2713

3.41. Доказать, что для изображенной на рис. 3.41 фигуры, составленной из двух одинаковых прямоугольников площадью А каждый, прямая, соединяющая их центры тяжести, является главной осью, а величины главных моментов инерции:

Iu I1z I1ó I1 , Iv I1 2a2 A.

3.42.Доказать, что для фигуры, составленной из квадрата и равностороннего треугольника, прямая, соединяющая их центры тяжести, является главной осью независимо от взаимного положения двух частей составной фигуры (рис. 3.42).

3.43.Определить величины главных моментов инерции относительно главных центральных осей заданной тонкостенной фигуры (рис. 3.43). Толщина стенки t постоянна и мала по сравнению с а. Размеры даны по средней линии сечения.

3.44.Доказать, что для прямоугольника с заданными размерами любые оси, проведенные через точку О, являются главными

(рис. 3.44).

31

3.45.Доказать, что при любом значении а главная центральная ось сечения, состоящего из двух одинаковых уголков, проходит через их центры тяжести (рис. 3.45).

3.46.Доказать, что любые две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через середину гипотенузы заданного треугольника, являются главными осями этой фигуры (рис. 3.46).

z

O1 a

3.47.Для прямоугольника со сторонами b = 2 см и h = 3 см определить положение главных осей, проходящих через точку О,

ивычислить главные моменты инерции (рис. 3.47).

3.48.Фигура представляет собой полукруг, ослабленный прямоугольным вырезом со сторонами b и h (рис. 3.48). При каком отношении b / h момент инерции относительно оси z не бу-

3.49.Вычислить осевой момент инерции изображенной фигуры относительно главной центральной оси v (рис. 3.49).

3.50.Треугольник АВС равносторонний (рис. 3.50). Найти точку m на оси z1, для которой оси z1 и у1 являются главными.

Угол задан.

32

3.51.В системе осей z, y (рис. 3.51) определить точки, каждая из которых обладает тем свойством, что две любые взаимно перпендикулярные оси, пересекающиеся в этой точке, являются главными осями инерции заданной фигуры.

3.52.Для сечения в виде ромба (рис. 3.52) определить, при

каких соотношениях b / h будут максимальными Iz, Wz. Сторона ромба равна а.

3.53.При каком соотношении à / h момент сопротивления сечения относительно оси z не изменится при повороте оси на 45 (рис. 3.53)?

3.54.При каком соотношении размеров крестообразного сечения (рис. 3.54) удаление верхнего и нижнего ребер приводит к увеличению момента сопротивления сечения относительно оси симметрии z?

33

3.55.Двутавровое сечение получается присоединением к прямоугольнику ABCD прямоугольников FEGH и KLMN (рис. 3.55). При какой ширине х добавляемых прямоугольников момент сопротивления сечения увеличится в два раза?

3.56.В прямоугольном сечении одно квадратное отверстие стороной а заменено двумя квадратными отверстиями со стороной х так, как показано на рис. 3.56. Определить х из условия, что моменты сопротивления обоих сечений одинаковы.

3.57.Определить размеры прямоугольника, который можно выделить из равнобедренного треугольника так, чтобы его момент сопротивления относительно центральной оси, параллельной основанию, был максимальным (рис. 3.57).

3.58.Известны моменты инерции Iz, Iy, Izy. Найти угол , на который нужно повернуть оси z и y, чтобы осевые моменты инерции относительно новых осей z1 и y1 были одинаковыми.

3.59.Фигура имеет площадь А = 10 см2, главные центральные моменты инерции Iv = 410 см4, Iu = 320 см4. На главной оси v найти такие точки, чтобы все оси, проходящие через них, были главными для данной фигуры.

34

3.60.Доказать, что в плоской фигуре, имеющей хотя бы две неперпендикулярные между собой оси симметрии, все центральные оси являются главными осями, а осевые моменты инерции относительно них равны между собой.

