Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

m0936

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
7.46 Mб
Скачать

 

 

Продолжение прил. А

функции xn лежит ниже графика функции xk ,

а на каждом из промежут-

ков 1,

0 и 1, – выше;

 

а)

 

б)

Рис. А3. Графики степенных функций:

а – вида y = х2п, п N; б – вида y = х2п + 1, п N

в) графики функций вида y

1

, n N проходят через точки

x2n 1

 

 

1, 1, 1, 1 , неограниченно приближаются к оси абсцисс при x .

При стремлении независимой переменной к нулю справа график функции уходит в бесконечность, при стремлении к нулю слева – в минус бесконеч-

ность.

На рис. А4 показаны графики функций y

1

и y

1

;

x

x3

 

 

1

 

 

 

г)

графики функций вида y

, n N проходят

через точки

x2n

 

 

 

 

 

 

 

1, 1, 1, 1 , полностью лежат в верхней полуплоскости, неограниченно приближаются к оси абсцисс при x . При стремлении независимой переменной к нулю справа и слева график функции уходит в бесконеч-

ность. На рис. А5 показаны графики функций y

1

и y

1

;

x2

x4

 

 

 

271

Продолжение прил. А

Рис. А4. Графики функций

 

Рис. А5. Графики функций

y

1

и y

1

 

 

y

1

и y

1

 

x

x3

x2

x4

 

 

 

 

 

д) графики функций вида y n

 

, n N при четном значении n про-

x

ходят через начало координат и точку 1, 1 . При x 0 функции не опреде-

лены. На рис. А6 представлены графики функций y

 

x, y 4 x, y 6 x .

При n k на промежутке 0, 1 график функции y n

 

лежит выше гра-

x

фика функции y k

 

, а на промежутке 1, – ниже.

 

 

x

 

 

Замечание. Следует особо подчеркнуть, что с точки зрения математического анализа «привычные» формулы

2n f x g x 2n f x 2ng x ,

 

 

 

 

 

 

2n

f x

 

2n f x

,

g x

2n

 

g x

g x 2n f x 2ng2n x f x не являются

в общем случае верными. Так, левая часть первой формулы имеет смысл при

f x 0

f x 0

, а правая часть –

 

и при

g x 0

g x 0

Рис. А6. Графики функций y 2n

x

272

 

 

 

 

Продолжение прил. А

f x 0

 

 

 

 

 

 

 

, значит, функции 2n f x g x и 2n f x 2n g x имеют раз-

только при

g x 0

 

 

 

 

 

 

 

ные области определения. Эта «мелочь» не так безобидна, как кажется. При решении уравнений и неравенств, содержащих радикалы четных степеней, замена выражения 2n f x 2ng x на 2n f x g x может привести к появлению посто-

ронних корней, а обратная замена – к потере решений. То же касается и двух других формул;

е) графики функций вида y nx,

n N при нечетном значении n про-

ходят через начало координат и точки1, 1 и 1, 1 . На рис. А7 представ-

лены

графики

функций

y 3 x,

y 5

 

,

y 7

 

.

При n k

на проме-

x

x

жутке 0, 1 график функции y nx

лежит выше графика функции y kx ,

а на промежутке 1, – ниже. Фор-

мулы

2n 1 f x g x 2n 1 f x 2n 1g x ,

 

 

 

 

 

 

2n 1

f x

 

2n 1 f x

,

g x

2n 1

 

g x

g x 2n 1 f x 2n 1g2 x f x

в данном случае верны при любых значениях из пересечения областей определения функций f x и g x ;

ж) в общем случае графики функций у = х , > 1 ведут себя примерно как графики, описанные в а, б, а графики функций у = х ,(0, 1) – примерно как графики радикалов. На рис. А8 и А9 показаны графики функций такого вида.

Рис. А7. Графики функций y 3x, y 5x, y 7x

Рис. А8. Графики функций у = х2/3,

у = х3/4, у = х4/5

273

Продолжение прил. А

 

 

 

Рис. А9. Графики функций y x3 2, y x4 3,

y x5 4

 

 

4. Показательные и логарифмические функции:

 

 

 

а) графики

показательных

функций y ax при

a 1

показаны на

рис. А10 (при a 2,a 3,a 4).

