Задачник по трубопроводному транспорту нефти нефтепродуктов и газа

104. Решение этой задачи основывается на использова нии формулы, полученной при решении задачи № 99 о рас­ паде волны давления в месте разветвлении трубопровода.

При открытии отвода жидкость мгновенно приобретает скорость v:

4-80/3600

1,328 м/с.,

3,14 • 0,1462

вызывающую скачок давления Ар = - p 0v • с0, где с0 - ско­ рость распространения волны давления:

V Ю9 + 2-10"-0,005

Отсюда Ар = -735 • 1,328 • 1090 = 1,064 МПа.

Волна разгрузки, вызванная истечением жидкости через отвод, доходит до основной магистрали и вызывает в ней две новые волны разгрузки с амплитудами Ар, = Др2, рас­ пространяющиеся вверх и вниз по потоку. Согласно реше­ нию задачи № 99, амплитуды этих волн рассчитываются по формуле

232

диаметр трубопровода ( d = 0,313 м); с0 = 1090 м/с; с - скорость волны давления в основной магистрали:

с = - .-----■■■—:-* — -------=Г = 1039 м/с. /735 735-0,313

V 109 + 2 1 0 п 0,006

Подставив в формулу (*) численные значения величин,

Таким образом, мгновенное открытие отвода приводит к возникновению в основной магистрали двух волн разгруз­ ки с амплитудами 0,2 МПа, распространяющихся вверх и вниз по потоку от места врезки отвода. Та из волн, которая движется по направлению к последующей перекачивающей станции и достигает ее примерно за 5000/1039 = 4,8 с, не успевает затухнуть и снижает давление в линии всасывания насосов станции на 0,2 МПа, то есть до значения 0,2 МПа. По условию задачи, кавитационный запас насосов составля­ ет 40 м или 40-735 • 9,81 = 0,288 • 106 Па, что выше того зна­ чения (0,2 МПа), до которого может упасть давление в ли­ нии всасывания. Следовательно, мгновенное включение отвода с указанным расходом (80 м /ч) отбора представляет опасность нормальному функционированию участка. Воз­ можный выход - уменьшить расход отбора путем частично­ го прикрытия входной задвижки на нефтебазе или откры­ вать эту задвижку достаточно медленно.

105. Скорость v жидкости за фронтом волны давлени равна Q /S , а амплитуда волны определяется формулой (63):

Др = pocv = р0с • Q /S ,

233

в которой Q - расход жидкости; S - площадь поперечного сечения трубопровода; с - скорость распространения волны давления.

После отражения волны от резервуара она движется в обратном направлении со скоростью - с , давление за ней остается первоначальным, а скорость w жидкости неиз­ вестна. Согласно той же формуле (63) Н.Е. Жуковского,

-A p = -Poc -(w -v ).

Учитывая, что Ар = p0cv, получаем:

w = 2 • v ,

то есть расход истечения сразу же после отражения волны станет равным 2 Q.

106. Умножая второе уравнение системы на с и скла­ дывая результат с первым уравнением, получаем:

Аналогично, умножая второе уравнение системы на с и вычитая результат из первого уравнения, получаем:

можно трактовать как равенство 0 производной по направ­ лению dx/dt = +c на плоскости переменных (x,t) или вдоль

234

линии х = с • t + const. Последнее означает, что комбинация I , = p + p0c v неизвестных функций р и v сохраняется

вдоль прямых линий х - ct = const, на плоскости (х, t ) .

Аналогично второе уравнение

можно трактовать как равенство 0 производной по направ­ лению dx/dt = - c на плоскости переменных (x,t) или вдоль

линии х = - с • t + const. Последнее означает, что комбина­ ция I2 = p - p 0c v неизвестных функций р и v сохраняет­

ся вдоль прямых линий x + ct = const, на плоскости (x,t).

Таким образом,

если Т| = х - ct = const., то I , = р(х, t) + р0с • v(x, t) = const.,

если £ = х + ct = const., то I2 = p(x, t) - p0c • v(x, t) = const.

Прямые x - ct = const, и x + ct = const, называются ха­ рактеристиками системы (64) дифференциальных уравне­ ний с частными производными, а величины I, (х,t) и I2(x,t)

-инвариантами Римана.

107.Из решения предыдущей задачи (№ 106) следует что плоскость переменных (x ,t) можно покрыть двумя се­

мые отрицательного наклона х + ct = const., вдоль них оста­

235

Рис. 2.12. К решению задачи № 107

венства:

Рм + Р о с - у м = Р а + POC ' V A >

<

p(x, t) - p0c • (x, t) = <p(x + ct) - p0c • y (x + ct).