3.61.Для плоской фигуры найти точку, обладающую таким свойством, что все проходящие через нее оси являются главны-

ми. Считать известными: Iz, Iy, Izy, положение центра тяжести A, заданные центральные оси координат z и y.

Глава 4 ПЛОСКИЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ

(УСИЛИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ)

4.1. Балка загружена распределенной нагрузкой q(x)q0 sin x / l . Построить эпюры поперечных сил и изгибающих

моментов (рис. 4.1).

4.2. Найти положение тележки крана на балке х, при котором возникает наибольший изгибающий момент (рис. 4.2). Вычислить величину наибольшего момента. Давление на каждое колесо Р.

4.3.Найти соотношение длин a / l , при котором значение максимального изгибающего момента по абсолютной величине в балке будет наименьшим (рис. 4.3).

4.4.Как должна изменяться ширина поперечного сечения балки b(x) при постоянной высоте h, чтобы изогнутая ось балки была дугой окружности радиуса R (рис. 4.4)?

35

4.5. Определить положение опор (соотношение вылета консолей и пролета) балки постоянного сечения из условия минимума объема балки (рис. 4.5). Rñæ Rðàñò .

4.6. Где следует установить опору С, чтобы балка обладала наибольшей грузоподъемностью из условия прочности по нормальным напряжениям (рис. 4.6)?

4.7.По эпюре Q определить нагрузку на балку и построить эпюру М (рис. 4.7).

4.8.Определить нагрузку на балку по эпюрам Q и М (рис. 4.8).

4.9.Для заданной балки построить эпюры Q и М (рис. 4.9).

4.10.Для заданной балки определить нагрузку по эпюрам Q и

М(рис. 4.10).

36

Показать, что прямая С D разделяет эту эпюру на параболическую эпюру вспомогательной балочки и эпюру основной балки, полученную при передаче нагрузки через балочку CD.

4.16. Построить эпюры Q и М (рис. 4.16).

q

4.17.Построить эпюры Q и М (рис. 4.17).

4.18.Определить положение шарнира С, при котором балка постоянного поперечного сечения обладает наибольшей грузоподъемностью (рис. 4.18).

4.19.Построить эпюры Q и М (рис. 4.19).

4.20.По известной эпюре Q для балки на двух опорах вос-

произвести нагрузку и эпюру М, если известно, что распределенная и сосредоточенная моментная нагрузки в пролете отсутствуют, а изгибающий момент на левом конце балки равен нулю

(рис. 4.20).

38

4.21.Написать выражение для Q и М в сечении х (рис. 4.21).

4.22.Построить эпюры Q и М для балки, загруженной изменяющейся моментной распределенной нагрузкой (рис. 4.22).

4.23.Указать нагрузку, приложенную к балке на двух опорах, по заданным эпюрам Q и М (рис. 4.23).

4.24.Построить эпюры Q и М (рис. 4.24). Объяснить, почему

вэтом случае не соблюдается дифференциальная зависимость

Q dMdx.

39

4.25.Найти реакции опор (рис. 4.25). Построить эпюры внутренних усилий Q и М. Найти Мmax.

4.26.Построить эпюры Q и М для заданной балки (рис. 4.26). Объяснить, почему в этом случае не соблюдается дифференци-

альная зависимость Q dMdx.

4.27. По заданной эпюре М установить нагрузку, действующую на балку, определить опорные реакции и построить эпюру Q

(рис. 4.27).

4.28. Найти х из условия равнопрочности стержня и балки, выполненных из одинакового материала (рис. 4.28). l / a 18.

4.29. Балка таврового сечения (рис. 4.29) была нагружена распределенной нагрузкой q = 0,7 кН/м. Затем, не снимая нагрузки, к нижней части сечения был приварен лист того же материала (на рисунке обозначен пунктирной линией). Определить, на сколько процентов можно будет увеличить нагрузку q после усиления сечения (R = 200 МПа).

40