Механика композитных материалов 5 1980
..pdfНа базе гиперболического тангенса получаем
a < i = - ^ r th (B o ‘Pe); (3 0 ) U i = Ь° 2 Р ^ A r th (P ° ); |
° < Р « < 1; <3 1 ) |
= b„ [fV A rth (Р„) + 0,5 In (1 - Р „ 2) ] ; |
(32) |
|
W8= -i-ln [ch (B o ^ )]. |
|
(33) |
|||
|
|
£>0 |
|
|
|
|
На базе гиперболического синуса: |
|
|
|
|
||
°« = " ^ Г АГ311(ВЛ); |
(34) |
eij= Ь°2р Г |
Sh(P<,); |
(35) |
||
BPa=botch(Pa) ~ l ] “ |
(36) |
W .=Pt Arsh(B0Pe) - y 7 V + W - |
(37) |
|||
Интересно отметить, |
что |
во |
всех |
зависимостях |
(22) —(37) |
связи |
между параметрами материала устанавливаются одними и теми же фор мулами (11) и (15). Справедливы также зависимости (16) и (17).
Оказалось, что можно получить взаимно обращаемые зависимости о ~ е из ряда (1), если ограничиться первым и третьим слагаемыми этого
ряда и принять их в следующей специальной форме на базе |
(Ь): |
|
eij = Lij(a)(l + 2b0Pa2); (38) |
Oij = Lim F(Pe) |
(39) |
( г д е F { P e) = У л 2+ У'П4+До'Пь+ ] / т12—W |
+ iJoTi6; ц = 1/ Р е ) ; |
|
W.=F{P.), { Р .- б у д ^ (Р .) - - + |
[A(Pe)J3} ; |
(40) |
U7„=7V(1 + M V ). |
|
(41) |
Из рассмотрения зависимостей (38) и (39) при нагружении гидроста тическим давлением и сдвигом установлена следующая связь между параметрами материала:
-п |
Pi |
„ |
1 . 0 |
1 |
. п |
1 . |
|
8b2~jbQ(3^1+ 62) |
|
8Ь2-/Ь0 |
27bol/bo |
|
4Ь2 |
|
|
|
|
|
|
(42) |
v определяется выражением |
(16). |
|
(всего три) |
сопровож |
||
Небольшое количество параметров материала |
||||||
дается |
ограниченной «гибкостью» |
кривой о ~ е . |
Качество аппроксима |
|||
ции экспериментальных данных в этом случае можно повысить соответ ствующим выбором одной, наиболее подходящей по форме, функции из шести рассмотренных.
Ортотропный материал. Зависимости (6)— (42) можно использовать для упругого ортотропного материала, если систему обозначений (5) за менить следующей:
Ра2 = Wал = Ь1CTII2 + b2G222-\~ Ь^О^ 2+ 64011022+ 65O22CI33 +
+ 6б(ТззСГ11 + 6 7O 232 + 6 e O i3^ + 6 g O i2 2>
(43)
Р 2 — ^ е л — ■SlEiI2+ В 2Е222+ 5 з£зз2+ Р 4Е11^22+ ^5622633 +
+ ^ббЗЗбп + ^7Е232 + ^8£l32 + -^9£l22i
d W a” r d W e*
д а , - |
' L i M ~ d & i j |
Связи между параметрами Материала всех шести рассмотренных выше математических моделей устанавливаются зависимостями
Bs=kBan\ s= l,2 , ...,9 .
