2713

Предисловие к первому изданию

Олимпиады по сопротивлению материалов стали привычным атрибутом студенческой жизни. Они проводятся и на уровне вуза, и в масштабе города, и даже на всероссийском уровне. Поэтому естественен интерес к задачам олимпиадного типа, куда мы относим либо задачи повышенной трудности, либо задачи, требующие нестандартного оригинального подхода к их решению, либо, наконец, задачи, показывающие ограниченность некоторых стандартных подходов, правил и теорем.

В предложенном читателю сборнике коллектив кафедры строительной механики Сибирской государственной академии путей сообщения собрал более четырехсот задач, которые могут оказаться полезными как при проведении олимпиад, так и для тех, кто просто интересуется задачами необычного типа, а также при организации учебно-исследовательской работы студентов. В сборник вошли задачи, отобранные из существующей литературы по сопротивлению материалов, а также составленные преподавателями кафедры.

При формулировке задач использовано понятие о расчетном сопротивлении как характеристике прочности материала. Для машиностроительных специальностей, где расчет проводится по допускаемому напряжению, следует несколько изменить условие задачи. При этом, как это обычно делается на начальном этапе обучения, можно отождествить понятия о расчетной и нормативной нагрузках. В задачах на простое растяжение-сжатие в последнем случае не учитывается также снижение основного расчетного сопротивления, т.е. коэффициент продольного изгиба принимается равным единице. В конце сборника даны ответы и некоторые указания к решению задач.

Сборник рассчитан на преподавателей и студентов технических высших учебных заведений.

Заведующий кафедрой «Строительная механика» д-р техн. наук, проф. М.Х. Ахметзянов

4

Глава 1 РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ ПРЯМОГО СТЕРЖНЯ

1.1. Сила Р совершает медленное вращательное движение в плоскости стержневой конструкции (рис. 1.1). Определить из

условия прочности угол , при котором конструкция будет иметь наименьший вес. Размер а задан.

1.2. Дано: Å1 À1 Å2 À2 . Определить, при каком значении угла

перемещение узла В будет совпадать с линией действия силы Р. Сила Р действует в плоскости фермы в любом направлении

(рис. 1.2).

1.3.При каком соотношении между углами и в стержневой конструкции (рис. 1.3) не возникают температурные напряжения? Материал и изменение температуры двух стержней одинаковы.

1.4.Определить, какой должна быть зависимость между уг-

лами и , чтобы перемещение узла А было направлено по линии действия силы Р (рис. 1.4).

5

1.5. Дано: Å1 À1 Å2 À2 . Сила Р, действующая в плоскости

фермы, совершает поворот на 360 . Определить, какую траекторию при этом описывает узел В в результате деформации стержней 1 и 2 (рис. 1.5).

1.6. Сила Р может быть приложена в плоскости чертежа под любым углом (рис. 1.6). Подобрать площади поперечных сечений стержней фермы из условия прочности. Rу = 100 МПа, Р = 20 кН, = 30 . Снижение расчетного сопротивления при сжатии не учитывать.

1

B

Рис. 1.5 Рис. 1.6

1.7. На узел В кронштейна, состоящего из стержней ВС и BD одинакового поперечного сечения А = 5 см2, подвешен груз P = 30 кН (рис. 1.7). Под действием груза P узел В сместился вправо на u = 1,6 мм и опустился вниз на v = 10,5 мм. Определить модули продольной упругости материалов стержней ЕВС и ЕBD, если первоначальные длины этих стержней lBC = 5 м, lBD = 4 м.

1.8. Определить, при каком значении угла перемещение узла В будет следовать по направлению силы Р (рис. 1.8).

6

1.9. На узел В кронштейна действуют силы P1 3P и P2 4P

(рис. 1.9). Под каким углом надо установить подкос АВ, чтобы после приложения указанных сил узел В не получил горизонтального перемещения? Каким при этом будет его вертикальное перемещение vB, если AB l , площадь поперечного сечения А, модуль продольной упругости материала Е?

1.10. Под каким углом нужно установить тягу АВ длиной l, чтобы напряжение в ней было минимальным (рис. 1.10)?

1.11.Определить положение шарниров С и D (т.е. параметры

и ), обеспечивающее минимум объема стержня CD, который поддерживает балку FB (рис. 1.11).

1.12.При сборке кронштейна BDC оказалось, что стержень DB имеет длину, превышающую проектную на 3,2 мм (рис. 1.12). Поэтому узел D сместился вправо. После загружения узла силой Р он сместился влево на 2 мм от вертикали CD. Определить силу Р,

если материал стержней имеет модуль упругости Е = 2 105 МПа, площадь сечения стержней A = 4 см2.

1.13.Из условия прочности стержней ВС и DB определить

угол , обеспечивающий минимальный вес стержней (рис. 1.13). Размер l задан.

1.14.Определить значение угла , минимизирующее суммарный объем двух одинаковых стержней, удовлетворяющих условиям прочности. Снижение расчетного сопротивления при сжатии не учитывать. Размер l задан (рис. 1.14).

l

C D

1.15.Определить, при каком угле объем стержневой конструкции (рис. 1.15) будет наименьшим, если Rñæ nRðàñò ?

1.16.Определить величину перемещения точки С С после приложения груза Р, считая радиус шкива r пренебрежимо малым по сравнению с длиной троса l (рис. 1.16). Площади сечений и материал тросов одинаковы.

1.17. Круглый стержень диаметром 2r имеет переменный вдоль радиуса модуль упругости, закон изменения которого показан на рис. 1.17. Опираясь на гипотезу плоских сечений, вывести

8

формулу напряжений в поперечном сечении при осевом растяжении стержня.

1.18. Стержень, нагруженный, как показано на рис. 1.18, удерживается в стене силами трения, равномерно распределенными по ее толщине. Построить эпюру продольных сил и определить полное удлинение стержня. P, a, Е и А заданы.

1.19.Бесконечно длинная тяжелая лента лежит на шероховатой поверхности, и от силы Р ее конец перемещается (рис. 1.19). Найти закон изменения нормальных напряжений по длине ленты, если погонный вес материала q, коэффициент трения f.

1.20.Стержень ступенчатой формы, находящийся под действием осевой силы Р и собственного веса, должен быть изготов-

лен из материала, имеющего удельный вес и расчетное сопротивление Rу (рис. 1.20). При каком отношении длин участков l1 l2

затраты материала на изготовление стержня будут наименьшими?

9

1.21. Определить удлинение конического стержня от собственного веса, а также перемещение произвольного сечения m –

n (рис. 1.21). Удельный вес и модуль упругости Е заданы.

1.22. Вычислить величину удлинения стержня от силы Р (рис. 1.22). Площадь стержня меняется по линейному закону:

A x A0 x A1 A0 l . А0, А1, l и E заданы.

d

А1 x

х

1.23.Стержень с постоянной по длине площадью поперечного сечения при действии на конце силы Р получает удлинение . Затем в стержне просверливается сквозное отверстие площадью

сечения А0, после чего удлинение стержня (от той же силы) возрастает в k раз. Найти площадь А0 (рис. 1.23). P, l, Е заданы.

1.24.Определить напряжение в стержне и перемещение точки приложения силы (рис. 1.24). Учесть трение в ползуне (коэффициент трения f).

напряжения в стержнях 1 и 2 и перемещение точки В (рис. 1.25). Учесть трение в ползуне В (коэффициент трения f).

10