых линий; I(θ) – число пересечений между

границами кость – пора; AAb – относительная площадь кости на шлифе. Среднее расстояние между порами как функция направления Lb(θ) может быть аппроксимировано уравнением эллипса:

где индексы α и β (не суммировать!) обозначают оси eα и eβ соответственно в системе координат, введенной на плоскости костного шлифа eα – eβ, в которой проводятся измерения.

Известно [1, 2], что в любых трехмерных губчатых структурах Lb следует представлять в виде эллипсоида, т.е. Lb эквивалентно симметричному, положительно определенному тензору второго ранга: тензору анизотропии М. Тогда величины mαα, mββ, mαβ являются компонентами тензора анизотропии. Тензор структуры Н связан с тензором М функциональной зависимостью, а именно:

Рассмотрим тензор анизотропии для плоского случая:

94

соответствующих направлений θl. Тогда компоненты тензора анизотропии mαα, mββ и mαβ могут быть определены по следующим общим формулам:

где i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, k = 1, 2, 3. При этом должно выполняться условие

лизированной программы для обработки и анализа изображений Image Tool было проведено исследование ряда идеализированных тестовых и реальных костных структур. Полученные результаты описывали степень анизотропии исследованных структур с высокой точностью [1].

95

в своих механических свойствах. Если предположить, что вся анизотропия губчатой кости является следствием анизотропии ее трабекулярной структуры, т.е. матричный материал изотропен, то можно найти связь между тензором упругости и тензором структуры. Механические свойства трабекулярной кости также сильно зависят от ее пористости ν. В самом общем виде тензор напряжения σ является функцией тензора деформации ε, тензора структуры H и пористости ν:

Здесь мы имеем дело с тензорной функции σ двух тензорных аргументов ε и Н, а также скалярного инварианта ν.

Тензор структуры является симметричным тензором второго ранга, как и тензор малых деформаций. Если считать, что тензор напряжений также является симметричным, то, воспользовавшись теоремой Гамильтона – Кели [3], можно конкретизировать вид соотношения (8), описывающего

где Е – единичный тензор. В этом случае функции Iα также являются полиномиальными и зависят как от инвариантов тензоров-аргументов ε и H, так и от пористости ν:

Iα = Iα (ν, tr ε, tr ε2 , tr ε3 , tr Η, tr Η2 , tr Η3 ,

(10)

tr (ε Η2 ), tr (Η ε2 ), tr (ε2 Η2 )) .

Если предположить, что мы действуем в рамках линейной теории упругости, то соотношение (9) может быть записано как

σ = I0E + I1ε+ I3Η+ I4Η2 + I5 (ε Η+ Η ε) + I6 (ε Η2 + Η2 ε) , (11)

где полиномиальные функции Iα можно записать в общем виде:

Iα = Iα (ν, tr Η, tr Η2 , tr Η3 , tr ε, tr (ε Η), tr (ε Η2 )). (12)

При описании структуры костной ткани прежде всего интерес представляет ее относительная степень анизотропии [4]. Вследствие этого тензор структуры можно нормировать таким образом, что tr H = 1. В этом случае девиатор тензора Н, обозначенный как K, вычислялся как

96

Также введем величину е – изменение пористости материала относительно отсчетной величины ν0:

В этом случае с учетом введенных обозначений соотношение (11) может быть записано как

σ = β1E +β2ε+β3K +β4K2 +β5 (ε K + K ε) +β6 (ε K2 + K2 ε), (15)

где полиномиальные функции βα могут быть записаны в общем виде:

Далее, после подстановки функций βα в соотношение (15), было сделано следующее упрощение: в полученном соотношении были отброшены все слагаемые, чья общая степень превосходила n = 2. В результате подобного упрощения было получено следующее соотношение:

где g1–g6 – константы [4].

