
m0936
.pdf
|
|
Продолжение прил. А |
функции xn лежит ниже графика функции xk , |
а на каждом из промежут- |
|
ков 1, |
0 и 1, – выше; |
|
а) |
|
б) |
Рис. А3. Графики степенных функций:
а – вида y = х2п, п N; б – вида y = х2п + 1, п N
в) графики функций вида y |
1 |
, n N проходят через точки |
|
x2n 1 |
|||
|
|
1, 1, 1, 1 , неограниченно приближаются к оси абсцисс при x .
При стремлении независимой переменной к нулю справа график функции уходит в бесконечность, при стремлении к нулю слева – в минус бесконеч-
ность. |
На рис. А4 показаны графики функций y |
1 |
и y |
1 |
; |
|||
x |
x3 |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|||
г) |
графики функций вида y |
, n N проходят |
через точки |
|||||
x2n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1, 1, 1, 1 , полностью лежат в верхней полуплоскости, неограниченно приближаются к оси абсцисс при x . При стремлении независимой переменной к нулю справа и слева график функции уходит в бесконеч-
ность. На рис. А5 показаны графики функций y |
1 |
и y |
1 |
; |
|
x2 |
x4 |
||||
|
|
|
271

Продолжение прил. А
Рис. А4. Графики функций |
|
Рис. А5. Графики функций |
|||||||||
y |
1 |
и y |
1 |
|
|
y |
1 |
и y |
1 |
|
|
x |
x3 |
x2 |
x4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
д) графики функций вида y n |
|
, n N при четном значении n про- |
|||||||||
x |
ходят через начало координат и точку 1, 1 . При x 0 функции не опреде-
лены. На рис. А6 представлены графики функций y |
|
x, y 4 x, y 6 x . |
||
При n k на промежутке 0, 1 график функции y n |
|
лежит выше гра- |
||
x |
||||
фика функции y k |
|
, а на промежутке 1, – ниже. |
|
|
x |
|
|
Замечание. Следует особо подчеркнуть, что с точки зрения математического анализа «привычные» формулы
2n f x g x 2n
f x 2n
g x ,
|
|
|
|
|
|
2n |
f x |
|
2n f x |
, |
|
g x |
2n |
|
|||
g x |
g x 2n f x 2n
g2n x f x не являются
в общем случае верными. Так, левая часть первой формулы имеет смысл при
f x 0 |
f x 0 |
, а правая часть – |
|
|
и при |
||
g x 0 |
g x 0 |
Рис. А6. Графики функций y 2n |
x |
272

|
|
|
|
Продолжение прил. А |
||||
f x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, значит, функции 2n f x g x и 2n f x 2n g x имеют раз- |
||||||||
только при |
||||||||
g x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
ные области определения. Эта «мелочь» не так безобидна, как кажется. При решении уравнений и неравенств, содержащих радикалы четных степеней, замена выражения 2n f x 2n
g x на 2n
f x g x может привести к появлению посто-
ронних корней, а обратная замена – к потере решений. То же касается и двух других формул;
е) графики функций вида y nx,
n N при нечетном значении n про-
ходят через начало координат и точки1, 1 и 1, 1 . На рис. А7 представ-
лены |
графики |
функций |
y 3 x, |
||||
y 5 |
|
, |
y 7 |
|
. |
При n k |
на проме- |
x |
x |
жутке 0, 1 график функции y nx
лежит выше графика функции y kx ,
а на промежутке 1, – ниже. Фор-
мулы
2n 1 f x g x 2n 1
f x 2n 1
g x ,
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
f x |
|
2n 1 f x |
, |
|
g x |
2n 1 |
|
|||
g x |
g x 2n 1 f x 2n 1
g2 x f x
в данном случае верны при любых значениях из пересечения областей определения функций f x и g x ;
ж) в общем случае графики функций у = х , > 1 ведут себя примерно как графики, описанные в а, б, а графики функций у = х ,(0, 1) – примерно как графики радикалов. На рис. А8 и А9 показаны графики функций такого вида.
Рис. А7. Графики функций y 3x, y 5
x, y 7
x
Рис. А8. Графики функций у = х2/3,
у = х3/4, у = х4/5
273

Продолжение прил. А
|
|
|
Рис. А9. Графики функций y x3 2, y x4 3, |
y x5 4 |
|
|
||||||||
4. Показательные и логарифмические функции: |
|
|
|
|||||||||||
а) графики |
показательных |
функций y ax при |
a 1 |
показаны на |
||||||||||
рис. А10 (при a 2,a 3,a 4). |
Все гра- |
|
|
|
|
|||||||||
фики проходят через точку 0, |
1 и при |
|
|
|
|
|||||||||
x неограниченно приближаются к |
|
|
|
|
||||||||||
оси абсцисс. При a b график функции |
|
|
|
|
||||||||||
y ax на промежутке , 0 лежит ни- |
|
|
|
|
||||||||||
же графика функции y = bx, а на проме- |
|
|
|
|
||||||||||
жутке 0, – выше; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) графики показательных функций |
|
|
|
|
||||||||||
y ax при a 0,1 показаны на рис. А11 |
|
|
|
|
||||||||||
(для a |
1 |
,a |
1 |
,a |
1 |
). Все графики про- |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ходят через точку 0, 1 и при x не- |
|
|
|
|
||||||||||
ограниченно приближаются к оси абс- |
|
|
|
|
||||||||||
цисс. При |
a b |
график функции y ax |
|
|
|
|
||||||||
на промежутке , 0 |
лежит выше гра- |
Рис. А10. Показательные |
|
|||||||||||
фика функции |
y bx , |
а на промежутке |
|
|||||||||||
|
x |
x |
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции у = 2 , y = 3 , y = 4 |
|
0, – ниже;
274

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение прил. А |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) графики логарифмических функ- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ций |
y loga x |
при |
a 1 |
показаны на |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. А12. (для |
a 2,a 3,a 4). Все гра- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фики проходят через точку |
|
1, 0 и при |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 неограниченно приближаются к оси |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ординат. При x 0 функции не определе- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ны. |
При a b |
график функции y loga x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на промежутке 0, 1 лежит выше графика |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции y logb x, |
а |
на |
|
промежутке |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, – ниже; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) графики логарифмических функ- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ций |
y loga x |
при a 0, |
1 |
показаны на |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. А13 (для a |
1 |
,a |
1 |
,a |
1 |
). Все гра- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Рис. А11. Показательные |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
||||||||||||
|
фики проходят через точку |
|
1, 0 и при |
||||||||||||||||||
|
|
|
функции |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 неограниченно приближаются к оси |
||||||||||||||
|
1 |
x |
|
1 |
x |
1 |
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y |
|
|
, y |
|
|
, y |
|
|
|
ординат. При x 0 функции не определе- |
|||||||||||
2 |
3 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
ны. |
При a b |
график функции y loga x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на промежутке 0, 1 лежит ниже графика функции y logb x, а на проме-
жутке 1, – выше.
Рис. А12. Логарифмические функции |
Рис. А13. Логарифмические функции |
y = logax при а > 1 |
y = logax при 0 < а < 1 |
275

Продолжение прил. А
Замечание. Как и в случае с радикалами, необходимо подчеркнуть, что с точки зрения математического анализа известные формулы
log |
|
f x g x log |
|
f x log |
|
g x , |
log |
|
f x |
log |
|
f x log |
|
g x верны дале- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
a |
a |
a g x |
a |
a |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ко не всегда. Замена левой части формулы на правую при решении уравнений и неравенств из-за разных областей определения может привести к потере решений, а обратная замена – к появлению посторонних решений. Что же касается
другой известной формулы loga f x loga f x , то здесь ситуация похожая.
Справедливость этой формулы существенно зависит от значения показателя . При целом нечетном формула верна, при целом четном – нет.
Рис. А14. График функции y = sin x
5. Тригонометрические функции:
а) функция y sinx – периодическая с периодом 2 и удовлетворяет
условию sinx 1. Поэтому весь график функции y sinx лежит в гори-
зонтальной полосе шириной 2 и повторяет себя через каждые 2 . На рис. А14 показан график функции y sinx, а на рис. А15 показаны графи-
ки функций y sinx, y sin2x и y sin1 x. Второй график получается из
2
первого сжатием в два раза вдоль оси абсцисс, а третий – из первого растяжением в два раза вдоль той же оси;
Рис. А15. График функций y = sin x , y = sin x, y = sin 2x
2
б) функция y cosx – также периодическая с тем же периодом 2 и
удовлетворяет условию cosx 1. Поэтому весь график функции y cosx
лежит в горизонтальной полосе шириной 2 и повторяет себя через каждые 2 . На рис. А16 показан график этой функции. Из графиков видно, что если отбросить оси координат, то график косинуса становится неотличим
276