Складывая и вычитая эти уравнения, получаем выраже­ ние для давления p(x,t) и скорости v(x,t) в точке М (x ,t):

236

р(х>0 = “ *[ф(х “ Ct)+ <р(х + c t ) ] + •[у(х - ct) - VJ/(x+ ct)],

v(x>t)= т~ — [cp(x-ct)-cp(x + c t)]+ i-‘[\|/(x -ct)+ \|/(x + ct)]. 2p0c 2

Эти формулы полностью определяют течение, возникающее в бесконечном трубопроводе из начального состояния. Формулы, как уже было сказано, называются формулами Даламбера.

108. Рассмотрим плоскость переменных (x ,t) рис. 2.13 Через начало координат проведем прямую х = c t, отделяю-

Рис. 2.13. К решению задачи № 108

щую возмущенную область (0 < х < c t) трубопровода, то есть область, захваченную возмущением, связанным с нача­ лом закачки жидкости через сечение х = 0 , от невозмущен­ ной области ( х > c t), в которой жидкость еще покоится. В любой точке M (x,t) невозмущенной области v = 0,p = p0.

Действительно, согласно формулам Даламбера (см. решение задачи № 107), получаем:

237

Следовательно, при х > c t: v = 0,р = р 0.

Теперь обратимся к возмущенной области трубопрово­ да 0 < х < c t. Вдоль прямой C D , имеющей наклон - с , име­ ет место равенства

P D - P OC V D = P c - P o c v c = Р о - Р о с - ° = Ро*

Поскольку величина v D = v(0, t) = \|/(t) известна по ус­ ловию задачи, то находим: p D = p(0,t) = р 0 + p 0c*\|/(t). Та­

ким образом, давления и скорости в начальном сечении трубопровода известны.

Найдем теперь давление и скорость течения в произ­ вольной точке N (x,t) возмущенной области. Имеем:

торый ищется решение, поэтому:

pN(x,t) = Ро+роС • vD=p0+ р0с • v(0,t- х/с) = р0 + р0с • v (t - х/с). v(x,t) = vD = v(0,t —х/с) = \|/(t - х/с).

238

Полученное решение показывает, что возмущение скорости распространяется в виде бегущей волны вправо по трубо­ проводу от начального сечения со скоростью с , вызывая при этом бегущую волну давления, превышающего перво­ начальное его значение р0 на величину р0сль, где v D - скорость закачки, в начальном сечении трубопровода.

109. Значения скорости уф и давления рф за фронтом

волны связаны со значениями тех же параметров до фронта волны формулой Н.Е. Жуковского

P+ - P o = P o c ( v 0 - v +). (*)

Помимо этого, состояние за фронтом волны удовлетворяет условию на характеристике dx/dt = - с дифференциальных уравнений (64) движения жидкости (см. решение задачи № 106):

или, если брать производную по времени в точках перед фронтом волны:

Комбинируя уравнения (*),(**) и (***) , получаем урав­ нения для определения скорости уф:

dv+ _ V o 2 ~ K V* dt 4d

Учитывая условия задачи X0v0 = А.фуф, имеем:

теристики насоса находим соответствующий напор Н 0: Н 0 = 3 0 + (565-0,797 10_3-423,72) = 451,9 м.

Наконец, определяем давление р0 в начале трубопрово­ да: Ро = p 0gH0 =840-9,81-451,9 = 3,724 МПа.

240

Скорость с распространения волн давления в трубо­ проводе находится из первой формулы (62) Н.Е. Жуковско­ го:

Следовательно, волна пониженного давления дойдет до станции за 35000/1102 = 31,8 с.

Чтобы определить амплитуду распространяющейся волны, нужно найти ее начальное значение Ар0, опреде­

ляемое разностью давлений в месте аварии до и после нее.

трубопровода вызвал возникновение скачка разряжения величиной р. - р атм = 1,194 МПа.

По мере движения волны разряжения к насосной стан­ ции скачок давления затухает и его амплитуда определяется формулой

Ар(0=ДРо •e*p(-X0v0t/4d),

см. решение задачи № 109. Подставив в эту формулу число­ вые данные, получим, что через 31,8 с скачок давления ста­ нет равным:

Ap(t=31,8c) = 1,194 • —0,0214*1,55-31,8/(4-0,311)] s 0,51 МПа. По второй формуле (63) Н.Е. Жуковского можно опре­

делить, на сколько возрастает скорость жидкости непосред­ ственно за фронтом волны. Обозначив это возрастание че­ рез Av, получим: