Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задачник по трубопроводному транспорту нефти нефтепродуктов и газа

..pdf

Скачиваний:

108

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

10.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 3534 35 > Следующая >>>

	331
(2кЛ 0Л	(2	0 05'?л
X = 0,067-	= 0,067- '	’	> =0,011.
\ а		996

По формулам (124) и (122) рассчитываем коммерческие расходы газа до (индекс 0) и после (индекс 1) отключения ГПА. Имеем:

А = 17,02 10-6				9962,6	г 85,9,
А = 17,02 10-6			г/0,9-288 0,59		г 85,9,
			г/0,9-288 0,59
( Q K.)0 = 8 5 ,9		ч	5 ,1 -3 ,8 2 = 26,67 млн.м3/сутки,
		ч	120
(QK), =85,9				= 18,90 млн.м3/сутки.
Вычислим среднюю скорость					v0 газа на участке газо
провода до отключения ГПА:
рср.у„ • s = р		(Q )„		=> v0 = —	р; ; (^ )о
				РсР о/(ZRTcp)■Ttd /4
Поскольку	р„	= р им		Д = 1,204 0^9 = 0,710 кг/м3, а рср ,
согласно (112) составляет:
	5,1 +		3,8" Л
Рср.0	5,1 +			= 4,48 МПа,
			5,1+ 3,8
находим:
Vo =	0,710-26,67 106/(24-3600)
Vo =					= 8,0 м/с.
4,48 ■106/(0,9 • 490 • 28 8) • 3,14 • 0,9962/4
Аналогично вычисляем скорость v, газа на участке га
зопровода после отключения ГПА:
Vi =	Рст. (Q K. )]
Vi =
р Сл/(ZRTcp) • Jtd2/ 4 ’
	4,5 +		3,82
Pcp.1 “	4,5 +			= 4,15 МПа,
			4,5+ 3,8 У

е_? dq = 0,9911

	332
V, =■	0,710-18,9-106/(24-3600)
V, =■	= 6,0 м/с.
4,15	• 106/ (0,9 • 490 • 288) • 3,14 • 0,9962/4

Таким образом, из-за отключения одного из ГПА сред няя скорость газа на участке газопровода уменьшилась с 8,0

до 6,0 м/с, поэтому среднюю скорость							vcp	в рассматривае
мом переходном процессе можно принять равной * 7,0 м/с.
Далее имеем:
, , , ( ^ , ( 3 3 6 , 4 + 0 . 9 9 6							^
	А,• vcp	0,011-7
239.	Решение уравнения (140) типа теплопроводности
начальным условием		qK(x,0)=0			и	краевыми			условиями:
qK(0 ,t)= q , = const, и		q - » 0		при х —>			f имеет на полуоси
х > 0 , как известно,		см. формулы			(71)		и	(72),	следующий
вид:				f
qK.(x,t) = qJ - erf (				f		9	*/2;7i 7			^
qK.(x,t) = qJ - erf (		х 1= q* ■ 1- т =					j	e-'d<;		J
	^2aVt ,			{		Jn	l			J
Понимая под q\ изменение квадрата коммерческого
расхода газа, имеем:
[QK.O+ AQK(L,t)]2 - Q K.02				1-		L /2 a V t
[QK.O+ AQK(L,t)]2 - Q K.02			=	1-		j	e '4 d?-
[Q .O+AQ«O]2- Q K.O2				>/я		0
Из условия задачи можно вычислить левую часть по
следнего равенства. Имеем:
[Q. о+0,01 (0,25 • Q..0 )]2 -				Q.,„2	_
	[Q. о + 0,25 • Q.o]2 - Qк.0				= 0,0089.
	[Q. о + 0,25 • Q.o]2 - Qк.0
Отсюда получаем уравнение
2	I5 0 0 0 0 /V 4 1 .6 4 1 0 6 t

.IZ	1
Vic	о

для определения искомого момента t времени.

333

Используя таблицы значений интеграла вероятностей [11], находим:

150000/ v41,6410 t

150000

«1,85.

~JZ

e"? d<; = 0,955 при

л/4-1,64-106 -1

или

t = 1002 c (16,7 мин).

240.

Для описания переходного процесса на участке газо

провода используем уравнение (139), а также выражения (141) и

(142):

Эр

(x,t) = а,

Э р

(x,t) ,

(1),

M 2 = - S

yd Эр2 , (2)

Эх2

’

У’

Хс2 Эх

где

М —

массовый

расход

газа;

a2 = c 2d/(yA,vcp );

C7 Y = Zcp.RTcp. ;

vcp

= 0,5(v'p

+ v 'J ;

v'cp ,< p -

средние ско

рости

газа

в старом

новом

стационарных

режимах;

S = 7ud2/4 —площадь сечения трубопровода.

В новом стационарном режиме

р-2(х ) = Р: г -

Ри

~ р

, < г -х ,

M 2 = yds2

Рв

-р,,г

Хс‘

поэтому решение задачи можно представить в виде:

р*2 (x,t) = р*н 2 - Рн

Рк

• х + (рн 2 -

р*„2) • Ф (хД),

(3)

где

ф (х д ) -

неизвестная безразмерная функция, характеризую

щая отклонение давления в сечении х газопровода в момент вре мени t от значения в новом стационарном режиме. Очевидно, что

функция ф (хд), как и функция p*2(x,t) удовлетворяет основ ному уравнению (1).

Кроме того, функция Ф (хд) удовлетворяет следующим

краевым и начальному условиям:
В начале участка (при х = 0): ф (0д) = 0	для всех t > 0 .
В конце участка (при х = L): ф (Ь д) = 0	для всех t > 0 .

334

При t = 0 (начальное условие) на участке 0 < х < L газо провода существовал стационарный режим с давлениями рн в начале участка и рк в его конце. Учитывая это обстоятельство и представление (3), полагаем:

р2 (x,t) = р2 - Рн Рк • х + (р„.2- р*.2) • Ф(х,0) = р„.2 -	Р- ■—Р— • х,
L	Lt
откуда имеем: Ф(х,0) = 1 —x/L .

Решение уравнения (1) с полученными краевыми и началь ным условиями методом разделения переменных. Согласно это му методу, функция ф (хд) представляется в виде ряда, каждый член которого есть произведение функции, зависящей только от г, на функцию, зависящую только от х :

<Kx.0 = Z ® „ ( t)R „ ( x ) . (4)

	П =1
Потребуем, чтобы каждый член этого ряда в отдельности
удовлетворял уравнению (1). Получим:
^ ^ • R	n(x) = a2 e „ ( t ) d^ n;(x)
dt	dx

или, разделив обе части уравнения на произведение 0 n(t)Rn(x):

1	1	dQn (t) _	1___d2R n(x)
a2	0 n(t)	dt	R n(x)	dx2

Левая часть этого уравнения зависит только от г, правая - только от х. Такое может быть только в случае, если каждая из этих частей есть константа. Имеем:

1	1	d 0 „ (t)_	1	d2R„(x)	,
•>	.	—	*	z	— LLn — Const-
a2	0 n(t)	dt	R n(x)	dx2

Для существования решения эта константа (см. учебники по уравнениям математической физики) должна быть отрицатель ной, поэтому мы обозначили ее (—|Х2П).

Далее имеем:

335

d2R n(x) + \i2n R n(x) = 0, откуда находим общее решение: dx2

R „(x )= А„ smfrl„x)+B„ coi(jl„x).

Постоянные A n и Bn интегрирования определяем из крае

вых условий, то есть условий при х = 0 и х = L : R„(0) = 0: A „iin(|in0 )+ B ncoi(jln0 )= 0 ;

R„(L)=0: A„im(ji„L)+B„ CO^ ,,L ) = 0 .

Отсюда заключаем, что Bn = 0 и Ап snz(p,nL) = 0.

Очевидно, что для существования ненулевого решения, необ ходимо, чтобы 5m(ji,nL) = 0, то есть finL = Tin илицп = 7ш /Ь ,

где п = 1,2,3,.... Числа |1П называются собственными числами

рассматриваемой краевой задачи.

Из уравнения для определения функции 0 Пнаходим:

d 0 n (t) = - а 2 \|i2n *0 (t)		2	2
d 0 n (t) = - а 2 \|i2n *0 (t)		@„W = e
dt
следовательно, имеем:	г
ф (х, 0 = £ а nsin	г	^ 2K>nyi?.t
ф (х, 0 = £ а nsin	71П—	^ 2K>nyi?.t
n=l	L
Функция 0 (x ,t)	удовлетворяет уравнению		(I) и краевым

условиям, поскольку этому уравнению и этим условиям удовле творяет каждый ее член. Таким образом, остается подобрать лишь неизвестные коэффициенты Ап так, чтобы выполнялось начальное условие. Подставляя в полученное решение t = 0, имеем:

(	\
ф (х,0)=Х А пsin	Tin—
n=l	L
или

(	71П—	\
= £ A nsin	71П—	= 1 - -
n=l	L	L

£ Апsin	7Ш—
П=1	L 1 L

Можно проверить справедливость следующих тождеств:

336

L	(	х^та
\sin (ЯП— • sin	(	х^та
\sin (ЯП— • sin	ЯШ—		X
0 1 L J	1	Lj

О, если m ^ n ,

—, если m = n,

где т и п - целые положительные числа. Поэтому, умножая обе части последнего тождества на .у/л(ятх/Ь ) и интегрируя полу

ченное произведение от 0 до L, получаем:

А т ' 9 - J 1-			sin	(	X
А т ' 9 - J 1-		-	sin	ЯШ— d x .
£	п	L		V	L
Интеграл в правой части полученного равенства вычисляется
интегрированием		по	частям -		он	равен L/ я т , следовательно,
А т = 2 / я т . Окончательно имеем:
					.	2„.2п2
					.	а к п
0 (x ,t) = 2 £ —			• sin		Л ---- 1
0 (x ,t) = 2 £ —			• sin	тип—		(5)
	n=iтип			L
Массовый расход N1 газа в новом стационарном режиме ра
вен, согласно (2):
	s y	р :2- Р>2
	Хс2		L	’

а в текущий момент времени в конце участка газопровода, то есть при х = L, он определяется выражением:

жЯ2/т«л	S2yd	Эр2	2	S2yd/	* 2	2\	ЭФ
М (L't)= - l ^		- ^	=M- + T ^ ( P “ -Р»				•-57		x=L
	Хс	Эх		Хс					x=L
		*2	2	•L ЭФ
M 2(L,t) = M*2 1 ■Рн			Р"	•L ЭФ
		*2	2	Эх
Отсюда следует:		Рн. ~Рк. J		Эх	x=L
Отсюда следует:
M l - M 2 _ м * - м м . + м				♦ 2	2	Ь ЭФ
M l - M 2 _ м * - м м . + м				Рн,	-Рн,	Ь ЭФ
м 2	м -		М .	* 2	2	Эх
м 2	м -		М .	Р;н.	- Рк2.	Эх		x=L
Поскольку нас	интересуют моменты				времени,		в		которые

M (L ,t)= M . , то отношение (М + М*)/М* * 2, следовательно:

337

Вычисляя левую часть этого равенства на основе решения (5), имеем:

со5(тш)е

или

-£с<э.у(7Еп)-е

П=1

то есть получаем уравнение для определения искомого момента времени t.

Экспоненты в левой части полученного уравнения с ростом номера п уменьшаются, поэтому члены ряда с номерами 2,3,4 и т.д. будут значительно меньше члена ряда с номером n = 1. Если ограничиться первым членом ряда в решении задачи, то уравне ние упрощается:

Подставляя сюда а2 = d • Zcp RTcp /(A,vcp ), получаем ответ:

241. В решении предыдущей задачи № 240 была получен формула, определяющая время переходного процесса, о котором идет речь. Для того чтобы воспользоваться этой формулой, вы числим коэффициент X гидравлического сопротивления и сред нюю скорость vcp в переходном процессе. Имеем:

А, = 0,067 • (2 • 0,05/1 ООО)0,2 = 0,0106.

2 2 — 2841

338

Далее вычисляем расходы, средние давления и средние скорости газа начального и конечного стационарных режи

мов:
Мп =	(3,14-174)			1			-(5,52 - 3,52)-1012 = 281,7 кг/с,
Мп =							-(5,52 - 3,52)-1012 = 281,7 кг/с,
0,0106 - 0,9 - 500 - 293 -10'
М, =	(3,1412/4 )			1			(4,52-3 ,5 2)		1012 =187,8 кг/с;
М, =							(4,52-3 ,5 2)		1012 =187,8 кг/с;
0,0106-0,9-500-293-105
Рср.о =4,574 МПа, рср, =4,021 МПа,
^ср.О				281,7					= 10,3 м/с,
^ср.О									= 10,3 м/с,
	4,574-106/(0,9 • 500 • 293) • 3,14 • I2 /4
	= ______________187^8______________
vrn, =									= 7,8 м/с.
ср'	4,021 • 107(0,9 • 500 • 293)- 3,14 • 12/4
vcp.= 0 ^ -(l0 ,3 + 7 ^ )= 9					м/с.
Теперь можно использовать полученную при решении
задачи № 240 формулу				Г		• 2		2 Л
				Г		• 2		2 Л
t =	^		-In	100- Рн. -Рн,
n 2d • Zcp.RTcp						*	2	2
n 2d • Zcp.RTcp					Рн. “ Рк.
Имеем:					Рн. “ Рк.
Имеем:
	0,0 1 06-9		(105)2		1„	(		5 52 - 4 52
t = -----5---------i— L-----					1„		юо-	’ ,	’ , = 2948 c.
3,142-1-0,9-500-293					(			5,52 - 3,52 J
или =49 мин.
242.	Рассчитаем сначала коэффициент а2 в уравнении
dqK2(x ,t) _		2	32qK2(x,t)				2	c2d
	dt		Эх2		’		а	y X v ср.
Имеем: C/ Y = ^ Z CP.RTcp. = ^0,92-500-283 = 360,8 м/с,
Х = 0,067		/	= 0,067		' 2- 0,03 f 2 = 0,01,
	V а	/			\		800	,

						339
Р„	= Рво,д А = 1,204 • 0,6 = 0,722 кг/м3,
М0 = 0,722			1 5 1 06/(24 -3600) = 125,35 кг/с,
М, =0,722-10 10‘/(24 -3600) = 83,56 кг/с.
Согласно формуле (111), имеем:
2		2	16 М 2		X-ZRTL
Рк. =рн. -----				к	2 J 5
Отсюда получаем:				к	d
Отсюда получаем:
		6Ч2 16-125,352 -0,01-0,92-500-283-1,25-10s
Рк2=(5,5-106) -						3,142	0,8s
						3,142	0,8s
и далее находим: рк = 4,19 МПа.
По той же формуле (111) можно получить давление в
начале участка при новом расходе:
2		2	16-М,2 -X-ZRTL
Рк.	=Р, + -------- -Т Т 5--------
				TZ а
			6Ч2	16-83,562 -0,01 -0,92-500-283-1,25-10s
Рн.2=(4,19-106) +						3,142-0,85
						3,142-0,85
откуда находим: рн =4,81 МПа.
В первом случае рср -4 ,8 8 МПа, во втором - 4,51 МПа.
По формуле v = M /pS						находим средние скорости		Q и
vcp,. Имеем:
Vrnп =						125,35	= 6,65 м/с,
Vrnп =							= 6,65 м/с,
ср °		4,88-106/(0,92 • 500 - 283) - 3,14 • 0,82/4
V Cp.l	=					83,56	= 4,80 м/с,
V Cp.l	=						= 4,80 м/с,
		4,51 • 106/ (0,92 • 500 • 283) • 3,14 • 0,82/4
поэтому в качестве				vcp		можно принять скорость, равную
среднему арифметическому найденных: 5,73 м/с.
а 2 = -		- =	360,82			0,8 = 1,82 • 106 м2/с.
	уХ.-vcp		0,01-5,73

22*

340

Решение уравнения (140), подобно тому, как это дела лось при решении задачи № 240, будем искать в виде ряда. Для этого положим:

я Л х д Ь я ;;., + ( q L - q L ) ® ( x>1)

где Ф (х д )- искомая безразмерная функция. Эта функция удовлетворяет уравнению (139), а также начальному и крае вым условиям:

В начале участка (при		х = 0): ф (0 д )= 0 для всех t > 0 .
В конце участка (при x = L): p(L,t) = const.: из (139)
следует	(Э2р2 / Эх2 )x_L = 0	и с учетом (141) - (ЭФ/Эх)х=ь = 0
для всех	t > 0 .
Поскольку при t = 0
Я ,2М ) = я«., + (як.о -		Як.1 )• Ф(х.°) = Я*о•
то начальное условие имеет вид:
ф(х,0)= 1.

Согласно методу разделения переменных, ищем функ цию Ф (хд) в следующем виде:

П= 1

Потребуем, чтобы каждый член этого ряда в отдельно сти удовлетворял исходному дифференциальному уравне нию. Получим:

^ ^ • R „ ( x ) = a2- 0 n( t ) - i ^ 4 ^

dt			dx
или, разделив обе		части	уравнения на произведение
е . ( 0 М х ) :
J ____1	dO„(t)	1___d2R„(x)
a2 0 „(t)	dt	R„(x)	dx2

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 3534 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]