Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m0936

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

7.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 2928 29 > Следующая >>>

		Продолжение прил. А
функции xn лежит ниже графика функции xk ,		а на каждом из промежут-
ков 1,	0 и 1, – выше;
а)		б)

Рис. А3. Графики степенных функций:

а – вида y = х2п, п N; б – вида y = х2п + 1, п N

в) графики функций вида y	1	, n N проходят через точки
	x2n 1

1, 1, 1, 1 , неограниченно приближаются к оси абсцисс при x .

При стремлении независимой переменной к нулю справа график функции уходит в бесконечность, при стремлении к нулю слева – в минус бесконеч-

ность.	На рис. А4 показаны графики функций y			1	и y	1	;
				x		x3
		1
г)	графики функций вида y		, n N проходят				через точки
		x2n

1, 1, 1, 1 , полностью лежат в верхней полуплоскости, неограниченно приближаются к оси абсцисс при x . При стремлении независимой переменной к нулю справа и слева график функции уходит в бесконеч-

ность. На рис. А5 показаны графики функций y	1	и y	1	;
	x2		x4

271

Продолжение прил. А

Рис. А4. Графики функций					Рис. А5. Графики функций
y	1	и y	1		y	1	и y	1
	x		x3			x2		x4

д) графики функций вида y n					, n N при четном значении n про-
				x

ходят через начало координат и точку 1, 1 . При x 0 функции не опреде-

лены. На рис. А6 представлены графики функций y				x, y 4 x, y 6 x .
При n k на промежутке 0, 1 график функции y n				лежит выше гра-
			x
фика функции y k		, а на промежутке 1, – ниже.
	x

Замечание. Следует особо подчеркнуть, что с точки зрения математического анализа «привычные» формулы

2n f x g x 2n f x 2ng x ,


2n	f x	2n f x		,
	g x	2n
			g x

g x 2n f x 2ng2n x f x не являются

в общем случае верными. Так, левая часть первой формулы имеет смысл при

f x 0	f x 0	, а правая часть –
	и при	, а правая часть –
g x 0	g x 0	Рис. А6. Графики функций y 2n	x

272

		Продолжение прил. А
f x 0
f x 0	, значит, функции 2n f x g x и 2n f x 2n g x имеют раз-
только при	, значит, функции 2n f x g x и 2n f x 2n g x имеют раз-
g x 0

ные области определения. Эта «мелочь» не так безобидна, как кажется. При решении уравнений и неравенств, содержащих радикалы четных степеней, замена выражения 2n f x 2ng x на 2n f x g x может привести к появлению посто-

ронних корней, а обратная замена – к потере решений. То же касается и двух других формул;

е) графики функций вида y nx,

n N при нечетном значении n про-

ходят через начало координат и точки1, 1 и 1, 1 . На рис. А7 представ-

лены			графики			функций	y 3 x,
y 5		,	y 7		.	При n k	на проме-
	x			x

жутке 0, 1 график функции y nx

лежит выше графика функции y kx ,

а на промежутке 1, – ниже. Фор-

мулы

2n 1 f x g x 2n 1 f x 2n 1g x ,


2n 1	f x	2n 1 f x		,
	g x	2n 1
			g x

g x 2n 1 f x 2n 1g2 x f x

в данном случае верны при любых значениях из пересечения областей определения функций f x и g x ;

ж) в общем случае графики функций у = х , > 1 ведут себя примерно как графики, описанные в а, б, а графики функций у = х ,(0, 1) – примерно как графики радикалов. На рис. А8 и А9 показаны графики функций такого вида.

Рис. А7. Графики функций y 3x, y 5x, y 7x

Рис. А8. Графики функций у = х2/3,

у = х3/4, у = х4/5

273

Продолжение прил. А

Рис. А9. Графики функций y x3 2, y x4 3,

y x5 4

4. Показательные и логарифмические функции:

а) графики

показательных

функций y ax при

a 1

показаны на

рис. А10 (при a 2,a 3,a 4).