Здесь В8Л = В8Л{ЬГ) — связь между соответствующими параметрами ли нейно-упругого ортотропного материала (г = 1 ,2 ,..., 9):
^ 1Л= (462&з—^52)/А2’ |
В2л= (4&1&з bf?)/&2\ |
Язл= (4 М 2-&42)/Д2; |
|
ВАЛ= (b5b6 — 2b3bA) |
В3л= (ЬАЬ3 — 2Ь\Ь$)/Д; |
Вел — (ЬАЬ3 —2Ь2Ьб)/Д; |
|
Д2 = 2Д; Д= 8bib2b3+ 2bAb5b6 — 2M e2 — 2b[b52 — 2b3bA2\ |
|||
В-1Л= \/Ь7\ |
В3Л=\/Ь3, Вдл —l/bg. |
||
Для первых пяти математических моделей |
(6)— (37) коэффициенты |
||
k = 4 и Во=\/Ь0, а для последней модели (38) — (41) |
|||
k= — -— |
...; BQ= -----------... |
||
|
2У^0 |
276'/. |
|
На рис. 1 изображены графики рассмотренных функций в сопостави мом масштабе. Для всех кривых, кроме 7, касательная в начале коор динат dy/dx\x-*o=\. Кривые 4, 5, 7 с ростом х выходят на горизонталь ную асимптоту у= 1, а кривая 2 — на у = я/2. Видно, что можно полу чить как довольно пологие кривые, так и сравнительно крутые, например 4. Аппроксимация последней рядом (1) требует первой и пятой степеней нелинейности, что для изотропии содержит [1] в итоге 9, а для ортотропии — 147 независимых параметров материала вместо 3 и 10 параметров по предложенным моделям.
Если аналогичная обращаемость физических соотношений не обяза тельна, то для построения зависимостей типа Oij = Oij(ehi) можно прибег нуть к более сложным конструкциям с дополнительными параметрами материала, увеличивающим «гибкость» математических моделей.
Вязкоупругий материал. Предыдущие зависимости можно использо вать для определения вязкоупругих свойств, если, помимо системы обо значений (5) (или (43), ввести дополнительно следующую:
Р* О Р.ЧО+бЛK(t-x)P„2(x)dxi
О
/I
Р\ = У P ? ( t ) - B , jp(t-x)PS(x)dx;
В,<яс)= - ~ ( Р % ) = 1 . Ы<,)(‘) + b , f K (t - x) Li m (x)dx\
Т* _ |
(Р*2е) = Lij(e)(t) —В* J/?(/-T)Lij(e)(T)dr, |
-ь гj(e)— |
dei
и вместо символов Ра, Ре, |
L ij(e ), ^zj(CT), вц, оц в зависимостях упругого ма |
||
териала ПОЛЬЗОВаТЬСЯ ВеЛИЧИНаМИ Р*0, Р*е, |
£*ij(o), Ыj(t) И Oij{t) |
||
(табл. 1). Связь между K (t—т) и R(t —т) |
устанавливается зависимос |
||
тями линейной вязкоупругости [8] |
|
||
|
|
t |
|
b ,K {q - B ,R (t) = b,B, |
r)dr; |
||
|
|
О |
|
|
|
t |
t |
B+=——^— ; |
0^ |
§K (t—x) d x ^ \ \ |
0^ JR (t—x ) d x ^ 1. |
Если выбрать дробно-экспоненциальное ядро РабОтнова [9], то |
|||
K (t - x ) |
=рЭа ( - р , t - x ) |а=о = Р е х р [-р (^ -т )]; |
||
R {t- x) =уЭа{-у, t - x ) I ос=0 = V ехР [ —V —т) ] i
где у = р(1 +Ь*).
Вид функции Ра и Рг и связь между параметрами материала Ь0, b\,...,bg и В0, Bi,...,Bg устанавливаются в зависимости от класса симметрии деформационных свойств материала и вида математической модели нелинейности формулами, полученными при рассмотрении упру гого материала.
