Сопротивление материалов

Загружая основную систему заданной нагрузкой и прикладывая лишние неизвестные усилия в направлении отброшенных связей, получаем систему, называемую эквивалентной (рис. 8.6). В качестве неизвестных для основных систем, показанных на рис. 8.5, а, б, в, выбраны усилия Х1 и Х2, связанные с вертикальными перемещениями в соответствующих сечениях, а для варианта г – усилия Х1 и Х2 (моменты), связанные со взаимными угловыми перемещениями на соответствующих опорах.

Для эквивалентности основной системы исходной неизвестные усилия должны быть подобраны такими, чтобы перемещения основной системы в местах отброшенных связей не отличалась от перемещений исходной– статически неопределимой.

Используя принцип независимости действия сил, записываются уравнения перемещений в направлении неизвестных усилий. Из полученных уравнений определяют значения неизвестных сил.

Рассматриваемая схема расчета носит название метода сил, т.к. в качестве неизвестных здесь выбирают силы в направлении отброшенных связей.

8.2. Канонические уравнения метода сил

Дополнительные уравнения перемещений по направлениям лишних неизвестных можно записать по определенной закономерности – так называемой канонической форме.

141

Условие равенства нулю перемещения по направлению любой из отброшенных связей на основании принципа независимости действия сил можно выразить следующим образом:

Слагаемые ∆in и ∆iF представляют собой перемещения по направлению реакции связи i, вызванные соответственно реакцией связи n и заданной нагрузкой.

Обозначив через Хn величину реакции связи n и выразив перемещения ∆in через единичные перемещения δin с помощью равенства ∆in = Хnδin, вышерассмотренное уравнение можно записать так:

Условие эквивалентности основной и заданной систем математически сводится к следующей системе n линейных уравнений:

Эти уравнения перемещений являются дополнительными уравнениями, которые позволяют раскрыть статическую неопределимость заданной системы.

Полученные уравнения называются каноническими уравнениями метода сил. Число уравнений равно числу отброшенных связей, т.е. степени статической неопределимости заданной системы.

Коэффициент δin системы канонических уравнений представляет перемещение по направлению i, вызванной силой, равной единице, действующей по направлению n. Единичные перемещения δii, имеющие два одинаковых индекса, называются главными, в отличие от побочных перемещений δin, имеющих разные индексы. В соответствии с теоремой о взаимности перемещений δin = δni.

142

Коэффициенты канонических уравнений могут быть определены методом Мора или способом Верещагина. Главные перемещения всегда больше нуля, побочные перемещения могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

Решая систему канонических уравнений, определяют неизвестные усилия, затем строят эпюры изгибающих моментов для основной системы от каждого из найденных усилий: Х1, Х2, ... Хi, …

... Хn. На этом этапе решения можно использовать построенные ранее единичные эпюры, ординаты которых необходимо умножить на найденные значения соответствующих неизвестных, т.е.

Mn = Mn Хn

где M1 и Mn – эпюры изгибающих моментов от единичных сил

X1 ... Xn .

На основании принципа независимости действия сил строится суммарная окончательная эпюра изгибающего момента:

где МΣi – изгибающий момент в i-м сечении рассматриваемой конструкции.

Окончательную эпюру изгибающих моментов можно построить и традиционным путем, прикладывая найденные неизвестные усилия и заданную нагрузку к системе и записывая аналитически выражения моментов.

Для проверки правильности решения используется деформационная проверка. В этом случае по методу Мора или способу Верещагина умножается суммарная эпюра изгибающего момента на эпюру изгибающего момента от единичного усилия во вновь выбранной основной системе:

Если условия перемещений в направлении отброшенных связей выполняются, то, следовательно, неизвестные усилия определены верно.

После прикладывания найденных усилий к заданной системе проводится анализ по участкам других, свойственных для данной системы внутренних силовых факторов, и строятся их эпюры.

Для определения углового или линейного перемещения в статически неопределимых системах необходимо приложить

единичную силу F =1 (для линейного) или M =1 (для углового) к основной системе в сечении, где необходимо найти эти соответствующие параметры и, используя метод Мора или способ Верещагина, определить их.

Таким образом, порядок раскрытия статической неопределимости систем может быть сведен к следующим пунктам:

1.Определяют степень статической неопределимости.

2.Выбирают основную систему с позиции наиболее рационального решения.

3.Основную систему превращают в эквивалентную систему.

4.Записывают канонические уравнения метода сил.