Все гра-

фики проходят через точку 0,

1 и при

x неограниченно приближаются к

оси абсцисс. При a b график функции

y ax на промежутке , 0 лежит ни-

же графика функции y = bx, а на проме-

жутке 0, – выше;

б) графики показательных функций

y ax при a 0,1 показаны на рис. А11

(для a

). Все графики про-

ходят через точку 0, 1 и при x не-

ограниченно приближаются к оси абс-

цисс. При

a b

график функции y ax

на промежутке , 0

лежит выше гра-

Рис. А10. Показательные

фика функции

y bx ,

а на промежутке

функции у = 2 , y = 3 , y = 4

0, – ниже;

274

Продолжение прил. А

в) графики логарифмических функ-

ций

y loga x

при

a 1

показаны на

рис. А12. (для

a 2,a 3,a 4). Все гра-

фики проходят через точку

1, 0 и при

x 0 неограниченно приближаются к оси

ординат. При x 0 функции не определе-

ны.

При a b

график функции y loga x

на промежутке 0, 1 лежит выше графика

функции y logb x,

на

промежутке

1, – ниже;

г) графики логарифмических функ-

ций

y loga x

при a 0,

показаны на

рис. А13 (для a

). Все гра-

Рис. А11. Показательные

фики проходят через точку

1, 0 и при

функции

x 0 неограниченно приближаются к оси

, y

ординат. При x 0 функции не определе-

ны.

При a b

график функции y loga x

на промежутке 0, 1 лежит ниже графика функции y logb x, а на проме-

жутке 1, – выше.

Рис. А12. Логарифмические функции	Рис. А13. Логарифмические функции
y = logax при а > 1	y = logax при 0 < а < 1

275

Продолжение прил. А

Замечание. Как и в случае с радикалами, необходимо подчеркнуть, что с точки зрения математического анализа известные формулы

log

f x g x log

f x log

g x ,

log

f x

log

f x log

g x верны дале-

a g x

ко не всегда. Замена левой части формулы на правую при решении уравнений и неравенств из-за разных областей определения может привести к потере решений, а обратная замена – к появлению посторонних решений. Что же касается

другой известной формулы loga f x loga f x , то здесь ситуация похожая.

Справедливость этой формулы существенно зависит от значения показателя . При целом нечетном формула верна, при целом четном – нет.

Рис. А14. График функции y = sin x

5. Тригонометрические функции:

а) функция y sinx – периодическая с периодом 2 и удовлетворяет

условию sinx 1. Поэтому весь график функции y sinx лежит в гори-

зонтальной полосе шириной 2 и повторяет себя через каждые 2 . На рис. А14 показан график функции y sinx, а на рис. А15 показаны графи-

ки функций y sinx, y sin2x и y sin1 x. Второй график получается из

первого сжатием в два раза вдоль оси абсцисс, а третий – из первого растяжением в два раза вдоль той же оси;

Рис. А15. График функций y = sin x , y = sin x, y = sin 2x

б) функция y cosx – также периодическая с тем же периодом 2 и

удовлетворяет условию cosx 1. Поэтому весь график функции y cosx

лежит в горизонтальной полосе шириной 2 и повторяет себя через каждые 2 . На рис. А16 показан график этой функции. Из графиков видно, что если отбросить оси координат, то график косинуса становится неотличим

276

Продолжение прил. А

от графика синуса. Это естественно, так как синус и косинус связаны из-


вестной формулой cosx sin		x	;
	2

Рис. А16. График функции y = cos x

в) функция y tg x sin x – периодическая с периодом . Из опреде-

				cosx
ления			тангенса	следует, что			тангенс не определен в точках
x		k, k Z . График функции показан на рис. А17;

2					cosx
	г)		функция	y ctgx		–	тоже периодическая с тем же перио-

					sinx

дом . Из определения котангенса следует, что котангенс не определен в точках x k, k Z. График функции показан на рис. А18.

Рис. А17. График функции y = tg x	Рис. А18. График функции y = ctg x
6. Обратные тригонометрические функции:
а) y = arcsin x – это угол из промежутка					, синус которого ра-
			,
		2
				2

вен x; y = arccos x – это угол из промежутка [0, ], косинус которого равен x. Графики этих функций показаны на рис. А19 и А20. Заметим, что если на всех предыдущих рисунках показывалась лишь наиболее характерная часть графика функции, то здесь они показаны полностью;

277

Продолжение прил. А

Рис. А19. График функции y = arcsin x	Рис. А20. График функции y = arccos x
б) y = arctg x – это угол из промежутка			,		, тангенс которого ра-

		2
				2

вен x. График функции (рис. А21) полностью лежит в горизонтальной по-

					. y = arcctg x – это угол из промежутка	0, , котангенс
лосе	y		,
		2		2

которого равен x. График функции (рис. А22) полностью лежит в горизонтальной полосе y 0, . При преобразованиях выражений, содержащих