Табл. 1
Некоторые зависимости неполиномиальной формы нелинейности вязкоупругих материалов
|
Релаксация |
|
|
Ползучесть |
|
|
* |
|
|
|
♦ |
|
|
Ofij(0 =Q»i(e)[l—ехр( —Я0Р*в)] |
(44) |
|
|
(45) |
||
eij(t) =-Qma) In(1 P*a) |
||||||
* |
(46) |
|
* |
|
(47) |
|
ffij(0 =Qii<e) 1п(1 + Я0Р*е) |
eii(^) =Qfj(<x) [exp (Р*<т) — 1] |
|||||
* |
|
(48) |
Eij(0 —Qij(o) ^ё(Р*°) |
(49) |
||
On(t)=Qij(e) arc tg(B0P*e) |
||||||
|
* |
(50) |
eij(t)=Qij(0)Arth(P*a) |
(51) |
||
Gij(t)=Qii(e) th {B0P*e) |
||||||
* |
(52) |
|
* |
|
(53) |
|
Oij(t)=QiHe)Arsh(fl0P M |
Bij(t) = Qij(c) sh(P*o) |
|||||
|
* |
(54) |
|
* |
|
(55) |
CT«j(0 =Pii(e)P(P*e) |
Eij(t) =LiHa)(\+,2boP*2a) |
|||||
|
♦ |
|
|
|
* |
|
o* |
L<i(e) |
|
* |
boLij(g) |
|
|
Q',W~ 2 P \ |
|
|
|
2P*a |
|
|
Здесь F(P*e)= \ |
|
п/ |
|
л *=“ |
J |
|
'П*2+У'П*ч+ 5 оЛ^в+ Г*!*2-У п *4+Вол*в; |
-• |
|
||||
|
|
|
|
|
* e |
|
Выпишем зависимости o ~ e ~ t изотропного вязкоупругого материала для случая релаксации напряжений (ehi(t) = const) и ползучести (on(t) = const) на базе зависимостей (44) и (45); при а = 0:
Р а = РaSa\ Р e = Pe^e'i В ij(o)= |
L ij(e)= |
(56) |
где
SCJ2=1 + 6* J K{t—T)dx= 1 + b*[l —exp (—fM)];
о
t
se2= l -Я * J/? (f-T )d T = l-B * [l-e x p (-y ^ )]. 0
В случае релаксации напряжений |
|
|
О1)(0 = _1 р Г [1- « |
р ( - в ^ . ) ] - |
С57) |
Для ползучести |
|
|
= |
ln (l-P*sa). |
(58) |
При нагружении кручением (57) и (58) принимают вид |
|
|
0-12 (0 = ~ Sign (ei2)4/2£2Se[ 1 - |
exp ( - В0У2В21ei21sB) ]; |
(59) |
ек(/) = - -^-sign((Ji2)y262s<Jln(l-Y 262|ai2|sff). |
(60) |
|
Из (58) видно, что должно выполняться неравенство Pasa<.l. Кроме того, установлено, что возможны случаи появления точек перегиба на кривой ползучести Eij{t). Чтобы избежать этого, были выписаны уравне ния вторых производных по времени от всех уравнений табл. 1 для ре лаксации напряжений и ползучести и приравнены нулю. Анализом уста новлено, что для уравнений (45) и (51) достаточно, чтобы Р*а было меньше единицы, но ограничения на величину Р*а для уравнений (47), (49) и (53) вытекают из требования отсутствия точек перегиба на кривой
|
|
|
|
|
|
|
|
Табл. 2 |
|
|
Наибольшие допустимые значения Ра в уравнениях ползучести |
|
|||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
Номер |
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения |
0.10 |
0,25 |
0,50 |
1 |
2 |
3 |
5 |
|
|
|
|||||||
(45), |
(51) |
0,95 |
0,89 |
0,82 |
0,71 |
0,58 |
0,50 |
0,41 |
(47) |
20,00 |
8,10 |
4,17 |
2,20 |
1,17 |
0,80 |
0,50 |
|
(49) |
1,43 |
1,29 |
1,12 |
0,93 |
0,74 |
0,62 |
0,51 |
|
(53) |
20,04 |
8,10 |
4,19 |
2,31 |
1,41 |
1,09 |
0,81 |
|
Рис. |
2. |
Кривые релаксации напряжений |
<Ti2~ ^ |
ПЭВП при |
ei2 = const: F.I2= 3,46 |
(/), |
2,60 |
|||||||
(2), |
173 |
(3), 0,87% (4)\ |
изохронные |
кривые |
релаксации |
а ~ е |
при |
?=30 |
(5) |
и 1740 с |
||||
(6); |
7, |
8 |
— касательные |
к кривым 5, |
6. |
О, ф — эксперимент; --------- аппроксимация. |
||||||||
Рис. |
3. |
|
Кривые ползучести |
при |
Oi2 = const. CTI2=4,68 |
(/); |
3,51 |
(2); |
2,34 |
(3); |
||||
|
|
|
1,17 МПа |
(4). |
О — эксперимент; ,--------- аппроксимация. |
|
|
|
||||||
ползучести. Результаты найденных ограничений в зависимости от вели чины параметра /?* представлены в табл. 2. Ограничений на параметры уравнений релаксации и (55) не обнаружено. Уравнения (59) и (60) были использованы для аппроксимации экспериментальных данных* на ползучесть и релаксацию напряжений полиэтилена высокой плотности (ПЭВП) при кручении.
Применялись |
трубчатые образцы |
с наружным диаметром 51 ±1 |
мм, толщиной |
стенки 5± 0,2 мм |
и общей длиной 350 |
мм. Повторность эксперимента |
— четыре раза. |
Температура испытаний 20±1°С . Среднее квадратичное относительное отклонение дан ных для семейства кривых ползучести г = 7,8%, для релаксации напряжений г=5,0% . Определение параметров материала велось алгоритмом [10] путем минимизации среднего квадратичного относительного отклонения Ф между теоретическими и эксперименталь ными арифметрическими средними величинами. Расчет вели по 40 экспериментальным
точкам |
(четыре кривые ползучести, четыре кривые релаксации напряжений и пять сече |
|
ний на |
оси |
времени). Таким образом, было получено р = 0,00279 1/с; 60=0,278 МПа, |
6 = 0,005668 |
(МПа)-2; 6^ = 0,671, что обеспечило численное значение Ф для кривых пол |
|
зучести, равное 4,02%, а для семейства кривых релаксации напряжений — 5,55%. Кри терием Фишера установлено, что такое качество аппроксимации вполне удовлетвори тельно при имеющемся разбросе экспериментальных данных. Из приведенных выше формул следует, что 7 = 0,00466 1/с; £ 0 = 3,639 (МПа)-1; В2= 176,4 (МПа)-2; £^ = 0,4016, G0 = 321 МПа. Графически результаты представлены на рис. 2 и 3.
Отметим, что в зависимостях, приведенных в табл. 1, не выполняется ни подобия изохронных кривых ползучести, ни подобия самих кривых ползучести. Количество независимых параметров вязкоупругого мате риала по сравнению с соответствующим упругим материалом возрастает на три (&*, а и р), и все эти параметры являются скалярными величи нами.
Обобщение приведенных зависимостей между o ~ e ~ t можно пред ставить в форме
д Р \
Oi j ( t ) |
*{Р \) |
E i j ( / ) |
dzij |
|
д Р \
доц
*Эксперименты проведены в Институте механики полимеров АН Латвийской ССР
М.Р. Килевицем,
где ф, ф-1 — использованная функция формы нелинейности и обратная ей функция, например из (48) и (49):
ф(Р\) = arctg (В0Р \ ) ; ф- 1(Р*а) = 4 ~ t g (Р%).
о
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Малмейстер А. К., Тамуж В. П., Тетере Г А. Сопротивление жестких полимер ных материалов. 2-е изд. Рига, 1972. 498 с.
2.Касьянов В. А., Кнетс И. В. Функция энергии деформации крупных кровеносных
сосудов |
человека. — Механика полимеров, 1974, № 1, с. 122— 128. |
1967, № 5, |
|||||
|
3. |
Тетере Г |
А. Вариант теории локальности. — Механика |
полимеров, |
|||
с. 800—802. |
|
Новая теория пластического течения. — |
Механика, |
1950, |
№ 2, |
||
|
4. |
Трифан Д. |
|||||
с. 4—57. |
|
|
|
|
|
||
gical |
5. Fung Y. С. Inversion of a class of nonlinear stress-strain relation ships of biolo |
||||||
soft tissues. — |
J. Biomech. Eng., February 1979, vol. 101, p. 23—27. |
|
|
||||
|
6. Кантор JI. А. Исследования ползучести полиэтилена в условиях одноосного рас |
||||||
тяжения при постоянном напряжении. — Сб. тр. НИИ санитар, техники, |
1968, |
№ 25, |
|||||
с. 69—95. |
D. |
G., Findley W. N. Influence of normal stress on creep in tension |
|||||
and |
7. |
O’Connor |
|||||
compression |
of |
polyethylene and rigidpoly (vinylchloride) copolymer. — Trans. |
|||||
ASME, Ser. B, May |
1962, N 84, p. 239—247. |
|
|
|
|||
8.Ржаницын A. P. Теория ползучести. M., 1968. 418 с.
9.Работное Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М., 1979. 744 с.
10. Крегерс А. Ф. Алгоритм отыскания экстремума функции многих переменных ме тодом спуска. — Алгоритмы и программы, 1974, № 2, с. 9.
Институт механики полимеров |
Поступило в редакцию 18.03.80 |
АН Латвийской ССР, Рига |
|
УДК 539.376:678.01
П. А. Павлов, О. Н. Кондакова, В. Н. Белан-Гайко
ПОЛЗУЧЕСТЬ ПОЛИЭТИЛЕНА ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ В УСЛОВИЯХ НЕСТАЦИОНАРНОГО НАГРУЖЕНИЯ
Несмотря на наличие обширной литературы, посвященной описанию различных реологических моделей и соответствующих уравнений меха нических состояний полимеров, остается еще некоторая неясность в от ношении структуры и конкретных форм таких обобщенных уравнений, которые описывали бы деформационные процессы при сложном напря женном состоянии и нестационарном нагружении с учетом как вязкоуп ругих, так и вязкопластических свойств материала. Общий случай не пропорционального нагружения, при котором соотношения между компонентами напряжений изменяются во времени, рассмотрен, по-ви димому, только с позиций вязкоупругости [1, 2]. В некоторых экспери ментальных работах, например [3—5], непропорциональные пути нагру жения осуществлялись при заданной постоянной скорости роста интен сивности напряжений, причем соотношения между напряжениями и полными деформациями рассматривались с позиций теории пластич ности. В предлагаемой работе полная деформация разбивается на че тыре составляющих — мгновенноупругую, вязкоупругую, мгновенно пластическую и вязкопластическую (необратимую во времени). Все эти составляющие подчиняются различным физическим законам деформиро вания, что придает уравнению состояния большую гибкость при описа нии сложных деформационных процессов. Первая попытка подобного построения описана в работе [6].
В основе нашего исследования лежат результаты опытов по дефор мированию образцов политетрафторэтилена (ПТФЭ) и полиэтилена вы сокой плотности (ПЭВП) (табл. 1) при различных кратковременных и длительных режимах нагружения осевой растягивающей силой, крутя щим моментом и внутренним давлением на установке [7]. Программы на гружения задавались в истинных напряжениях так, что, например, в ре жиме простой ползучести нагрузку на образец приходилось постепенно снижать с течением времени по мере уменьшения рабочей площади по перечного сечения. Некоторый стационарный или нестационарный ре жим нагружения разбивался на отдельные ступени, на каждой из кото рых нагрузки корректировались по данным измерения деформаций на предыдущей ступени. Основные опыты ставились при температуре 25° С. Дополнительные данные были получены также при 15 и 35° С.
|
|
|
|
|
|
Табл. 1 |
|
|
Степень |
|
Размеры образцов, |
мм |
|
Материал |
текучести |
кристалличности |
Плотность |
толщина |
наружный |
рабочая |
расплава, |
по методу |
р, г/см3 |
||||
|
г/10 мин |
Германса— |
|
стенки t |
диаметр D |
длина 1 |
|
|
Вейдингера, % |
|
|
|
|
ПТФЭ |
2,50 |
30 |
2,160 |
1-0,1 |
20 |
115 |
ПЭВП |
58 |
0,945 |
1-0,1 |
28 |
125 |
|
Деформации трубчатого образца находились на опыте по известным соотношениям [8]:
- I |
х . |
_ i |
Ш |
D . |
1 V А |
1 V |
A(PD |
б.гх—1Г1 |
, £б0 |
|
, |
|
V *e-2 2 -J |
2х |
|
|
*0 |
|
|
■k'O |
|
|
|
Здесь JCQ, х — начальная и текущая длина базы измерения продольных деформаций трубки; Z)0, D — начальный и текущий диаметры; Дер — приращение угла закручивания, измеренного на текущей базе х. Мгно веннопластическая и реономные составляющие радиальной деформации трубки определялись по условию постоянства объема материала.