Все гра-

 

 

 

 

фики проходят через точку 0,

1 и при

 

 

 

 

x неограниченно приближаются к

 

 

 

 

оси абсцисс. При a b график функции

 

 

 

 

y ax на промежутке , 0 лежит ни-

 

 

 

 

же графика функции y = bx, а на проме-

 

 

 

 

жутке 0, – выше;

 

 

 

 

 

 

б) графики показательных функций

 

 

 

 

y ax при a 0,1 показаны на рис. А11

 

 

 

 

(для a

1

,a

1

,a

1

). Все графики про-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

ходят через точку 0, 1 и при x не-

 

 

 

 

ограниченно приближаются к оси абс-

 

 

 

 

цисс. При

a b

график функции y ax

 

 

 

 

на промежутке , 0

лежит выше гра-

Рис. А10. Показательные

 

фика функции

y bx ,

а на промежутке

 

 

x

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции у = 2 , y = 3 , y = 4

 

0, – ниже;

274

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продолжение прил. А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) графики логарифмических функ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ций

y loga x

при

a 1

показаны на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис. А12. (для

a 2,a 3,a 4). Все гра-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

фики проходят через точку

 

1, 0 и при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 неограниченно приближаются к оси

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ординат. При x 0 функции не определе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ны.

При a b

график функции y loga x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на промежутке 0, 1 лежит выше графика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции y logb x,

а

на

 

промежутке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, – ниже;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) графики логарифмических функ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ций

y loga x

при a 0,

1

показаны на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис. А13 (для a

1

,a

1

,a

1

). Все гра-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. А11. Показательные

 

 

 

2

 

3

 

4

 

 

фики проходят через точку

 

1, 0 и при

 

 

 

функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 неограниченно приближаются к оси

 

1

x

 

1

x

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

, y

 

 

, y

 

 

 

ординат. При x 0 функции не определе-

2

3

 

 

 

 

 

4

 

ны.

При a b

график функции y loga x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на промежутке 0, 1 лежит ниже графика функции y logb x, а на проме-

жутке 1, – выше.

Рис. А12. Логарифмические функции

Рис. А13. Логарифмические функции

y = logax при а > 1

y = logax при 0 < а < 1

275

Продолжение прил. А

Замечание. Как и в случае с радикалами, необходимо подчеркнуть, что с точки зрения математического анализа известные формулы

log

 

f x g x log

 

f x log

 

g x ,

log

 

f x

log

 

f x log

 

g x верны дале-

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

a

a g x

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

ко не всегда. Замена левой части формулы на правую при решении уравнений и неравенств из-за разных областей определения может привести к потере решений, а обратная замена – к появлению посторонних решений. Что же касается

другой известной формулы loga f x loga f x , то здесь ситуация похожая.

Справедливость этой формулы существенно зависит от значения показателя . При целом нечетном формула верна, при целом четном – нет.

Рис. А14. График функции y = sin x

5. Тригонометрические функции:

а) функция y sinx – периодическая с периодом 2 и удовлетворяет

условию sinx 1. Поэтому весь график функции y sinx лежит в гори-

зонтальной полосе шириной 2 и повторяет себя через каждые 2 . На рис. А14 показан график функции y sinx, а на рис. А15 показаны графи-

ки функций y sinx, y sin2x и y sin1 x. Второй график получается из

2

первого сжатием в два раза вдоль оси абсцисс, а третий – из первого растяжением в два раза вдоль той же оси;

Рис. А15. График функций y = sin x , y = sin x, y = sin 2x

2

б) функция y cosx – также периодическая с тем же периодом 2 и

удовлетворяет условию cosx 1. Поэтому весь график функции y cosx

лежит в горизонтальной полосе шириной 2 и повторяет себя через каждые 2 . На рис. А16 показан график этой функции. Из графиков видно, что если отбросить оси координат, то график косинуса становится неотличим

276

Продолжение прил. А

от графика синуса. Это естественно, так как синус и косинус связаны из-

 

 

 

вестной формулой cosx sin

 

x

;

2

 

 

 

Рис. А16. График функции y = cos x

в) функция y tg x sin x – периодическая с периодом . Из опреде-

 

 

 

 

cosx

 

ления

тангенса

следует, что

тангенс не определен в точках

x

 

k, k Z . График функции показан на рис. А17;

 

2

 

 

 

cosx

 

 

 

г)

функция

y ctgx

тоже периодическая с тем же перио-

 

 

 

 

 

 

 

sinx

 

дом . Из определения котангенса следует, что котангенс не определен в точках x k, k Z. График функции показан на рис. А18.