5.Строят эпюры от заданных сил и от единичных сил в выбранной основной системе.

6.Определяют методом Мора или способом Верещагина коэффициентыисвободныечлены, входящиевканоническиеуравнения.

7.Решают систему канонических уравнений с целью опре-

деления неизвестных усилий Х1, Х2, ..., Хn по направлению соответствующих лишних связей.

8.Прикладывая найденные усилия к эквивалентной системе, строят эпюры внутренних силовых факторов.

9.Проводят деформационную проверку с целью проверки

правильности найденных неизвестных значений Х1, Х2, ..., Хn. 10. Осуществляют расчеты прочностного и деформационного

характера, если это необходимо.

8.3. Примеры раскрытия статической неопределимости

Расчет многопролетной балки

Пример

Для балки, изображенной на рис. 8.7, раскрыть статическую неопределимость, подобрать из условия прочности двутавровое

144

сечение неразрезной стальной балки, определить перемещение сечения в краевом сечении левой консоли и угол поворота на одной из опор.

F = 50 кН, М = 40 кН м, q = 10 кН/м, l1: l2: l3:a = 2:2:1:1, a = 1 м, [σ] = 210 МПа, Е = 2 105 МПа.

Решение

1. Определить степень статической неопределимости:

S= 2 1 + 3 − 3 = 2.

2.Для заданной балки изобразить несколько основных систем, одну из которых принять для расчета (рис. 8.8).

а

б

в

врезные

шарниры

г

Рис. 8.8.

Для дальнейшего решения выбираем основную систему с врезными шарнирами на промежуточных опорах (рис. 8.9), так как определение коэффициентов канонических уравнений значительно упрощается. Во врезных идеальных шарнирах изгибающие моменты равны нулю, т.е. многопролетная балка пре-

145

вращается в отдельные статически определимые балки АС, СD, DK, эпюры изгибающих моментов в которых сводятся к стандартным (справочным).

Рис. 8.9.

3. Изобразить эквивалентную систему (см. рис. 8.9) и записать канонические уравнения метода сил:

δ11Х1 + δ12Х2 + ∆1F = 0,

δ21Х1 + δ22Х2 + ∆2F = 0.

Первое уравнение – условие равенства нулю взаимного угла поворота поперечных сечений, примыкающих к сечению С, второе – условие равенства нулю взаимного угла поворота поперечных сечений, примыкающих к сечению D.

4. Построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от заданных нагрузок и единичных силовых факторов

(рис. 8.10).

Эпюры изгибающих моментов от распределенной нагрузки q, силы F и сосредоточенного изгибающего момента М приведены на схемах а, б, в рис. 8.10.

На основании принципа независимости действия сил изгибающий момент в любом сечении равен алгебраической сумме изгибающих моментов от каждой из внешних нагрузок.

M Fi = M Fiq + M FiF + M Fiì .

Изгибающие моменты МF в сечениях:

АМF = 0;

В МF = −Ра = −50 кН м; С МF = 0;

D МF = 0;

146

ЕМF = −М = −20 кН м.

Изгибающие моменты в середине пролетов:

ВС МF = qа2/2 – Fа/2 = 5 − 25 = −20 кН м; CD МF = qа2/2 = 5 кН м;

DE МF = qа2/2 – М/2 = 5 − 20 = −15 кН м.

Fa Fa/2

Рис. 8.10.

147

По найденным значениям строим эпюру МF (рис. 8.10, г). На рис. 8.10, е, з изображены эпюры от единичных силовых

факторов Х1 =1 , Х2 =1.

5. Вычислить коэффициенты и свободные члены канонических уравнений по способу Верещагина.

Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений могут быть определены и по формуле Симпсона:

δij = 6EJ1 Σli (MiH M jH + 4MiC M JC + MiK M jK );

∆iF = 6EJ1 Σli (M FiH M jH + 4M FiC M JC + M FiK M jK ),

где МiH, MjH, MiC, MjC, MiK, MjK – ординаты эпюр изгибающих моментов от единичных силовых факторов в начале, посередине

148

и в конце участка l; МFiH, MFiC, MFiK – ординаты изгибающих моментовот заданных сил вначале, посередине инаконцеучастка li.

Суммирование распространяется на все участки балки. По этому методу

7. Построить суммарную эпюру изгибающих моментов, сделать деформационную проверку решения.

149

Предварительно строятся эпюры изгибающих моментов от моментов Х1 и Х2 (рис. 8.11, а, б).

M , м

д

Рис. 8.11.

150