Уравнение механических состояний строилось в условиях линейного растяжения по данным опытов на кратковременное деформирование, прямую и обратную ползучесть. При обобщении на сложное напряжен ное состояние обобщался в отдельности каждый из четырех законов упругого, пластического, вязкоупругого и вязкопластического деформи рования, а каждая компонента девиатора полных деформаций находи лась как сумма четырех указанных составляющих.
Закон мгновенноупругого деформирования. Нелинейный закон мгно венной упругости при растяжении устанавливался по опытам на быст рую (практически мгновенную) разгрузку образца от заданного уровня напряжений до нуля. Переменный («секущий») модуль упругости в фор-
муле Ему= ~F~,—г |
для значений сг в пределах 5—12,5 МН/м2 указан в |
Е (^г) |
|
табл. 2. При сложном напряженном состоянии закон мгновенной упру гости обобщался обычными соотношениями
1+v _ |
1 —2v |
п |
2 (l + v) 0 |
|
|
£ггЛГУ= —• ^ Ец‘, |
GQ= ^ “ Оо> |
2eij»'y=Vij” = |
р |
' -Зц. |
( 1 ) |
Е (Ог) |
Е(Ог) |
|
Е |
(оД |
|
где £ijMy — компоненты девиатора упругих деформаций; Бц — компо ненты девиатора напряжений; сс* — интенсивность истинных напряже ний; ао — среднее нормальное напряжение; v — коэффициент попереч ной деформации, принимавшийся по усредненным данным опыта, прове денного при 25° С, равным 0,35.
Закон мгновеннопластического деформирования. Для определения зависимости этой составляющей деформации от напряжения ставились специальные опыты на быстрое нагружение трубчатого образца осевой растягивающей силой с последующей разгрузкой и выдержкой для ис чезновения возможной вязкоупругой деформации. Остаточная деформа ция принималась за мгновеннопластическую. Скорость нагружения со ставляла при этом примерно 0,1 МН/м2-с, что служило определенной нормой, так как кратковременные опыты не могут указывать вполне чет ких границ между мгновенно- и вязкопластическими составляющими де формации. Последнее обстоятельство незначительно отражается на точ-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Табл. 2 |
|
т, °с |
а |
Е |
а |
Е |
а |
Е |
а |
Е |
а |
Е |
М атериал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М Н /м 2 |
|
|
|
|
ПТФЭ |
15 |
5,0 |
1000 |
7,5 |
890 |
8,5 |
870 |
10,0 |
860 |
|
|
|
25 |
5,0 |
625 |
7,5 |
400 |
8,5 |
385 |
10,0 |
370 |
12,5 |
330 |
|
35 |
5,0 |
420 |
6,0 |
300 |
7,5 |
280 |
8,5 |
230 |
— |
— |
п э в п |
25 |
5,0 |
870 |
7,5 |
830 |
8,5 |
770 |
10,0 |
690 |
— |
— |
М ате |
|
с. |
|
о, |
|
а, |
|
о, |
|
а, |
|
а - I05 |
|
г, °с |
МН |
емп |
МН |
|
МН |
емп |
МИ |
ем п |
МН |
смп |
[ « - Y |
Р |
|
риал |
|
||||||||||||
|
|
м- |
|
м- |
|
м- |
|
м- |
|
м- |
|
\ МН / |
|
ПТФЭ |
15 |
6 |
0,00025 |
7 |
0,00052 |
8,5 |
0,0012 |
10,0 |
0,0025 |
12,0 0,020 |
0,0096 |
4,40 |
|
|
25 |
6 |
0,00200 |
7 |
0,00300 |
8,5 |
0,0045 |
10,0 |
0,0100 |
0,0126 |
4,90 |
||
|
35 |
6 |
0,00140 |
7 |
0,00400 |
7,5 |
0,0060 |
8,0 |
0,0085 |
8,5 0,013 |
0,0021 |
6,20 |
|
п э в п |
25 |
6 |
0,00025 |
7 |
0,00035 |
8,5 |
0,0004 |
9,5 |
0,0006 |
— |
— |
0,6730 |
1,95 |
ности предсказания полной деформации при длительных процессах, так как некоторые колебания отдельных составляющих компенсируют друг друга в общей сумме. Значения мгновеннопластической деформации, от вечающие различным истинным напряжениям, приведены в табл. 3. Аппроксимирующая зависимость представлялась в виде
Бмп — CX(jP, |
( 2) |
где а, р — эмпирические коэффициенты, приведенные в табл. 3.