Продолжение прил. А
от графика синуса. Это естественно, так как синус и косинус связаны из-
|
|
|
||
вестной формулой cosx sin |
|
x |
; |
|
2 |
||||
|
|
|
Рис. А16. График функции y = cos x
в) функция y tg x sin x – периодическая с периодом . Из опреде-
|
|
|
|
cosx |
|
||
ления |
тангенса |
следует, что |
тангенс не определен в точках |
||||
x |
|
k, k Z . График функции показан на рис. А17; |
|||||
|
|||||||
2 |
|
|
|
cosx |
|
|
|
|
г) |
функция |
y ctgx |
– |
тоже периодическая с тем же перио- |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
sinx |
|
дом . Из определения котангенса следует, что котангенс не определен в точках x k, k Z. График функции показан на рис. А18.
Рис. А17. График функции y = tg x |
Рис. А18. График функции y = ctg x |
||||||
6. Обратные тригонометрические функции: |
|
|
|
|
|||
а) y = arcsin x – это угол из промежутка |
|
|
|
|
, синус которого ра- |
||
|
|
, |
|
|
|||
2 |
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
вен x; y = arccos x – это угол из промежутка [0, ], косинус которого равен x. Графики этих функций показаны на рис. А19 и А20. Заметим, что если на всех предыдущих рисунках показывалась лишь наиболее характерная часть графика функции, то здесь они показаны полностью;
277

Продолжение прил. А
Рис. А19. График функции y = arcsin x |
Рис. А20. График функции y = arccos x |
|||||||
б) y = arctg x – это угол из промежутка |
|
|
|
, |
|
, тангенс которого ра- |
||
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
вен x. График функции (рис. А21) полностью лежит в горизонтальной по-
|
|
|
|
|
|
. y = arcctg x – это угол из промежутка |
0, , котангенс |
||
лосе |
y |
|
|
, |
|
|
|||
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
которого равен x. График функции (рис. А22) полностью лежит в горизонтальной полосе y 0, . При преобразованиях выражений, содержащих
обратные тригонометрические функции, часто используют следующие со-
отношения: |
arcsin x arcsin x, |
arccos x arccosx, |
|||
arctg x arctgx, |
arcctg x arcctgx, |
arcsinx arccosx |
|
, |
|
|
2
arctgx arcctgx . 2
Рис. А21. График функции y = arctg x
278

Продолжение прил. А
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. А22. График функции y = arcсtg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
П рим ер 1. Вычислить arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Решение. По определению |
y arccos |
|
|
2 |
|
– это такое число из проме- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
жутка |
|
|
|
|
|
|
|
0, , |
|
|
|
что |
|
cos y |
|
|
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, |
|
|
|
y |
, |
|
|
|
|
тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Пример 2. Вычислить arccos sin |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Решение. По формулам приведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
. |
По- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
14 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
7 |
|
|
|
||||||||||||||||
скольку |
|
функции |
|
|
cos |
и |
arccos взаимно |
|
обратны |
|
|
и |
|
|
5 |
0, , |
|
то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
14 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
arccos |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7 |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Пример 3. Вычислить sin arctg |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Решение. По определению арктангенса задачу можно переформулиро- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
вать |
|
так: |
|
|
найти |
|
sinx, |
если |
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
x |
|
|
, |
|
|
|
|
. |
|
По формулам |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 tg2 x |
|
|
|
|
и sin2 x cos2 x 1 |
|
|
|
|
получим |
|
|
|
sin2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 tg2 |
x |
||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
Значит, |
sinx |
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
а |
|
поскольку |
tgx |
1 |
|
0, |
|
то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
0, |
|
|
|
|
и sinx 0. Следовательно, sinx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
279

Окончание прил. А
В высшей математике часто используют радианную меру угла. Для перевода аргументов тригонометрических функций из радианной меры в гра-
дусную и наоборот используют соотношения 1 |
|
|
рад и 1 рад |
180 |
. |
|
180 |
|
|
П рим ер. Перевести угол, равный 3 рад, в градусную меру.
Решение. Поскольку 1рад 180 , то 3рад 3 180 540 171,9 .
Приложение Б
Гиперболические функции
Исходные положения
В математике и ее приложениях широкое применение находят показательные функции ex,e x и их линейные и дробно-линейные комбинации. Из множества таких функций важнейшими являются следующие шесть:
1) гиперболический синус sh x ex e x (рис. Б1);
2
2) гиперболический косинус ch x ex e x (рис. Б2); 2
3) |
гиперболический тангенс th x |
ex |
e x |
|
(рис. Б3); |
|||||
ex |
e x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) |
гиперболический котангенс cth x |
|
ex e x |
|
(рис. Б4); |
|||||
|
ex e x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
5) |
гиперболический секанс sch x |
|
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
ex e x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
6) |
гиперболический косеканс csh x |
|
2 |
|
|
. |
|
|||
ex e x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Рис. Б1. График гиперболического |
Рис. Б2. График гиперболического |
синуса |
косинуса |
280