Рис. А17. График функции y = tg x

Рис. А18. График функции y = ctg x

6. Обратные тригонометрические функции:

 

 

 

 

а) y = arcsin x – это угол из промежутка

 

 

 

 

, синус которого ра-

 

 

,

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

вен x; y = arccos x – это угол из промежутка [0, ], косинус которого равен x. Графики этих функций показаны на рис. А19 и А20. Заметим, что если на всех предыдущих рисунках показывалась лишь наиболее характерная часть графика функции, то здесь они показаны полностью;

277

Продолжение прил. А

Рис. А19. График функции y = arcsin x

Рис. А20. График функции y = arccos x

б) y = arctg x – это угол из промежутка

 

 

 

,

 

, тангенс которого ра-

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

вен x. График функции (рис. А21) полностью лежит в горизонтальной по-

 

 

 

 

 

 

. y = arcctg x – это угол из промежутка

0, , котангенс

лосе

y

 

 

,

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

которого равен x. График функции (рис. А22) полностью лежит в горизонтальной полосе y 0, . При преобразованиях выражений, содержащих

обратные тригонометрические функции, часто используют следующие со-

отношения:

arcsin x arcsin x,

arccos x arccosx,

arctg x arctgx,

arcctg x arcctgx,

arcsinx arccosx

 

,

 

2

arctgx arcctgx . 2

Рис. А21. График функции y = arctg x

278

Продолжение прил. А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. А22. График функции y = arcсtg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П рим ер 1. Вычислить arccos

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. По определению

y arccos

 

 

2

 

– это такое число из проме-

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

жутка

 

 

 

 

 

 

 

0, ,

 

 

 

что

 

cos y

 

 

 

2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит,

 

 

 

y

,

 

 

 

 

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Вычислить arccos sin

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. По формулам приведения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

.

По-

 

 

sin

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

7

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

7

 

 

 

скольку

 

функции

 

 

cos

и

arccos взаимно

 

обратны

 

 

и

 

 

5

0, ,

 

то

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3. Вычислить sin arctg

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. По определению арктангенса задачу можно переформулиро-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вать

 

так:

 

 

найти

 

sinx,

если

tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

x

 

 

,

 

 

 

 

.

 

По формулам

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1 tg2 x

 

 

 

 

и sin2 x cos2 x 1

 

 

 

 

получим

 

 

 

sin2 x 1

 

 

 

 

 

 

 

cos2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 tg2

x

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

.

 

 

Значит,

sinx

 

1

 

 

,

 

 

 

а

 

поскольку

tgx

1

 

0,

 

то

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0,

 

 

 

 

и sinx 0. Следовательно, sinx

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

279

Окончание прил. А

В высшей математике часто используют радианную меру угла. Для перевода аргументов тригонометрических функций из радианной меры в гра-

дусную и наоборот используют соотношения 1

 

 

рад и 1 рад

180

.

 

180

 

 

П рим ер. Перевести угол, равный 3 рад, в градусную меру.

Решение. Поскольку 1рад 180 , то 3рад 3 180 540 171,9 .

Приложение Б

Гиперболические функции

Исходные положения

В математике и ее приложениях широкое применение находят показательные функции ex,e x и их линейные и дробно-линейные комбинации. Из множества таких функций важнейшими являются следующие шесть:

1) гиперболический синус sh x ex e x (рис. Б1);

2

2) гиперболический косинус ch x ex e x (рис. Б2); 2

3)

гиперболический тангенс th x

ex

e x

 

(рис. Б3);

ex

e x

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

гиперболический котангенс cth x

 

ex e x

 

(рис. Б4);

 

ex e x

 

 

 

 

 

 

5)

гиперболический секанс sch x

 

 

2

 

;

 

 

 

ex e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

гиперболический косеканс csh x

 

2

 

 

.

 

ex e x

 

 

 

 

 

 

 

Рис. Б1. График гиперболического

Рис. Б2. График гиперболического

синуса

косинуса

280

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]