обратные тригонометрические функции, часто используют следующие со-


отношения:	arcsin x arcsin x,		arccos x arccosx,
arctg x arctgx,		arcctg x arcctgx,	arcsinx arccosx	,

arctgx arcctgx . 2

Рис. А21. График функции y = arctg x

278

Продолжение прил. А

															Рис. А22. График функции y = arcсtg x

																										2
		П рим ер 1. Вычислить arccos																											.
		П рим ер 1. Вычислить arccos																											.
																					2
																					2
		Решение. По определению																		y arccos										2			– это такое число из проме-
		Решение. По определению																		y arccos								2					– это такое число из проме-
																												2
жутка								0, ,								что			cos y			2		.									Значит,									y				,			тогда
																					2																					4
								2									3
arccos																		.
arccos																		.
					2									4			4
					2									4			4

		Пример 2. Вычислить arccos sin																										.
		Пример 2. Вычислить arccos sin																							7			.
																									7
		Решение. По формулам приведения																																														5	.	По-
																												sin						cos									cos
																												sin				7		cos									cos					14
																																7						2				7						14
скольку						функции									cos			и	arccos взаимно														обратны								и			5	0, ,						то
скольку						функции									cos			и	arccos взаимно														обратны								и	14			0, ,						то
											5																															14
											5		.
arccos				sin
arccos				sin			7				14
							7				14
		Пример 3. Вычислить sin arctg																					1			.
		Пример 3. Вычислить sin arctg																								.
																					4
		Решение. По определению арктангенса задачу можно переформулиро-
																					1
вать			так:					найти						sinx,				если		tgx					и						x						,			.			По формулам
вать			так:					найти						sinx,				если		tgx	4				и						x					2	,	2		.			По формулам
	1																				4															2		2										1
	1			1 tg2 x										и sin2 x cos2 x 1														получим											sin2 x 1									1
	cos2	x																																												1 tg2				x
1				1						1		.			Значит,				sinx		1						,				а		поскольку									tgx					1	0,			то
1						1 2						.			Значит,				sinx								,				а		поскольку									tgx						0,			то
						1 2			17												17																					4
		1
		1			4
					4
																																1
	x	0,					и sinx 0. Следовательно, sinx																												.
	x	0,		2			и sinx 0. Следовательно, sinx																												.
				2																												17

279

Окончание прил. А

В высшей математике часто используют радианную меру угла. Для перевода аргументов тригонометрических функций из радианной меры в гра-

дусную и наоборот используют соотношения 1			рад и 1 рад	180	.
	180

П рим ер. Перевести угол, равный 3 рад, в градусную меру.

Решение. Поскольку 1рад 180 , то 3рад 3 180 540 171,9 .

Приложение Б

Гиперболические функции

Исходные положения

В математике и ее приложениях широкое применение находят показательные функции ex,e x и их линейные и дробно-линейные комбинации. Из множества таких функций важнейшими являются следующие шесть:

1) гиперболический синус sh x ex e x (рис. Б1);

2) гиперболический косинус ch x ex e x (рис. Б2); 2


3)	гиперболический тангенс th x	ex	e x			(рис. Б3);
3)	гиперболический тангенс th x	ex	e x			(рис. Б3);
		ex	e x
4)	гиперболический котангенс cth x				ex e x			(рис. Б4);
4)	гиперболический котангенс cth x				ex e x			(рис. Б4);
					ex e x
5)	гиперболический секанс sch x			2		;
5)	гиперболический секанс sch x	ex e x				;
		ex e x
6)	гиперболический косеканс csh x			2			.
6)	гиперболический косеканс csh x		ex e x				.
			ex e x

Рис. Б1. График гиперболического	Рис. Б2. График гиперболического
синуса	косинуса

280

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 2928 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022619.79 Кб0m0925 (1).pdf
#
15.11.2022619.79 Кб1m0925.pdf
#
15.11.20221.64 Mб5m0927.pdf
#
15.11.20222.37 Mб0m0931.pdf
#
15.11.20224.8 Mб3m0935.pdf
#
15.11.20227.46 Mб7m0936.pdf
#
15.11.20222.25 Mб2m0937.pdf
#
15.11.20221.7 Mб1m0938.pdf
#
15.11.20229.08 Mб1m0939.pdf
#
15.11.20223.68 Mб6m0940.pdf
#
15.11.20221.36 Mб1m0942.pdf