Закон мгновеннопластического деформирования при сложном напря женном состоянии формулировался в соответствии с обобщенной тео рией течения
3 |
d e * |
(3) |
d e i j u n = |
Siji |
Oi
где de*iMn= T^de2ijMn — приращение инварианта Одквиста. При пропор циональном нагружении е*гмп превращается в интенсивность истинных деформаций в{мп и зависимость бгмп от ст* совпадает с (2). В соответствии с традиционными представлениями теории пластичности ту же форму сохраняет и соотношение между е*гМПи а.
Закон вязкоупругого деформирования. Выражение этого закона при нималось в виде интеграла наследственности
Т
ew = J fi(a )K (T - 6)de, |
(4) |
О |
|
°ис. 1. Кривые прямой и обратной ползучести ПТФЭ при линейном напряженном сотоянин на базе 14 400 мин. Цифры у кривых — значения о, МН/м2, ---------эксперимен тальные кривые,-----------расчетные кривые.
Материал |
т,°с |
bi |
О* , МН/м1 |
&2 |
С, мин( 1+ f0 |
d |
ПТФЭ |
15 |
2,6 |
10,0 |
3,30 |
0,00055 |
0,50 |
|
25 |
3,2 |
10,0 |
3,40 |
0,00350 |
0,87 |
|
35 |
3,7 |
8,5 |
2,30 |
0,00150 |
0,95 |
ПЭВП |
25 |
1,9 |
10,0 |
2,17 |
0,00021 |
0,47 |
где ядро К(х —0) и функцию напряжения fi(a) находили по кривым об ратной ползучести (рис. 1). Для аппроксимации полученных экспери ментальных данных оказалось достаточным выражение ядра в виде
К ( т ) (5)
Постоянные Ль Л2, щ, Цг находили по графику скорости обратной ползу чести после выдержки на уровне напряжения а* =10 МН/м2, при кото ром предполагалось f i(a*) = l. В интервале температур от 15 до 35°С времена релаксации pi и р2 оказались практически постоянными, рав
ными для ПТФЭ 46 мин и 10 000 мин соответственно. Величины А\ |
и Л2, |
|||
полученные для |
температуры |
25° С, оказались равными |
136* 10-5 и |
|
0,24• 10-5 1/мин. |
Для ПЭВП |
при той же температуре |
pi=59 |
мин, |
Ai = 63*10-5 1/мин.
Анализ кривых обратной ползучести показал удовлетворительное выполнение подобия этих кривых. Таким образом, функцию fi(a) можно было строить на основании зависимости ординат кривых обратной пол зучести от уровня напряжения при любом фиксированном времени. Ука занная зависимость представлялась в виде
/i(a) = (a/a*)bl, |
(6) |
где сг*, по-прежнему, 10 МН/м2. Значения Ь\ даны в табл. 4.
Закон вязкопластического деформирования. Для условий стационар ного нагружения принималось традиционное выражение
т |
|
бвп = J f2{o)B{x)dx. |
(7) |
о |
|
Функции f2 и В подбирались на основании экспериментальных зависи мостей е Вп (т ), представленных для ПТФЭ на рис. 2. Эти зависимости получали путем вычитания из полной деформации трех ранее рассмот-
Рис. 2. Зависимости еВп от т на базе 14 400 мин. Цифры у кривых — значения о, МН/м ■— ----- экспериментальные кривые,-----------теоретические кривые.