При описании адаптационных процессов, происходящих в кости сучетом ее внутренней структуры (при построении эволюционных соотношений, включающих в себя слагаемые, отображающие внутреннее строение кости), необходимо дать точную математическую форму записи для закона Вольфа. Закон Вольфа предполагает, что трабекулярная архитектура губчатой кости в локальной области структурно адаптировалась к местному напряженному состоянию костной ткани. В частности, установлено, что ориентация трабекул в данной области совпадает с главными направлениями тензора напряжений в этой же области [2]. Известно, что при изменении внешней нагрузки, оказывающей воздействие на кость, согласно закону Вольфа происходит перестройка костной ткани. Отсутствие перестройки в кости (равновесное состояние) предполагает наличие определенного набора условий, при которых нет никакой перестройки, резорбции или роста кости. Равновесное состояние характеризуется специфической архитектурой костной

97

ткани (ν0, Н0) и специфическим напряженно-деформированным состоянием кости (σ0, ε0). Отметим, что напряжения σ0 и деформация ε0 при отсутствии перестройки фактически являются диапазоном изменения напряжения идеформации, в пределах которых не происходит никакой перестройки кости; величины σ0 иε0 являются средними значениями.

Поскольку закон Вольфа отражает тот факт, что главные направления тензора напряжений при отсутствии перестройки совпадают с ориентацией трабекул в губчатой костной ткани, то в равновесном состоянии главные оси тензора напряжения σ0 должны совпадать с главными осями тензора структуры Н0, иначе говоря, тензоры должны быть соосными. Совпадение главных осей гарантированно в случае, когда скалярное произведение тензора напряжения σ0 и тензора структуры Н0 коммутативно, т.е. если

то главные оси означенных тензоров совпадают [2].

При описании напряженно-деформированного состояния кости, однако же, необходимо описывать не гомеостатическое состояние, а перестройку трабекулярной структуры, происходящую с течением времени. Таким образом, необходима такая математическая форма записи закона Вольфа, которая бы позволяла рассматривать не только отсутствие перестройки кости, но и саму перестройку, т.е. изменение Н (или K) и е с течением времени. Для этого были рассмотрены эволюционные уравнения, позволяющие описать перестройку костной ткани в соответствии с законом Вольфа [2, 4].

При построении эволюционных уравнений было необходимо учитывать изменение величин K и е, неизбежно происходящее при перестройке кости. Для этого были введены величины, характеризующие скорости изменения K и е, т.е. K и e . При этом K и e могут быть записаны в общем виде следующим образом:

K = K (K, ε, e),

(19)

e = e(K, ε, e),

где K = 0 и e = 0 при e = 0 −ν0 , e =1−ν0 , т.е. когда костный матричный материал полностью пропадает или заполняет весь объем исследуемого образца или при ε = ε0 .

98

Если предположить, что структура и изменение пористости непосредственно не влияют друг на друга [4], т.е. скорость изменения структуры зависит только от самой структуры и девиатора деформаций, а скорость изменения пористости – только от объемной плотности и объемной деформации, то соотношения (20) могут быть упрощены следующим образом:

и конкретизации функции (23), производилось упрощение, при котором были отброшены все слагаемые, чья общая степень превосходила n = 2.

99

где h1–h4 и f1–f3 – константы [4]. С учетом предположения (20) уравнения (24) и (25) могут быть упрощены следующим образом:

Полученные результаты в дальнейшем планируется использовать для описания напряженно-деформированного состояния в нижней челюсти человека и процессов перестройки костной ткани, например, эволюции и инволюции тела челюсти под воздействием нагрузок. В настоящее время ведется разработка алгоритма, позволяющего численно реализовать соотношения (17), (26) и (27).

Список литературы

1.Становление и развитие классической теории описания структуры костной ткани / А.А. Киченко [и др.] // Российский журнал биомеханики. – 2008. – Т. 12. – № 1. – С. 68–88.

2.Cowin S.C. Bone Mechanics Handbook. Second edition / S.C. Cowin. – New York: CRC Press, 2001. – 120 p.

3.Спенсер Э. Теория инвариантов / Э. Спенсер. – М.: Мир, 1974. – 270 с.

4.Cowin S.C. An evolution Wolff’s law for trabecular architecture / S.C. Cowin // J. Biomech. Engng. – 1992. – Vol. 114. – P. 129–136.

Получено 15.09.2008.

100